海南大学：《数学分析》课程教学资源（教案讲义）第七章 实数的完备性 7.3 上极限和下极限

《数学分析》教案 第七章实数的完备性 海南大学数学系 §7.3上极限和下极限 一、上（下）极限的定义 对于数列，我们最关心的是其收敛性：如果不收敛，我们希望它有收敛的子列，这个愿望往往 可以实现例如：{(-1)}一般地，数列{x},若{xn}:xm→a(k→o),则称a是数列{xn}的 个极限点如点例{(-1}有2个极限点数列{x,}的最大（最小）极限点如果存在，则称为该数列 的上（下)极限，并记为mx,(画，)如m(-=1,(-=-1. 例1求数列sn写的上、下极限 例2x,=1+(-)],求上、下极限 二、上（下）极限的存在性 下面定理指出，对任何数列{x},它的上（下）极限必定存在 定理1每个数列{化，}的上极限和下极限必定唯一，且 limx=supxin supim inf(xmf 三、上下极限和极限的关系 m,≥恤 定理2红，}存在极限则x,}的上极限和下极限相等，即m,=四。=mx 四、上（下）极限的运算 普通的极限运算公式对上（下）极限不再成立例如： m-ly+-]=0<m(-y°+(-）"=2。 一般地有：im(x,+y)≤1imx+limy.,当{x,}收敛时，等号成立

《数学分析》教案 第七章 实数的完备性 海南大学数学系 1 §7.3 上极限和下极限 一、上（下）极限的定义 对于数列,我们最关心的是其收敛性；如果不收敛,我们希望它有收敛的子列,这个愿望往往 可以实现.例如： ( 1)  n − .一般地,数列 { }n x ,若 { } k n x ： k n x a → （ k → ）,则称 a 是数列 { }n x 的一 个极限点.如点例 ( 1)  n − 有 2 个极限点.数列 { }n x 的最大（最小）极限点如果存在,则称为该数列 的上（下）极限,并记为 lim n n x → （ lim n n x → ）.如 lim( 1) 1 n n→ − = , lim( 1) 1 n n→ − = − . 例 1 求数列 sin 3   n     的上、下极限. 例 2 [1 ( 1) ]n n x n = + − ,求上、下极限. 二、上（下）极限的存在性 下面定理指出,对任何数列 { }n x ,它的上（下）极限必定存在. 定理 1 每个数列 { }n x 的上极限和下极限必定唯一,且 lim n n x → ＝ 1 sup{ , , } limsup n n k n k n x x x + →  = , lim n n x → ＝ 1 inf{ , , } lim inf n n k n k n x x x + →  = . 三、上下极限和极限的关系 lim n n x → ≥ lim n n x → . 定理 2 { }n x 存在极限则 { }n x 的上极限和下极限相等,即 lim n n x → ＝lim n n x → ＝lim n n x → . 四、上（下）极限的运算 普通的极限运算公式对上（下）极限不再成立.例如： 1 1 lim[( 1) ( 1) ] 0 lim( 1) lim( 1) 2 n n n n n n n + + → → → − + − =  − + − = . 一般地有： lim( ) lim lim n n n n n n n x y x y → → → +  + ,当 { }n x 收敛时,等号成立