海南大学：《数学分析》课程教学资源（教案讲义）第九章 定积分 9.2 牛顿—莱布尼茨公式

《数学分析》教案 第九章定积分 海南大学数学系 §2牛顿一莱布尼茨公式 教学目标：熟练掌握和应用牛顿-莱布尼茨公式 教学内容：牛顿一莱布尼茨公式. (1)基本要求：熟练掌握和应用牛顿-莱布尼茨公式. (②)较高要求：利用定积分的定义来处理一些特殊的极限. 教学建议： (1)要求能证明并应用牛顿-莱布尼茨公式. (2)利用定积分的定义来处理一些特殊的极限是一个难点，对学习较好的学生可布置这种 类型的题目。 教学过程： 用定义来计算定积分一般是很困难的，下面将要介绍的牛顿一莱布尼茨公式不仅为定积分 的计算提供了一个有效的方法，而且在理论上把定积分与不定积分联系了起来。 定理9-1若函数fx)在[a,b]上连续，且存在原函数F(x),则f(x)在[a,b)]上可积，且 fe达=Fb)-Fa 这即为牛顿一莱布尼茨公式，也常记为[fx)d=F(x)=F(b)-F(a)。 证：给定a,任意一个分割：△：Q=0,36>0,只要5.nea,5-小<0，就有 6-a. 于是，当2=A,<6时，对后l,有 2Gi,-Fo-Fo-2-a.Ake」

《数学分析》教案 第九章 定积分 海南大学数学系 1 §2 牛顿—莱布尼茨公式 教学目标：熟练掌握和应用牛顿-莱布尼茨公式． 教学内容：牛顿—莱布尼茨公式． (1) 基本要求：熟练掌握和应用牛顿-莱布尼茨公式． (2) 较高要求：利用定积分的定义来处理一些特殊的极限． 教学建议： (1) 要求能证明并应用牛顿-莱布尼茨公式． (2) 利用定积分的定义来处理一些特殊的极限是一个难点，对学习较好的学生可布置这种 类型的题目． 教学过程： 用定义来计算定积分一般是很困难的，下面将要介绍的牛顿—莱布尼茨公式不仅为定积分 的计算提供了一个有效的方法，而且在理论上把定积分与不定积分联系了起来。 定理 9-1 若函数 f (x) 在 [a,b] 上连续，且存在原函数 F(x) ，则 f (x) 在 [a,b] 上可积，且  = − b a f (x)dx F(b) F(a) 这即为牛顿—莱布尼茨公式，也常记为  = = − b a b a f (x)dx F(x) F(b) F(a) 。 证： 给定 [a,b] 任意一个分割：  : a = x0  x1  xn = b，    = = − = − − =  n k k k n k k k F b F a F x F x f x 1 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ， 这里  k = k − k−1 x x x ， [ , ] k k 1 k x x   − ，用了 Lagrange 中值定理。f (x) C[a,b] ，由 Cantor 定理， f 在 [a,b] 一致连续，所以   0 ，   0 ，只要 , [a,b] ，  −   ，就有 b a f f − −   ( ) () 。 于是，当  =      k k n x 1 max 时，对 [ , ] k k 1 k x x   − ，有    −  −  =   −     = = n k k k k n k k k f x F b F a f f x 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

《数学分析》教案】 第九章定积分 海南大学数学系 注1：在实际应用中，定理的条件是可以适当减弱的，如F(x):在[a,b)上连续，在(a,b) 内可导，且F'(x)=fx,x∈(a,b)。而fx)只要在[a,b]上可积即可 注2：本定理对F(x)的要求是多余的。 设fx)在[a,b)可积（不一定连续），又设F()在[a,b)上连续，并且在(a,b)上， F(x)=()F(=F()-F(a) 证：任给[a,一分割△：a=<名<<x=b,由Lagrange中值定理 Fb)-F(a)=∑fn:)△ ,n∈(x,x)。 因了在a,1可积，令1=A→0，则上式右边→4.所以 F(b)-F(a)=['f(x)dx 例1、利用牛顿一莱布尼茨公式计算下列定积分： Drh(a为整数：2)空(0a:3)eh: 4)∫sinxdx:5)xW4-xk. 注：因为定积分是一类和式的极限，故可以借助于定积分来为某些特殊的极限。 11 例2、利用定积分求极限：▣十n十2+分-J. 分析：解题要领主要是利用定积分来为极限的关键是把扫求极限转化成某函数的积分和的 形式。 课堂练习：P206T1(1)入(3)、(5)：P207T2(1)、(4)。 作业：P206T1(2、(4)、(6、(8):P207T2(2)、(3) 2

《数学分析》教案 第九章 定积分 海南大学数学系 2 注 1：在实际应用中，定理的条件是可以适当减弱的，如 F(x) ：在 [a,b] 上连续，在 (a,b) 内可导，且 F(x) = f (x), x (a,b) 。而 f (x) 只要在 [a,b] 上可积即可。 注 2：本定理对 F(x) 的要求是多余的。 设 f (x) 在 [a,b] 可积（不一定 连续），又设 F(x) 在 [a,b] 上连续，并且在 (a,b) 上， F(x) = f (x) ，则 f (x)dx F(x) F(b) F(a) b a b a = = −  。 证： 任给 [a,b] 一分割  : a = x0  x1  xn = b ，由 Lagrange 中值定理 = − =  n k k k F b F a f x 1 ( ) ( ) ( ) ， ( , ) k k 1 k x x   − 。 因 f 在 [a,b] 可积，令 max 0 1 =  →   k k n  x ，则上式右边 →  b a f (x)dx 。所以  − = b a F(b) F(a) f (x)dx 。 例 1、 利用牛顿—莱布尼茨公式计算下列定积分： 1）  b a n x dx （n 为整数）； 2）  b a x dx 2 （0<a<b）； 3）  b a x e dx ； 4）   0 sin xdx ； 5）  − 2 0 2 x 4 x dx . 注：因为定积分是一类和式的极限，故可以借助于定积分来为某些特殊的极限。 例 2、 利用定积分求极限： J n n n n + + = + + → + ) 2 1 2 1 1 1 lim (  . 分析：解题要领主要是利用定积分来为极限的关键是把扫求极限转化成某函数的积分和的 形式。 课堂练习：P206T1（1）、（3）、（5）；P207T2（1）、（4）。 作业：P206T1（2）、（4）、（6）、（8）；P207T2（2）、（3）