海南大学：《数学分析》课程教学资源（教案讲义）第十一章 反常积分 11.2 无穷积分的性质与收敛判别法

《数学分析》教案 第十一章反常积分 海南大学数学系 §2无穷积分的性质与收敛判别法 教学目标：掌握无穷积分的性质与收敛判别准则. 教学内容：无穷积分的收敛：条件收敛：绝对收敛：比较判别法：柯西判别法： 狄利克雷判别法：阿贝尔判别法 (1)基本要求：掌握无穷积分的定义，会用柯西判别法判别无穷积分的敛散 性. (②)较高要求：掌握狄利克雷判别法和阿贝尔判别法 教学建议： (1)本节的重点是掌握判别无穷积分收敛的方法，要求学生主要学会用柯西 判别法判别无穷积分的敛散性. (②)本节的难点是用狄利克雷判别法或阿贝尔判别法判别无穷积分的敛散 性，对较好学生布置这方面的习题 (3)举例说明：当∫1f(x)川d收敛时，不一定有1imf()=0,由此使学生 对柯西准则有进一步的理解。 教学过程： 一、无穷积分的性质： )f)在区间【a,+o)上可积，k一Const,则函数女f在区 间【a,+o)上可积， 材（网=k 且& 了f)女 (2)f()和8()在区间[a,+o)上可积，→fx)±)在区间 【a,+oo)

《数学分析》教案 第十一章 反常积分 海南大学数学系 1 §2 无穷积分的性质与收敛判别法 教学目标：掌握无穷积分的性质与收敛判别准则． 教学内容：无穷积分的收敛；条件收敛；绝对收敛；比较判别法；柯西判别法； 狄利克雷判别法；阿贝尔判别法． (1) 基本要求：掌握无穷积分的定义，会用柯西判别法判别无穷积分的敛散 性． (2) 较高要求：掌握狄利克雷判别法和阿贝尔判别法． 教学建议： (1) 本节的重点是掌握判别无穷积分收敛的方法，要求学生主要学会用柯西 判别法判别无穷积分的敛散性． (2) 本节的难点是用狄利克雷判别法或阿贝尔判别法判别无穷积分的敛散 性，对较好学生布置这方面的习题． (3)举例说明：当   a | f (x) | dx 收敛时，不一定有 lim ( ) 0 x f x → + = ，由此使学生 对柯西准则有进一步的理解． 教学过程： 一、无穷积分的性质: ⑴ 在区间 上可积 , — Const , 则函数 在区 间 上可积 , 且 . ⑵ 和 在区间 上可积 , 在区间

《数学分析》教案 第十一章反常积分 海南大学数学系 ju±g=jf±j& 上可积，且 (3) 无穷积分收敛的Cauchy准则：（翻译P(A→8，A→+0） Jf(x)dx 定理 积分 收敛 (④绝对收敛与条件收敛：定义概念. 绝对收敛→收敛，（证) 但反之不确。绝对型积分与非 绝对型积分。 二、无穷积分收敛判别法 非负函数无穷积分判敛法：对非负函数，有F(④人，非负函数无穷积分敛 散性记法 ()比较判敛法： 设在区间[a,+o)上函数J()和()非 负且 寸)≤8因，又对任何A>a,f因和8四在区间【a,A]上可积.则 +0.(证) 7细(1+dx 例1、 判惭积分。5+x2 的敛散 性. 比较原则的极限形式：设在区间[4，+o)上函数 共敛

《数学分析》教案 第十一章 反常积分 海南大学数学系 2 上可积 , 且 . ⑶ 无穷积分收敛的 Cauchy 准则: ( 翻译 ) 定理 积分 收敛 . ⑷ 绝对收敛与条件收敛: 定义概念. 绝对收敛 收敛, ( 证 ) 但反之不确. 绝对型积分与非 绝对型积分 。 二、无穷积分收敛判别法 非负函数无穷积分判敛法: 对非负函数,有 ↗. 非负函数无穷积分敛 散性记法. ⑴ 比较判敛法: 设在区间 上函数 和 非 负且 ，又对任何 > , 和 在区间 上可积 . 则 < < , 与 共敛

《数学分析》教案 第十一章反常积分 海南大学数学系 散： i>c=0,→ , a〈+0o时，2〈+c0: iii> c=+0, a=+o时，a +0, （证) idx (2) a致法：气以不为比较对象即取闭：之 下a>0) 对任4a.e→+e 1 f)2x不且P≤1，→日=+o, Cauchy判敛法的极限形式：设（闭是在任何有限区间a,A]上可积的 正值函数 且照因=.则 p>1,0≤ p≤1,00明 增x2 []P 324E6 (3)其他判敛法： Abe1判敛法：若f()在区间【a,+oo)上可积，()单调有界，则积

《数学分析》教案 第十一章 反常积分 海南大学数学系 3 散 : ⅱ> , , 时, . ( 证 ) ⑵ Cauchy 判敛法: ( 以 为比较对象, 即取 .以 下 > 0 ) 对任何 > , , 且 , . ( 证 ) 例 2、 讨论以下无穷积分的敛散性 : ⅰ> ⅱ> [1]P 324 E6 ⑶ 其他判敛法: Abel 判敛法: 若 在区间 上可积 , 单调有界 , 则积 分

《数学分析》教案 第十一章反常积分 海南大学数学系 fg(闭d本收敛 Dirichlet判敛法： 设（④=J在区间【a,+@)上有界，8闭在 [a,+o) 上单调，且当x→m时，g闭→0，则积分g闭油收数 例3、讨论无穷积分}x之 性.[1]P325E7 例4、证明下列无穷积分收敛，且为条件收敛： 了ma 了cosx2h [1]P326E8 sinx 例5、 (乘积不可积的例)设了因反，x1,+四)，由例6 的结果， [f(x)dx fr6d=了oxdr 积分 收敛.但积分1 却发散.（参阅 例6) 作业：P275:1,2,3,4,5

《数学分析》教案 第十一章 反常积分 海南大学数学系 4 收敛. Dirichlet 判敛法: 设 在区间 上有界 ， 在 上单调，且当 时， . 则积分 收敛. 例 3、 讨论无穷积分 与 的敛散 性. [1]P325 E7 例 4、 证明下列无穷积分收敛 , 且为条件收敛 : , , . [1]P326 E8 例 5、 ( 乘积不可积的例 ) 设 , . 由例 6 的结果, 积分 收敛 . 但积分 却发散.( 参阅 例 6 ) 作业： P275：1，2，3，4，5