海南大学：《数学分析》课程教学资源（教案讲义）第九章 定积分 9.5 微积分学基本定理、定积分的计算（续）

《数学分析》教案 第九章定积分 海南大学数学系 §5微积分学基本定理定积分的计算（续） 教学目标：掌握微积分学基本定理 教学内容：变上限的定积分：变下限的定积分：微积分学基本定理：积分第二中值定理，换元 积分法；分部积分法：泰勒公式的积分型余项. ()基本要求：掌握变限的定积分的概念：掌握微积分学基本定理和换元积分法及分部积 分法. (2)较高要求：掌握积分第二中值定理和泰勒公式的积分型余项. 教学建议： (①)微积分学基本定理是本节的重点，要求学生必须掌握微积分学基本定理完整的条件与 结论. (2)积分第二中值定理和泰勒公式的积分型余项是本节的难点.对较好学生要求他们了解这 些内容. 教学过程： 一、变限积分与原函数的存在性 设fx)在[a,b]上可积，则对x∈[a,b],f(x)在[a,x)上也可积，于是，由 x)=∫f0d,x∈a, 定义了一个以积分上限x为自变量的函数，称为变上限的定积分。 类似地，可定义变下限的定积分： Ψ(x)=广f)dh,x∈[a,b] (x)和Ψ(x)统称为变限积分。 说明：由于广f)d=-f)d,因此，只要讨论变上限积分即可。 定理9-9若f(x)在[a,b]上可积，则(x)=∫fu)d在[a,b]上连续。 证明：利用连续函数的定义及定积分的性质即可证得。 定理9l0(原函数存在定理)若函数fx)在[a,b)上连续，则p(x)=广f)d在[a,b]上 处处可导，且o到=孟f0h=.xea创

《数学分析》教案 第九章 定积分 海南大学数学系 1 §5 微积分学基本定理 定积分的计算（续） 教学目标：掌握微积分学基本定理． 教学内容：变上限的定积分；变下限的定积分；微积分学基本定理；积分第二中值定理，换元 积分法；分部积分法；泰勒公式的积分型余项． (1) 基本要求：掌握变限的定积分的概念；掌握微积分学基本定理和换元积分法及分部积 分法． (2) 较高要求：掌握积分第二中值定理和泰勒公式的积分型余项． 教学建议： (1) 微积分学基本定理是本节的重点，要求学生必须掌握微积分学基本定理完整的条件与 结论． (2) 积分第二中值定理和泰勒公式的积分型余项是本节的难点．对较好学生要求他们了解这 些内容． 教学过程： 一、变限积分与原函数的存在性 设 f (x) 在 [a,b] 上可积，则对 x [a,b]， f (x) 在 [a, x] 上也可积，于是，由   = x a (x) f (t)dt ， x [a,b] 定义了一个以积分上限 x 为自变量的函数，称为变上限的定积分。 类似地，可定义变下限的定积分：   = b x (x) f (t)dt ， x [a,b] (x) 和 (x) 统称为变限积分。 说明：由于   = − x b b x f (t)dt f (t)dt ，因此，只要讨论变上限积分即可。 定理 9-9 若 f (x) 在 [a,b] 上可积，则   = x a (x) f (t)dt 在 [a,b] 上连续。 证明： 利用连续函数的定义及定积分的性质即可证得。 定理 9-10（原函数存在定理） 若函数 f (x) 在 [a,b] 上连续，则   = x a (x) f (t)dt 在 [a,b] 上 处处可导，且 ( ) f (t)dt f (x) dx d x x a  = =  ， x [a,b]

《数学分析》教案 第九章定积分 海南大学数学系 证明：利用导数的定义及定积分的性质即可得。 说明：此定理沟通了导数与定积分之间的关系；同时也证明了连续函数必有原函数这一结论， 并以积分的形式给出了∫(x)的一个原函数。因此，该定理也称之为微积分学基本定理。且得用 它可以给出牛顿-莱布尼茨公式的另一证明。 Abe1变换a,g,1≤1≤m,令8，-李月，p,2.m,岛=0 则B=B-B, 含aA-a国-)-8e-雪月 -=2(a,-a)B+a.B。-aB =∑(e-anB+a,B. 它实际上是分部积分公式 x)d(x)=ux)r(x)'北-∫r(x)dh(x) 给定分割△：令x)=a,B=x)-x),B=x)之后的一种离散化形式。 定理9.11（积分第二中值定理）设g)eCLa,b】. (1)f)在a,单调下降，)之0，a≤x≤b,则5∈a,使得 f(x)g(x)dx=f(a)g(x)dx (2)fw)在[a,单调上升，f≥0，a≤x≤b,则5∈[a],使得 f(x)g(x)dx=f(b)Jg(x)dx (3)f)在a,单调，则5e[a,b,使得 ∫广f()g()=afg(x)达+fbgx) 证：①令6-80heCa,记m=盟6u.M-警6，给 a创-个分割4a=<<元=b,记，国，盟国，f在a 单调下降，所以可积，因而 2

《数学分析》教案 第九章 定积分 海南大学数学系 2 证明：利用导数的定义及定积分的性质即可得。 说明：此定理沟通了导数与定积分之间的关系；同时也证明了连续函数必有原函数这一结论， 并以积分的形式给出了 f (x) 的一个原函数。因此，该定理也称之为微积分学基本定理。且得用 它可以给出牛顿-莱布尼茨公式的另一证明。 Abel 变换： { }  i ，{ }  i ，1 i  m ，令 = = p i Bp i 1  ， p = 1, 2,  , m， B0 = 0， 则  i = Bi − Bi−1， m m m i i i i m m m i i i i m i i i m i i i m i i i i m i i i B B B B B B B B              = − + = − + − = − = −       − = + − = + − = + = = − = 1 1 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 ( ) ( ) ( ) 它实际上是分部积分公式   = − b a b a b a u(x)dv(x) u(x)v(x) v(x)du(x) 给定分割  ：令 i i u(x ) = ， ( ) ( ) i i 1 i = v x − v x  + ， ( ) i i B = v x 之后的一种离散化形式。 定理 9.11（积分第二中值定理） 设 g(x) C[a,b]。 （1） f (x) 在 [a,b] 单调下降， f (x)  0，a  x  b ，则 [ , ]  1  a b ,使得   = 1 ( ) ( ) ( ) ( )  a b a f x g x dx f a g x dx 。 （2） f (x) 在 [a,b] 单调上升， f (x)  0，a  x  b ，则 [ , ]  2  a b ，使得   = b b a f x g x dx f b g x dx 2 ( ) ( ) ( ) ( )  。 （3） f (x) 在 [a,b] 单调，则  [a,b] ，使得    = + b a b a f x g x dx f a g x dx f b g x dx   ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 。 证：（1） 令 ( ) ( ) [ , ] 1 G x g t dt C a b x a =   ，记 m min G(x) axb = ， M max G(x) axb = ，给 [a,b] 一个分割  : a = x0  x1  xn = b ，记 inf ( ) 1 m f x k k x x x k −   = ， sup ( ) 1 M f x k k x x x k −   = ，f (x) 在 [a,b] 单调下降，所以可积，因而

《数学分析》教案 第九章定积分 海南大学数学系 2-fWes≤glet空M-mA→0 当元→0时。 1=广gds=-2fgrd =e2.IG,)-61 =2/-f.G)+f6Gb mfa)≤I=[fxg(x)dk≤Mf(a) 若f(a)=0,则f()三0,5可取任意值。 1 若o>0,m7a/ga达5M,Geqa1,5ea,使得 oG)=n.即gtw=foge恤 (2)类似可证。 (3)不妨设f)单调上升，令F()=f)-f(),单调上升，Fw)≥0，由(2)5∈[a, 使得 Fxgx达=F(b(ds=[/b)-fagx达 f(x)g(x)dx=f(a)g(x)dx+f(b).g(x)dx-f(a).g(x)dx =f(a)[g(x)dx+f(b)[g(x)dx 例1、f()在-π，单调下降，求证 b()sin( 3

《数学分析》教案 第九章 定积分 海南大学数学系 3 ( ) ( ) ( ) sup ( ) ( ) 0 1 1 1 1  −   −  → =   = − − n k k k k a x b n k x x k f x f x g x dx g x M m x k k 当  →0 时。   = − → − = = n k x x k b a k k I f x g x dx f x g x dx 1 1 0 1 ( ) ( ) lim ( ) ( )  = − − → = − n k k k k f x G x G x 1 1 1 0 lim ( )[ ( ) ( )]  lim [ ( ) ( )] ( ) ( ) ( ) 1 1 0 f x f x G x f b G b n k =  k − k k + = − → mf (a) I f (x)g(x)dx Mf (a) b a  =   。 若 f (a) = 0 ，则 f (x)  0， 可取任意值。 若 f (a)  0 ， f x g x dx M f a m b a    ( ) ( ) ( ) 1 ，G(x) C[a,b]， [ , ]  1  a b ，使得  = b a f x g x dx f a G ( ) ( ) ( ) 1 ( )  1 ，即   = 1 ( ) ( ) ( ) ( )  a b a f x g x dx f a g x dx 。 （2） 类似可证。 （3） 不妨设 f (x) 单调上升，令 F(x) = f (x) − f (a) ，单调上升， F(x)  0 ，由（2）  [a,b]， 使得    = = − b b b a F x g x dx F b g x dx f b f a g x dx   ( ) ( ) ( ) ( ) [ ( ) ( )] ( ) 。     = + − b b b a b a f x g x dx f a g x dx f b g x dx f a g x dx   ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )   = + b a f a g x dx f b g x dx   ( ) ( ) ( ) ( ) 。 例 1、 f (x) 在 [−, ] 单调下降，求证 ( )sin 2 0 1 2 =  −    b f x nx dx n ， ( )sin (2 1) 0 1 2 1 = +  − +    b f x n x dx n 。 证：

《数学分析》教案 第九章定积分 海布大学数学系 么-[csm2w杰+ejmw个 -x)2+a2- 2n 2n n=[-ajsn2n++/en(n+内 =[-)12+-a-2a+5- 2n+1 2n+1 (n+1-cos(2n+()-()0. 1 二、定积分的换元积分法和分部积分法 定理9-l2（定积分的换元积分法)若函数f(x)在[a,b)上连续，x)在[a,P]上连续可微 且满足 p(a)=a,(B)=b,aso(r)sb,te[a,B], 则有定积分的换元积分公式：∫广fx)=∫广f(p)p')dt=∫fou)d0. 证：由假设f)eCa),f因必有原函数，不妨设F()局)的一个原函数，即 F(x)=∫()，x∈[a。根据牛顿一莱布尼兹公式，有 Jf(x)dx=F(b)-F(a) 另一方面，由复合函数求导法则及复合函数的连续性，有 {F[p(I)]=F[p(B)]-F[p(a)]=F(b)-F(a) 由以上两式知 jr(x)d-Jfo()]o()a 注意：在应用中要注意定积分的换元公式与不定积分的换元公式的异同之处。 例2、计算[v1-x2。 解题要领：令x=snt或x=cos1即可。 例3、计算[2sn1cos21d

《数学分析》教案 第九章 定积分 海南大学数学系 4 [1 cos 2 ][ ( ) ( )] 0， 2 1 2 cos 2 1 ( ) 2 1 cos 2 ( ) 1 ( ) sin 2 ( ) sin 2 1 2 = − − −        − + − = −     = − + −                  n f f n n n f n n f b f nx dx f nx dx n [ 1 cos(2 1) ][ ( ) ( )] 0. (2 1) 1 2 1 cos(2 1) 1 ( ) 2 1 1 cos(2 1) ( ) 1 ( ) sin (2 1) ( ) sin (2 1) 1 2 1 − − + − −  + =       + − + − − + − − + = −     = − + + + + −                  n f f n n n f n n f b f n x dx f n x dx n 二 、 定积分的换元积分法和分部积分法 定理 9-12 （定积分的换元积分法）若函数 f (x) 在 [a,b] 上连续， (x) 在 [,] 上连续可微， 且满足 () = a ，() = b，a  (t)  b ，t [,  ]， 则有定积分的换元积分公式：    =  =     f (x)dx f ((t)) (t)dt f ((t))d(t) b a 。 证：由假设 f x C a b ( )  ,  ， f x( ) 必有原函数，不妨设 F x f x ( )是 ( ) 的一个原函数，即 F x f x x a b ( ) =  ( ), ,   。根据牛顿－莱布尼兹公式，有 ( ) ( ) ( ) b a f x dx F b F a = −  另一方面，由复合函数求导法则及复合函数的连续性，有 F t F F F b F a      ( )  ( ) ( ) ( ) ( )        = − = −       由以上两式知 ( ) ( ) ( ) b a f x dx f t t dt   =         注意：在应用中要注意定积分的换元公式与不定积分的换元公式的异同之处。 例 2、计算 x dx  − 1 0 2 1 。 解题要领： 令 x = sin t 或 x = cost 即可。 例 3、计算  2 0 2 sin cos  t tdt

《数学分析》教案 第九章定积分 海南大学数学系 解题要领：令x=cos1,逆向应用换元积分公式即可。 例4计第-。 解圈要领：先令=m1,再令u=子-1即可。 定理9-13（定积分的分部积分法）若(x)、(x)为a,b)上的连续可微函数，则有定 积分的分部积分公式： (xr'xd=xn(ex。-广uxn达， 或 h)=x(s。-Crxd(). 证：由于[(r(=)()+r国及牛顿-菜布尼签公式，有 f)-v(- 从而，根据定积分的线性性质，有 工aye=6ero-广re6a 例5、 1=∫x21-x sn'rcos'id ( s(-04 意 从这个例子，我们可以看出定积分和不定积分换元有两点区别： 1)不定积分换元是作为整体的变量替换，定积分是作为一个特定区间上的变量替换，有时 前者行不通而后者却可以进行： 2)不定积分换元后必须换回去，而定积分换元不必，只要把定积分值算出来就行了。 例6、 1.fx)eC-a,a偶函数，则 ∫fx=fxd+x)d

《数学分析》教案 第九章 定积分 海南大学数学系 5 解题要领：令 x = cost ，逆向应用换元积分公式即可。 例 4、计算 dx x x J  + + = 1 0 2 1 ln(1 ) 。 解题要领：先令 x = tan t ，再令 u = − t 4  即可。 定理 9-13 （定积分的分部积分法） 若 u(x) 、v(x) 为 [a,b] 上的连续可微函数，则有定 积分的分部积分公式：    = −  b a b a b a u(x)v (x)dx u(x)v(x) u (x)v(x)dx ， 或   = − b a b a b a u(x)dv(x) u(x)v(x) v(x)du(x) 。 证：由于 u x v x u x v x u x v x ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )    = +     及牛顿-莱布尼兹公式，有 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) b a b u x v x v x u x dx u x v x a     + =    从而，根据定积分的线性性质，有 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) b b a a b u x v x dx u x v x u x v x dx a   = −   例 5、  = − 1 0 2 2 I x 1 x dx t t dt  = 2 0 2 2 sin cos  ) 2 ( sin , 0  x = t  t  t dt  = 2 0 2 sin 2 4 1  t dt  = − 2 0 (1 cos 4 ) 8 1  16 ) 4 sin 4 ( 8 1 2 0   = − = t x 。 从这个例子，我们可以看出定积分和不定积分换元有两点区别： 1）不定积分换元是作为整体的变量替换，定积分是作为一个特定区间上的变量替换，有时 前者行不通而后者却可以进行； 2）不定积分换元后必须换回去，而定积分换元不必，只要把定积分值算出来就行了。 例 6、 1. f (x) C[−a,a] 偶函数，则 −  − = + 0 0 ( ) ( ) ( ) a a a a f x dx f x dx f x dx

《数学分析》教案 第九章定积分 海南大学数学系 =∫fx)k-∫心f-)h=2fx)t 2.feCT-aa,奇函数，则f本=0， 解 12 - (x=π-） =2a14-214血 21-2a,em 1:m民号. 例8、人-原如xh=巨sxh 解：1，=-后s如cos =-sin xcoscosxdsinx =(n-1)fsin xcosxde =(m-lfsn2x-(m-lsn“x k-"a≥2到 4=5,11. (2k) 所以 4哈器 1n22k+10。 例9U.Wallis公式)

《数学分析》教案 第九章 定积分 海南大学数学系 6   = − − 0 0 ( ) ( ) a a f x dx f t dt  = a f x dx 0 2 ( ) 。 2. f (x) C[−a,a] ，奇函数 ，则 ( ) = 0 − a a f x dx 。 例 7、 − + =   dx x x x I 2 1 cos sin 解 ：  + =  0 2 1 cos sin 2 dx x x x I ( ) 1 cos ( ) ( )sin( ) 2 0 2 dt x t t t t = − + − − − = −         + − + =    0 2 0 2 1 cos sin 2 1 cos sin 2 dx t t t dx t t ，  − + = − 1 1 2 1 2 2 u du I  ， u = cost 。 2 2 1 1  =  = − I arctg u 。 例 8、   = = 2 0 2 0 sin cos   I x dx x dx n n n 解：  − = − 2 0 1 sin cos  I x d x n n  − − = − + 2 0 1 2 0 1 sin cos cos sin   x x x d x n n  − = − 2 0 2 2 ( 1) sin cos  n x x dx n   = − − − − 2 0 2 0 2 ( 1) sin ( 1) sin   n x dx n x dx n n ， ( 2) 1 2  − = I − n n n I n n 2 0  I = ， I 1 =1。 所以 (2 )!! 2 (2 1)!! 2  k k I k − = ， (2 1)!! (2 )!! 2 1 + + = k k I k 。 例 9 (J.Wallis 公式)

《数学分析》教案 第九章定积分 海南大学数学系 证： 0<<号时，有m<m<m,采用例4中的记号我们可得 Imd<I, 2[ (2m(2n-10川π，(2n-2 所以 (comm coin ≤卿号-0. 三、泰勒公式的积分型余项 设函数f(x)在点x。的某邻域U(x,)内有n+1阶连续导数，令x∈U(x),则 (xdt=[x-1)+nxt+ +0.f(t)dt =nlf(x)-m[f(xo)+f(xoXx-x)+. +(x-r]=R,(国. 其中R()即为f)的素勒公式的n阶余项。由此可得R,()=了Ox-)d, 即为泰勒公式的积分型余项。 由于∫)连续，(x-)”在[x,)(或[x,x])上保持同号，故若应用推广的第一积分中 值定理于积分型余项，可知，5=x。+(x-x),0≤0≤1，使得 R(=/ex-少-n+了5X- 即为拉格朗日型余项。 若直接应用积分第一中值定理于积分型余项，可得 R倒=n(5x-5rex-), 其中5=0+x-x),0≤0≤1

《数学分析》教案 第九章 定积分 海南大学数学系 7 2 1 2 1 (2 1)!! (2 )!! lim 2  = +       → n − n n n 证： 2 0   x  时，有 x x x 2n 1 2n 2n 1 sin sin sin + −   ， 采用例 4 中的记号我们可得 2n+1  2n  n−1 I I I ， (2 1)!! (2 2)!! (2 )!! 2 (2 1)!! (2 1)!! (2 )!! − −  −  + n n n n n n  ， n n n n n n 2 1 (2 1)!! (2 )!! 2 1 2 1 (2 1)!! (2 )!! 2 2       −   +       −  所以 (2 )(2 1) 1 2 (2 1)!! (2 )!! lim 2 1 1 2 1 2 (2 1)!! (2 )!! lim +       − =                 + −       → − → n n n n n n n n n n 0。 2 2 1  lim  = →  n n 三、 泰勒公式的积分型余项 设函数 f (x) 在点 0 x 的某邻域 ( ) 0 U x 内有 n +1 阶连续导数，令 ( ) 0 x U x ，则  − = + x x n n x t f t dt 0 ( ) ( ) ( 1) x x n n n n x t f t n x t f t n f t 0 [( ) ( ) ( ) ( ) ! ( )] ( ) 1 ( 1) − + − + + − −   +  x x f t dt 0 0 ( ) = n! f (x) − n![ f (x0 ) + f (x0 )(x − x0 ) + ( ) ] ! ( ) ! ( ) 0 ( ) x x n R x n f x n n n + − = 。 其中 R (x) n 即为 f (x) 的泰勒公式的 n 阶余项。由此可得 R (x) n  = − + x x n n f t x t dt n 0 ( )( ) ! 1 ( 1) ， 即为泰勒公式的积分型余项。 由于 ( ) ( 1) f t n+ 连续， n (x − t) 在 [ , ] 0 x x （或 [ , ] 0 x x ）上保持同号，故若应用推广的第一积分中 值定理于积分型余项，可知， ( ) 0 0  = x + x − x ，0  1 ，使得 R (x) n 1 0 ( 1) ( 1) ( )( ) ( 1)! 1 ( ) ( ) ! 1 0 + + + − + = − =  n n x x n n f x x n f x t dt n   。 即为拉格朗日型余项。 若直接应用积分第一中值定理于积分型余项，可得 R (x) n ( )( ) ( ) ! 1 0 ( 1) f x x x n n n = − − +   ， 其中 ( ) 0 0  = x + x − x ，0  1

《数学分析》教案 第九章定积分 海南大学数学系 而(x-5)(x-x)=[x-0-0x-xo(x-x)=1-0)(x-x)+，故 R(6)=(x+0x-xX1-0rc-)叫，0≤0≤1， 称为泰勒公式的柯西型余项。 特别地，当x。=0时，柯西型余项变为： R,()=/1-0'x,0≤0s1 积分余项的Taylor公式 引理：g)eq,x<x≤b,有 [g6a小x-r=eu-r血，mez 证： [gu血kx-rh ]dc- a4ae-ra-0g0d =m-0g0a 定理：设f八国eC“(。-h6+),则 -含。， 其中R国=0-r山，k-<a 证：n=l时 R=e-)-x- =∫fu0dt-f,x-x) ro-=

《数学分析》教案 第九章 定积分 海南大学数学系 8 而 1 0 0 0 0 ( ) ( ) [ ( )] ( ) (1 ) ( ) + − − = − − − − = − − n n n n x  x x x x  x x x x  x x ，故 R (x) n 1 0 0 0 ( 1) ( ( ))(1 ) ( ) ! 1 + + = + − − − n n n f x x x x x n   ，0  1， 称为泰勒公式的柯西型余项。 特别地，当 x0 = 0 时，柯西型余项变为： R (x) n ( 1) 1 ( )(1 ) ! 1 + + = − n n n f x x n   ，0  1。 积分余项的 Taylor 公式 引理： ( ) [ , ] g x C x0 b ， x :x0  x  b ，有 1 1 1 1 1 1 ( )( ) 1 1 ( ) ( ) 0 0 0 g t x t dt m g t dt x t dt m x x m x x t x + − + − =        ， + m  Z 证： g t dt x t dt m x x t x ( ) ( ) 0 0 1 1 −       1 1 1 ( ) ( ) 1 1 0 0 + −     + − =   m x x t x g t dt d x t m   + + − + − + + − = = = x x m m t x x t g t dt m g t dt x t m t x t x 0 0 0 ( ) ( ) 1 1 ( ) ( ) 1 1 1 1 1 1  + − + = x x m x t g t dt m 0 ( ) ( ) 1 1 1 。 定理： 设 ( ) ( , ) 0 0 1 f x C x h x h n  − + + ，则 = = − + n k n k k x x R x k f x f x 0 0 0 ( ) ( ) ( ) ! ( ) ( ) ， 其中  = − + x x n n n f t x t dt n R x 0 ( )( ) ! 1 ( ) ( 1) ， x − x0  h 。 证： n =1 时， ( ) 1! ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 1 0 x x f x R x f x f x −  = − −  =  −  − x x f t dt f x x x 0 ( ) ( )( ) 0 0          =  −  =  x x t x x x f t f x dt f t dt dt 0 0 0 0 1 1 ( ) ( ) ( )

《数学分析》教案 第九章定积分 海南大学数学系 rd x-n)-5'r(Xx-ndr 设n=m时成立，即 R=e-[*+-6r =品-0x-rh mrca-y y0-ra-r =rox-0h-ar-0rh =0-水-rh x-a a+n-0x-gra 。 多老又o9以-旷，灯.2现 作业：P2291~7

《数学分析》教案 第九章 定积分 海南大学数学系 9   −     = −  x x t x f t dt d x t 0 0 ( ) ( ) 1 1  =  − x x f t x t dt 0 ( )( ) 。 设 n = m 时成立，即       = − + + − m m m x x m f x R f x f x ( ) ! ( ) ( ) ( ) 0 0 ( ) 0   = − + x x m m f t x t dt m 0 ( )( ) ! 1 ( 1) 。       − + = − + + + + + 1 0 0 ( 1) 1 0 ( ) ( 1)! ( ) ( ) ( ) m m m x x m f x R f x f x   = − + x x m m f t x t dt m 0 ( )( ) ! 1 ( 1) 1 0 0 ( 1) ( ) ( 1)! ( ) + + − + − m m x x m f x  = − + x x m m f t x t dt m 0 ( )( ) ! 1 ( 1)  − − + x x m m f x x t dt m 0 ( )( ) ! 1 0 ( 1)    = − − + + x x m m m f t f x x t dt m 0 ( ) ( ) ( ) ! 1 0 ( 1) ( 1)   −     = + x x m t x m f t dt x t dt m 0 0 ( ) ( ) ! 1 1 1 ( 2)  + + − + = x x m m f t x t dt m 0 ( 2) 1 ( )( ) ( 1)! 1 。 推论： Lagrange 余项 1 0 ( 1) ( ) ( 1)! ( ) ( ) + + − + = n n n x x n f R x  ， 介于 0 x ， 1 x 之间。 作业: P229 1～7

《数学分析》教案 第九章定积分 海南大学数学系 §9定积分的计算（续） 利用牛顿一莱布尼兹计算定积分的关键是求被积函数的不定积分，而换元积分法和分部积 分分法是求不定积分的基本方法，下面我们把这两种方法进一步推广到定积分上去。 一、定积分的换元积分法 应用换元积分法计算定积分时，变换过程和求不定积分的换元积分法是一样的。在不定 积分时，积分后要换回原来的积分变量。但在定积分利用换元积分法时，相应的改变积分的上 下限。不必再换回到原来的积分变量，可以简化定积分的计算。 例9.5.1计算1-Vx 解：作变量代换F=%即，这时=2。当x从4连续增加到9，“从2连续增加到3， 即当x=4时，4=2：当x=9时，u=3。因此 j-j片2油-20+0+品 [-0+2-2n-3=-7-2n2 一般定积分的换元积分法叙述如下： 定理5.1设函数f()eC,若函数=o(回在区间a,川连续可微，且当a≤1≤P时 a≤p)≤b,p(a)=ap(B)=br则 Jf(x)d=J[o(]o()d (9.5.1) 正：由假设f(∈C[,),f四必有原函数，不妨设F()是四的一个原函数，即 F()=∫()，x[a月。根据牛顿一菜布尼兹公式，有 ∫fx)=F(b)-F(a (9.5.2) 另一方面，由复合函数求导法则及复合函数的连续性，有

《数学分析》教案 第九章 定积分 海南大学数学系 10 §9 定积分的计算（续） 利用牛顿－莱布尼兹计算定积分的关键是求被积函数的不定积分，而换元积分法和分部积 分分法是求不定积分的基本方法，下面我们把这两种方法进一步推广到定积分上去。 一 、定积分的换元积分法 应用换元积分法计算定积分时，变换过程和求不定积分的换元积分法是一样的 。在不定 积分时，积分后要换回原来的积分变量。但在定积分利用换元积分法时，相应的改变积分的上、 下限。不必再换回到原来的积分变量，可以简化定积分的计算。 例 9.5.1 计算 9 4 1 x dx − x  解：作变量代换 2 x u u dx udu = = , 2 即 ，这时 。当 x 从 4 连续增加到 9，u 从 2 连续增加到 3， 即当 x u x u = = = = 4 2 9 , 3 时， ; 当 时 。因此 9 3 3 4 2 2 2 2 2(1 ) 1 1 1 x t dx tdt t dt x t t   = = − + + =   − − −      ( ) 2 3 1 2ln 1 7 2ln 2 2 t t   − + − − = − −   一般定积分的换元积分法叙述如下： 定理 5.1 设函数 f x C a b ( )  ,  ，若函数 x t = ( ) 在区间  ,  连续可微，且当    t 时， a t b a b   = =      ( ) , , ( ) ( ) ， 则 ( ) ( ) ( ) b a f x dx f t t dt   =         (9.5.1) 证：由假设 f x C a b ( )  ,  ， f x( ) 必有原函数，不妨设 F x f x ( )是 ( ) 的一个原函数，即 F x f x x a b ( ) =  ( ), ,   。根据牛顿－莱布尼兹公式，有 ( ) ( ) ( ) b a f x dx F b F a = −  （9.5.2） 另一方面，由复合函数求导法则及复合函数的连续性，有