海南大学：《数学分析》课程教学资源（教案讲义）第十一章 反常积分 11.3 瑕积分的性质与收敛判别法

《数学分析》教案 第十一章反常积分 海南大学数学系 §3瑕积分的性质与收敛判别法 教学目标：掌握瑕积分的性质与收敛判别准则. 教学内容：瑕积分的收敛：条件收敛：绝对收敛：比较判别法：柯西判别法：狄 利克雷判别法：阿贝尔判别法 ()基本要求：掌握无穷积分与瑕积分的定义，会用柯西判别法判别瑕积分 的敛散性. (②)较高要求：掌握狄利克雷判别法和阿贝尔判别法 教学建议： (1)本节的重点是掌握判别瑕积分收敛的方法，要求学生主要学会用柯西判 别法判别瑕积分的敛散性. (②)本节的难点是用狄利克雷判别法或阿贝尔判别法判别瑕积分的敛散性 对较好学生布置这方面的习题. 教学过程： 一、瑕积分与无穷积分的比较 瑕积分与无穷积分有平行的理论和结果 1 1d 例1、证明瑕积分三中当<2时收致 证： ,该积分当&<2时收敛. 二、瑕积分判敛法 定理（比较原则）[1]P329Th10-23. 推论1(Cauchy判别法)[1]P329推论1. 推论2(Cauchy判别法的极限形式)[1]P330推论2. 例2、判别下列瑕积分的敛散性：

《数学分析》教案 第十一章 反常积分 海南大学数学系 1 §3 瑕积分的性质与收敛判别法 教学目标：掌握瑕积分的性质与收敛判别准则． 教学内容：瑕积分的收敛；条件收敛；绝对收敛；比较判别法；柯西判别法；狄 利克雷判别法；阿贝尔判别法． (1) 基本要求：掌握无穷积分与瑕积分的定义，会用柯西判别法判别瑕积分 的敛散性． (2) 较高要求：掌握狄利克雷判别法和阿贝尔判别法． 教学建议： (1) 本节的重点是掌握判别瑕积分收敛的方法，要求学生主要学会用柯西判 别法判别瑕积分的敛散性． (2) 本节的难点是用狄利克雷判别法或阿贝尔判别法判别瑕积分的敛散性， 对较好学生布置这方面的习题． 教学过程： 一、瑕积分与无穷积分的比较 瑕积分与无穷积分有平行的理论和结果 . 例 1、 证明瑕积分 当 时收敛. 证： , 该积分当 时收敛. 二、瑕积分判敛法 定理( 比较原则 ) [1]P329 Th10-23. 推论 1 ( Cauchy 判别法 ) [1]P329 推论 1. 推论 2 ( Cauchy 判别法的极限形式 ) [1]P330 推论 2. 例 2、 判别下列瑕积分的敛散性 :

《数学分析》教案 第十一章反常积分 海南大学数学系 (注意被积函数非 正) (2)x [1]P330E12 增x1 dx 例3、讨论非正常积分+“的敛散性 三、C一R积分与R积分的差异 1.feR[a,),→在a,上f闭=00：但f在区间 [a,+oo)上可积， 书寸()在区间【a,+o)上有界.例如函数 n,x=n, f闭={0，x21但x学 2. f()ERla,创，→/)1∈Ra,),但反之不确，R积分是绝对型积 分. 1在区间【a,+o)上可积，→f)在区间【a,+o)上可积， 但反之不确。C一R积分是非绝对型积分。 3.f(x),g(x)eR[a,b】,→f(x)g(x)∈Rla,b]: 但/（闭和8）在区间【a,+0)上可积，韦)g)在区间 [a,+o)上可积可见，f)在区 间[a,+o)上可积，书()在区间[a,+0)上可积 作业：P279:1,2,3,4

《数学分析》教案 第十一章 反常积分 海南大学数学系 2 ⑴ ( 注意被积函数非 正 ). ⑵ . [1]P330 E12 例 3、 讨论非正常积分 的敛散性. 三、C—R 积分与 R 积分的差异 1. R , 在 上 ; 但 在区间 上可积 , 在区间 上有界 . 例如函数 2. R , | | R ,但反之不确. R 积分是绝对型积 分. | |在区间 上可积 , 在区间 上可积 , 但反之不确. C—R 积分是非绝对型积分. 3. , R , R ; 但 和 在区间 上可积 , 在区间 上可积. 可见, 在区 间 上可积 , 在区间 上可积. 作业： P279：1，2，3，4