海南大学：《数学分析》课程教学资源（教案讲义）第十章 定积分的应用 10.5 定积分在物理中的某些应用

《数学分析》教案 第十章定积分的应用 海南大学数学系 §5定积分在物理中的某些应用 教学目标：掌握定积分在物理中的应用的基本方法 教学内容：液体静压力：引力：功与平均功率. (1)基本要求：要求学生掌握求液体静压力、引力、功与平均功率的计算公 式. (②)较高要求：要求学生运用微元法导出求液体静压力、引力、功与平均功 率的计算公式. 教学建议： 要求学生必须理解和会用求液体静压力、引力、功与平均功率的计算公式。 教学过程： 一、液体静压力 例1、一管道的圆形闸门半径为3米，问水平面齐及直径时，闸门所受到的 水的静压力为多大？ 解：取水平直径为y轴，过圆心且垂直于水平直径的直径为x轴，则圆 的方程为己+少户=9由于在相同深度处水的静压强相同，其值等于水的比重v与 深度x的乘积，故当△r很小时，闸门上从深度x到x+△x这一狭条△M上所受的 静压力为 △P≈dP=2xW9-x2dk 从而闸门上抽受的总压力为 P=「2vx9-x2k=18m 二、引力 例2、一根长为I的均匀细杆，质量为M,在其中垂线上相距细杆为a处 有一质量为m的质点，试求细杆对质点的万有引力

《数学分析》教案 第十章 定积分的应用 海南大学数学系 1 §5 定积分在物理中的某些应用 教学目标：掌握定积分在物理中的应用的基本方法． 教学内容：液体静压力；引力；功与平均功率． (1) 基本要求：要求学生掌握求液体静压力、引力、功与平均功率的计算公 式． (2) 较高要求：要求学生运用微元法导出求液体静压力、引力、功与平均功 率的计算公式． 教学建议： 要求学生必须理解和会用求液体静压力、引力、功与平均功率的计算公式． 教学过程： 一、液体静压力 例 1、一管道的圆形闸门半径为 3 米，问水平面齐及直径时，闸门所受到的 水的静压力为多大？ 解： 取水平直径为 y 轴，过圆心且垂直于水平直径的直径为 x 轴，则圆 的方程为 9. 2 2 x + y = 由于在相同深度处水的静压强相同，其值等于水的比重 v 与 深度 x 的乘积，故当 x 很小时，闸门上从深度 x 到 x + x 这一狭条 A 上所受的 静压力为 2 9 . 2 P  dP = vx − x dx 从而闸门上抽受的总压力为 2 9 18 . 2 P = vx − x dx = v  二、引力 例 2、 一根长为 l 的均匀细杆，质量为 M ，在其中垂线上相距细杆为 a 处 有一质量为 m 的质点，试求细杆对质点的万有引力

《数学分析》教案 第十章定积分的应用 海南大学数学系 解：设细杆位于x轴上的厂2质点位于y轴上的点a。任取 11 [区x+△2，当△r很小时可把这一小段细杆看作一质点，其质量为 于是它对质点m的引力为 学a 2 由于细杆上各点对质点m的引力方向各不相同，因此不能直接对F 进行积分。而dF在x轴和y轴上的分力为 dFx =dF.sin 0,dFy =-dF.cos0. 由于质点m位于细杆的中垂线上，所以水平合力为零，即 F=「dfx=o. F=了d,=-2 km恤a2+r2)2 2kmMa 1 2kmM 1a2Va2+x26 aN4a2+/2 负号表示合力方向与y轴方向相反。 三、功 例3、一圆锥形水池，池口直径30米，深10米，池中盛满了水。试求将 全池水抽出池外需作的功。 解：由于抽出相同深度处单位体积的水需作相同的功，因此将x到x+Ax 的一薄层水△2抽至池口需作的功△W。当△r很小时，△2的体积 ar≈50-0JPax 这时有

《数学分析》教案 第十章 定积分的应用 海南大学数学系 2 解： 设细杆位于 x 轴上的 ], 2 , 2 [ l l − 质点位于 y 轴上的点 a 。任取 ] 2 , 2 [ , ] [ l l x x + x  − ，当 x 很小时可把这一小段细杆看作一质点，其质量为 dx. l M dM = 于是它对质点 m 的引力为 . 2 2 2 dx l M a x km r kmdM dF  + = = 由于细杆上各点对质点 m 的引力方向各不相同，因此不能直接对 dF 进行积分。而 dF 在 x 轴和 y 轴上的分力为 dF = dF sin ,dF = −dF  cos. x y 由于质点 m 位于细杆的中垂线上，所以水平合力为零，即 0. 2 2 = =  − l l x x F dF a x dx l kmMa F dF l l l y y 2 3 2 2 2 0 2 2 2 ( ) − − = = − +   = . 4 2 0 2 1 2 1 2 2 2 2 2 a a l kmM a x x l a kmMa + = − + −   负号表示合力方向与 y 轴方向相反。 三、功 例 3、 一圆锥形水池，池口直径 30 米，深 10 米，池中盛满了水。试求将 全池水抽出池外需作的功。 解： 由于抽出相同深度处单位体积的水需作相同的功，因此将 x 到 x + x 的一薄层水  抽至池口需作的功 W 。当 x 很小时，  的体积 )] , 10 [15(1 2 x x V   −  这时有

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《数学分析》教案 第十章 定积分的应用 海南大学数学系 3 )] . 10 [15(1 2 dx x W  dW =  x − 所以将全池水抽出池外需作的功为 ) 1875 . 10 225 (1 2 10 0 dx v x W = v x − =   作业：P259 : 1-10