海南大学：《数学分析》课程教学资源（教案讲义）第十四章 幂级数 14.2 函数的幂级数展开

《数学分析》下册教案 第十四章幂级数 海南大学数学系 §2函数的幂级数展开 教学目标：掌握泰勒级数和麦克劳林级数展开，初等函数的幂级数展开. 教学内容：泰勒级数和麦克劳林级数展开式的定义：五种基本初等函数的幂级数展开式 (①)基本要求：掌握泰勒级数和麦克劳林展开式，五种基本初等函数的幂级数展开. (2)较高要求：学会用逐项求积和逐项求导的方法展开初等函数，并利用它们作间接展开. 教学建议： (①)要求学生必须学握泰勒级数和麦克劳林展开式，并利用五种基本初等函数的幂级数展 开某些初等函数或作间接展开. (2)对较好学生可布置利用逐项求导和逐项求积的方法展开初等函数的习题. 教学过程： 一、问题的提出 幂级数不仅形式简单，而且有很多特殊的性质（如收敛域是区间：在收敛域内部内闭一致 收敛，在收敛域内可逐项积分、逐项微分等)。这就使我们想到，能否把一个函数表示为幂级数 来研究？ 二、问题的解决 定理2设f(x)在O(x)内有n+1阶连续导数，则对一切x∈O(),有 =)+Xx-)++2-+() n! 其中)=了n0x-y. 三、基本初等函数的幂级数展开式 在实际应用中，往往取x。=0,此时的Taylor级数 f0+f0x+f0r+ 21 称为eain级数此时积分型余项为：()-了0x-r山

《数学分析》下册教案 第十四章 幂级数 海南大学数学系 1 §2 函数的幂级数展开 教学目标：掌握泰勒级数和麦克劳林级数展开，初等函数的幂级数展开． 教学内容：泰勒级数和麦克劳林级数展开式的定义；五种基本初等函数的幂级数展开式． (1) 基本要求：掌握泰勒级数和麦克劳林展开式，五种基本初等函数的幂级数展开． (2) 较高要求：学会用逐项求积和逐项求导的方法展开初等函数，并利用它们作间接展开． 教学建议： (1) 要求学生必须掌握泰勒级数和麦克劳林展开式，并利用五种基本初等函数的幂级数展 开某些初等函数或作间接展开． (2) 对较好学生可布置利用逐项求导和逐项求积的方法展开初等函数的习题． 教学过程： 一、 问题的提出 幂级数不仅形式简单，而且有很多特殊的性质（如收敛域是区间；在收敛域内部内闭一致 收敛，在收敛域内可逐项积分、逐项微分等）。这就使我们想到，能否把一个函数表示为幂级数 来研究？ 二、 问题的解决 定理 2 设 f x( ) 在 0 O x( )  内有 n +1 阶连续导数，则对一切 0 x O x( )   ，有 ) 0 0 0 0 0 ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ! n n n f x f x f x f x x x x x r x n ( = + − + + − +  ， 其中 0 1 ( 1) ( ) ( )( ) ! x n n n x r x f t x t dt n + = −  . 三 、 基本初等函数的幂级数展开式 在实际应用中,往往取 0 x = 0 ,此时的 Taylor 级数 2 (0) (0) (0) 1! 2! f f f x x   + + + 称为 Maclaurin 级数, 此时积分型余项为 ( 1) 0 1 ( ) ( )( ) ! x n n n r x f t x t dt n + = − 

《数学分析》下册教室 第士四章幂级数 海南大学数学系 1、 -0 此处，a≠01,2，Cg=aa-小a-n+n n! 7、 2川2n++ -1<x<1 四、应用基本展开式的例子 例1、求下列函数按x幂级数展开的Taylor级数. (1)sin2x; ②x-1Xx+2 6 (3)ln1-x-x2+x2) 例2、求y=ln(x++x)在=0的Taylor展开 例3、将上：按x-1琴级数层开：②按号器级数展开 作业：P58:1,2,3

《数学分析》下册教案 第十四章 幂级数 海南大学数学系 2 1、 2 1 2! ! n x x x e x n = + + + + + , −    x 2、 3 5 2 1 sin ( 1) 3! 5! (2 1)! n x x x n x x n + = − + − + − + + , −    x 3、 2 4 2 cos 1 ( 1) 2! 4! (2 )! n x x x n x n = − + − + − + , −    x 4、 2 3 1 ln(1 ) ( 1) 2 3 n x x x n x x n − + = − + − + − + , −   1 1 x 5、 3 5 7 arctan 3 5 7 x x x x x = − + − + , −   1 1 x 6、 0 (1 ) n n n x C x    = + =  , x  −  1,1 此处,  0,1,2, , ( 1) ( 1) ! n n C n     − − + = 7、 3 5 2 1 1 3 (2 1)!! arcsin , 2 3 8 5 2 1 2 ! n n x x n x x x n n + − = +  +  + +  + + −   1 1 x 四、 应用基本展开式的例子 例 1、 求下列函数按 x 幂级数展开的 Taylor 级数. (1) 2 sin x ; (2) 6 ( 1)( 2) x x − + ; (3) 2 3 ln(1 ) − − + x x x 例 2、 求 2 y x x = + + ln( 1 ) 在 0 x = 0 的 Taylor 展开. 例 3、将 1 x : (1)按 x −1 幂级数展开; (2)按 1 1 x x − + 幂级数展开. 作业： P58：1，2，3