海南大学：《数学分析》课程教学资源（教案讲义）第九章 定积分 9.6 可积性理论的补叙

《数学分析》教案 第九章定积分 海南大学数学系 *§9.6可积性理论的补叙 这一节，我们从理论上研究函数可积准则，给出函数在某一区间上可积的 充分必要条件。 一、达布(Darboux1842~1917法国数学家)上和与下和的性质 1、思路与方案： 思路：鉴于积分和与分法和介点有关，先简化积分和.用相应于分法 T的 “最大”和“最小”的两个“积分和”去双逼一般的积分和，即用极限的双逼 原理考查 积分和有极限，且与分法T及介点5无关的条件， 方案：定义上和S(T)和下和(T).研究它们的性质和当T→0时有相 同极限的充要条件 2.Darboux和： 以下总设函数f(x)在区间[a,b]上有界.并设m≤f(x)≤M, 其中m和M分别是函数f(x)在区间【a,b]上的下确界和上确界. 定义Darboux和，指出Darboux和未必是积分和·但Darboux和由分法T 唯一确定， 分别用S(T)、s(T和∑(T)记相应于分法T的上（大）和、下（小）和与 积分和. 积分和∑(T是数集（多值）·但总有s(T≤∑T≤S(T),因此有

《数学分析》教案 第九章 定积分 海南大学数学系 1 *§9．6 可积性理论的补叙 这一节，我们从理论上研究函数可积准则，给出函数在某一区间上可积的 充分必要条件。 一、 达布(Darboux 1842～1917 法国数学家) 上和与下和的性质 1、思路与方案： 思路: 鉴于积分和与分法和介点有关, 先简化积分和. 用相应于分法 T 的 “最大”和“最小”的两个“积分和”去双逼一般的积分和 , 即用极限的双逼 原理考查 积分和有极限, 且与分法 T 及介点 i  无关的条件 . 方案: 定义上和 ( ) _ S T 和下和 s(T) . 研究它们的性质和当 T → 0 时有相 同极限的充要条件 . 2. Darboux 和: 以下总设函数 f (x) 在区间 [ a , b ] 上有界. 并设 m  f (x)  M , 其中 m 和 M 分别是函数 f (x) 在区间 [ a , b ] 上的下确界和上确界 . 定义 Darboux 和, 指出 Darboux 和未必是积分和 . 但 Darboux 和由分法 T 唯一确定. 分别用 ( ) _ S T 、 s(T) 和 (T) 记相应于分法 T 的上（大）和、下（小）和与 积分和. 积分和 (T) 是数 集( 多值) . 但 总有 s(T)  (T)  ( ) _ S T , 因此有

《数学分析》教案 第九章定积分 海南大学数学系 s(T)≤ST). sT)和5(T)的几何意义. 3.Darboux和的性质： 本段研究Darboux和的性质，目的是建立Darboux定理. 先用分点集定义分法和精细分法：T≤T'表示T'是T的加细· 性质1：若T≤T',则s(T)≤(T),ST)≥5(T).即：分法加细，大 和不增， 小和不减.（证） 性质2：对任何T,有mb-a)≤S(T),M(b-a)2s(T.即：大和 有下界， 小和有上界.（证） 性质3：对任何T和I,总有(T)≤S(T).即：小和不会超过大和 证：sT)≤sT+I)≤5(I+T)≤T) 性质4：设T'是T添加p个新分点的加细.则有 s(T)≤s(T)≤s(T)+p(M-m)Tl, S(T)2S(T)2S(T)-p(M-m)T. 证：设T是只在T中第i个区间[x,x,]内加上一个新分点x所成的分 法，分别设 M=黑，/，=牌，4，=即f· 显然有m≤M和M,≤M,≤M.于是

《数学分析》教案 第九章 定积分 海南大学数学系 2 s(T)  ( ) _ S T . s(T) 和 ( ) _ S T 的几何意义 . 3. Darboux 和的性质: 本段研究 Darboux 和的性质, 目的是建立 Darboux 定理. 先用分点集定义分法和精细分法: T  T  表示 T  是 T 的加细 . 性质 1： 若 T  T , 则 s(T)  s(T), ( ) _ S T  ( ) _ S T . 即 : 分法加细, 大 和不增, 小和不减 . ( 证 ) 性质 2： 对任何 T , 有 m(b − a)  ( ) _ S T , M (b − a)  s(T) . 即 : 大和 有下界, 小和有上界. ( 证 ) 性质 3： 对任何 T1 和 T2 , 总有 ( ) T1 s  ( ) 2 _ S T . 即: 小和不会超过大和 . 证： ( ) T1 s  ( ) T1 T2 s +  ( ) 1 2 _ S T +T  ( ) 2 _ S T . 性质 4： 设 T  是 T 添加 p 个新分点的加细. 则有 s(T)  s(T)  s(T) + p (M − m) T , ( ) _ S T  ( ) _ S T  ( ) _ S T − p(M − m) T . 证： 设 T1 是只在 T 中第 i 个区间 [ , ] i 1 i x x − 内加上一个新分点 x 所成的分 法, 分别设 sup ( ) [ , ] 1 1 M f x x x i− = , sup ( ) [ , ] 2 M f x i x x = , sup ( ) [ , ] 1 M f x i i x x i − = . 显然有 m  M1 和 M2  Mi  M . 于是

《数学分析》教案 第九章定积分 海南大学数学系 0≤ST-S(T)=M,(x,-x-)-M1(-x-)-M2(x-x) =(M,-Mx-x-)+(M,-M2x-x)≤ ≤(M-m(x-x-)+(M-m(x,-x)=(M-mx,-x)≤(M-m)T 添加p个新分点可视为依次添加一个分点进行p次.即证得第二式。 可类证第一式. 推论：设分法T'有p个分点，则对任何分法T,有 S(T)-p(M-m)lTllsS(T),s(T)+p(M-m)Tllzs(T). 证：S(T)-pM-m)Tl≤ST+T')≤S(T)· s(T)+p(M-m)ITI≥s(T+T')≥s(T). 4、上积分和下积分： 设函数f(x)在区间[a,b]上有界.由以上性质2， ()有上界，S(T)有下界.因此它们分别有上确界和下确界 定义：记fd=S),广fxd=spT).分别称和 心为 函数f(x)在区间【a,b]上的上积分和下积分. 对区间[口，b1上的有界函数f,工和广存在且有限，厂≥止 并且 对任何分法T,有T)s心ssS. 上、下积分的几何意义

《数学分析》教案 第九章 定积分 海南大学数学系 3 0 ( ) ( ) ( ) ( ) 2 ( ) 1 1 1 1 S T S T M x x M x x M x x  − = i i − i− − − i− − i − = (Mi − M1 )(x − xi−1 ) + (Mi − M 2 )(xi − x)  ( )( ) ( )( ) ( )( )  − − i−1 + − i − = − i − i−1 M m x x M m x x M m x x  (M − m) T . 添加 p 个新分点可视为依次添加一个分点进行 p 次. 即证得第二式. 可类证第一式. 推论： 设分法 T  有 p 个分点，则对任何分法 T ，有 S(T) − p(M − m) || T ||  S(T) ， s(T) + p(M − m) || T ||  s(T ) . 证： S(T) − p(M − m) || T ||  S(T + T)  S(T) . s(T) + p(M − m) || T ||  s(T + T)  s(T) . 4、上积分和下积分: 设函数 f (x) 在区间 [ a , b ] 上有界. 由以上性质 2 ， s(T) 有上界 ， ( ) _ S T 有下界 . 因此它们分别有上确界和下确界. 定义： 记  b a f (x)dx inf S(T) T = ,  b a f (x)dx sup s(T) T = . 分别称  b a 和  b a 为 函数 f (x) 在区间 [ a , b ] 上的上积分和下积分. 对区间 [ a , b ] 上的有界函数 f (x) ,  b a 和  b a 存在且有限 ,  b a   b a . 并且 对任何分法 T , 有 s(T)   b a   b a  ( ) _ S T . 上、下积分的几何意义

《数学分析》教案 第九章定积分 海南大学数学系 例1、求Dx)d和∫Dxt.其中Dx)是Dirichlet函 数. 5、Darboux定理： 定理1：设函数f(x)在区间[a,b]上有界，T是区间【a,b]的分法 则有 R5=xd,e)=止fx 证：（只证第一式.要证：对>0,36>0，使当T0.3r,使3m,否则/)为常值函数，厂=5 对任何 分法T成立.对任何分法T,只要T<6,就有

《数学分析》教案 第九章 定积分 海南大学数学系 4 例 1、 求  1 0 D(x)dx 和  1 0 D(x)dx . 其中 D(x) 是 Dirichlet 函 数 . 5、 Darboux 定理 : 定理 1： 设函数 f (x) 在区间 [ a , b ] 上有界, T 是区间 [ a , b ] 的分法 . 则有 0 lim T → ( ) _ S T =  b a f (x)dx , 0 lim T → s(T) =  b a f (x)dx . 证： ( 只证第一式 . 要证 : 对   0 ,   0 , 使当 T   时有 0  ( ) − _ S T  b a   . 0  ( ) − _ S T  b a 是显然的. 因此只证 ( ) − _ S T  b a   . )  b a inf S(T) T = ,  对   0 , T  , 使 ( ) _ S T <  b a *) , 2  + 设 T  有 p 个分点, 对任何分法 T , 由性质 4 的系, 有 ( ) − _ S T p (M − m) T  ( ) _ S T , 由* ) 式, 得 ( ) − _ S T p (M − m) T  ( ) _ S T <  b a , 2  + 即 ( ) − _ S T p (M − m) T <  b a , 2  + 亦即 ( ) _ S T  − b a < 2 +  p (M − m) T . 于是取 2 p(M − m) =   , ( 可设 M  m, 否则 f (x) 为常值函数,  b a = ( ) _ S T 对任何 分法 T 成立. ) 对任何分法 T , 只要 T   , 就有

《数学分析》教案 第九章定积分 海南大学数学系 0s5n)-工0,36>0,使当7<6时有 I∑f,)A,-1川<号对，eAx,成立. 在每个1止取，使0sM-)0。于是 150-∑f)A1=(M-fm》A< 因此，<6时有 |5T)-1|≤|5(T)-∑f5)Ax|+|∑fcA-1|<号+号= 此即肥5)=1.由Darboux定理，。广=1. 同理可证上：1.→上：厂， )对任何分法T,有s(T)≤∑(T)≤S(T),而

《数学分析》教案 第九章 定积分 海南大学数学系 5 0  ( ) − _ S T  b a     + = 2 2 . 此即 0 lim T → ( ) _ S T =  b a f (x)dx . 二、 可积的充要条件: 定 理 2 （ 充要条件 1 ）： 设函数 f (x) 在区间 [ a , b ] 上有界 . f (x) R[ a , b ]   b a =  b a . 证 ： ) 设  b a f (x)dx = I , 则 有 0 lim T →  i  i f (x ) x = I . 即 对   0 ,   0 , 使当 T   时有 |  i  i f (x ) x − I | < 2  对 i i  x 成立. 在每个 [ , ] i 1 i x x − 上取 i , 使 0 ( ) i i  M − f  2(b − a)   , 于是, | ( ) _ S T − ( ) i f  i x | = ( ( )) i i  M − f  i x < 2  . 因此, T   时有 | ( ) _ S T − I |  | ( ) _ S T − ( ) i f  i x | + |  i  i f (x ) x − I | < 2  + 2  =  . 此即 0 lim T → ( ) _ S T = I . 由 Darboux 定理 ,   b a = I . 同理可证  b a = I .   b a =  b a . ) 对任何分法 T , 有 s(T)  (T)  ( ) _ S T , 而

《数学分析》教案 第九章定积分 海南大学数学系 R-=工=那5m. 令和广的共值为1，由双逼原理→肥∑()=1· 定理3：f(x)有界.fx)∈R[a,b]台 对e>0,3T,)5(T)-(T)0,38>0, T,T0,3T,3 ∑o,△x,<6. 定理3'的几何意义及应用Th3'的一般方法：为应用Th3',通常用 下法构造分法T: 当函数f(x)在区间【a,b]上含某些点的小区间上o,作不到任意小时，可试用 6

《数学分析》教案 第九章 定积分 海南大学数学系 6 0 lim T → s(T) =  b a =  b a = 0 lim T → ( ) _ S T . 令  b a 和  b a 的共值为 I , 由双逼原理  0 lim T → (T) = I . 定理 3： f (x) 有界. f (x) R[ a , b ]  对   0 , T,  ( ) − _ S T s(T)   . 证 ： ) f (x) R[ a , b ]  0 lim T → ( ( ) − _ S T s(T) ) = 0. 即 对   0 ,   0 ,  T, T   时,  0  ( ) − _ S T s(T)   . ) s(T)   b a   b a  ( ) _ S T , 由 ( ) − _ S T s(T)   ,  0   b a –  b a   ,   b a =  b a . 定义： 称  i = Mi − mi 为函数 f (x) 在区间 [ , ] i 1 i x x − 上的振幅或幅度. 易见有  i  0 . 可证  i = sup ( ) ( ). , [ , ] 1 f x f x i i x x x x  −   −   定理 3’ (充要条件 2 )： f (x) 有界. f (x) R[ a , b ]  对   0 , T,      I i x . 定理 3’ 的几何意义及应用 Th 3’的一般方法: 为应用 Th 3’, 通常用 下法构造分法 T : 当函数 f (x) 在区间 [ a , b ] 上含某些点的小区间上  i 作不到任意小时, 可试用

《数学分析》教案 第九章定积分 海南大学数学系 f(x)在 区间【a,b]上的振幅0=M-m作o,的估计，有o,≤o.此时，倘能用总 长小于 云(0≠0，否则)为常值函数)的有限个小区间复盖这些点，以这有限个 小区间 的端点作为分法T的一部分分点，在区间[a,b]的其余部分作分割，使在每个 小区间 上有0，K20-a ，对如此构造的分法T,有 0-名0a+豆，a,含0a+豆as 5624+24≤6回-0tu品8 定理4（（励可积函数的特征）：设f,)在区间[a,b]上有界. f(x)eR[a,b]一对Vc>0和Ho>0,38>0,使对任何分法T, 只要0和o>0,36>0 使对任何分法T,只要T0,37,)0,之8的区间总长小于 。此时有

《数学分析》教案 第九章 定积分 海南大学数学系 7 f (x) 在 区间 [ a , b ] 上的振幅  = M − m 作  i 的估计 , 有  i   . 此时, 倘能用总 长小于 ( 0 2     , 否则 f (x) 为常值函数 )的有限个小区间复盖这些点，以这有限个 小区间 的端点作为分法 T 的一部分分点，在区间 [ a , b ] 的其余部分作分割，使在每个 小区间 上有  i < 2(b − a)  , 对如此构造的分法 T , 有 =  n i i i x 1    = − = =  +  m k n m j k k j j x x 1 1   <   = − =  +   − m k n m j k j x x 1 b a 1 2( )     − = =  +  −  n m j j n i i x x b a 1 1 2( )        − + = −  2 ( ) 2( ) b a b a . 定理 4 ( (R)可积函数的特征 )： 设 f (x) 在区间 [ a , b ] 上有界. f (x) R[ a , b ]  对   0 和   0 ,   0 , 使对任何分法 T , 只要 T   , 对应于     i 的那些小区间 i x  的长度之和 xi  . 证： ) f (x) 在区间 [ a , b ] 上可积, 对   0 和   0 ,   0 , 使对任何分法 T , 只要 T   , 就有 xi ixi ixi    ,  xi  . ) 对   0 , T,      i 的区间总长小于 ,   此时有

《数学分析》教案 第九章定积分 海南大学数学系 ∑aA-20,+20,A,se2a+24,≤ab-a+0合 =(b-a+1)

《数学分析》教案 第九章 定积分 海南大学数学系 8      = =  = =  =  +     +   − + m k n i i m k k n i i xi k xk i xi x x b a 1 1 1 1 ( )          = = (b − a +1)