海南大学：《数学分析》课程教学资源（教案讲义）第十九章 含参量积分 19.2 含参量反常积分

《数学分析》下册 第十九章含参量积分 海南大学数学系 §2含参量反常积分 教学目的掌握含参量反常积分的一致收敛性概念，含参量反常积分的性质，含 参量反常积分的魏尔斯特拉斯判别法，了解狄里克雷判别法和阿贝尔判别法. 教学要求 (1)掌握含参量反常积分的一致收敛性及其判别法，含参量反常积分的性质， 以及含参量反常积分的魏尔斯特拉斯判别法. (②)掌握和应用狄里克雷判别法和阿贝尔判别法 教学建议 (1)本节的重点是含参量反常积分的一致收敛性及魏尔斯特拉斯判别法.要 求学生会用魏尔斯特拉斯判别法判别含参量反常积分的一致收敛性. (②)本节的难点是狄里克雷判别法和阿贝尔判别法以及含参量反常积分的 连续性，可微性与可积性定理的证明.对较好学生在这方面提出高要求，布置有 关习题：另外，由于这方面内容与函数项级数部分有类似之处，还可要求他们作 比较与总结. 教学程序 定义设函数f心，川定义在无界区域R=《b加≤x≤6c≤yc,使得当M>N时，对一切xea,】,都有 「fs,y-6x<6

《数学分析》下册 第十九章 含参量积分 海南大学数学系 1 §2 含参量反常积分 教学目的 掌握含参量反常积分的一致收敛性概念，含参量反常积分的性质，含 参量反常积分的魏尔斯特拉斯判别法，了解狄里克雷判别法和阿贝尔判别法． 教学要求 (1)掌握含参量反常积分的一致收敛性及其判别法，含参量反常积分的性质， 以及含参量反常积分的魏尔斯特拉斯判别法． (2) 掌握和应用狄里克雷判别法和阿贝尔判别法． 教学建议 (1) 本节的重点是含参量反常积分的一致收敛性及魏尔斯特拉斯判别法．要 求学生会用魏尔斯特拉斯判别法判别含参量反常积分的一致收敛性． (2) 本节的难点是狄里克雷判别法和阿贝尔判别法以及含参量反常积分的 连续性，可微性与可积性定理的证明．对较好学生在这方面提出高要求，布置有 关习题；另外，由于这方面内容与函数项级数部分有类似之处，还可要求他们作 比较与总结． 教学程序 定义 设函数 f (x, y) 定义在无界区域 R = (x, y)a  x  b,c  y  + 上，若对 a,b 内每一个固定的 x ，反常积分 ( )  + c f x, y dy 都收敛，则它的值定义了 a,b 上一 个 x 的函数，记 I(x)= ( )  + c f x, y dy ， x  a,b . （1） 称（1）式为定义在 a,b 上的含参量 x 的无穷限反常积分. 一、 一致收敛概念及其判别法 （一）、一致收敛的定义 定义 1 若含参量的反常积分（1）与函数 I(x) 对任给的正数  ，总存在某个 实数 N  c ，使得当 M  N 时，对一切 x  a,b ，都有 ( ) − ( )    M c f x, y dy I x ， 即

《数学分析》下册 第十九章含参量积分 海南大学数学系 Fromie 则称含参量的反常积分(1)在a,上一致收敛于) （二)、一致收敛的柯西准则 定理19.7含参量的反常积分(1)在[a,b月]上一致收敛的充要条件是：对任 给的正数&，总存在某个实数M>c,使得当A,A>M时，对一切x∈a,], 都有 (f(x.yldy-1(x)0），但在(0，+o)上不一致收敛. sin u du 证令=y,y ,其中A>0,由于 收敛，故 对任给的E>0,总存在正数M,使当A>M时就有下s M 取46>M,则当>方时，对-切≥6>0，有 严 fsnx义d 所以。y 在x之6>0上一致收敛. 义 再证。y 在0，∞)上不一致收敛.按定义只要证明：存在某一正数50， 使对任何实数M心d,总相应地存在某个A>M及某个x∈D,+）,使得

《数学分析》下册 第十九章 含参量积分 海南大学数学系 2 ( )    + M f x, y dy ， 则称含参量的反常积分（1）在 a,b 上一致收敛于 I(x) （二）、一致收敛的柯西准则 定理 19.7 含参量的反常积分（1）在 a,b 上一致收敛的充要条件是：对任 给的正数  ，总存在某个实数 M  c ，使得当 A1 , A2  M 时，对一切 x  a,b， 都有 ( ) − ( )    2 1 , A A f x y dy I x . 例 1 证明参量的反常积分  + 0 sin dy y xy 在  ,+) 上一致收敛（其中   0 ），但在 (0,+) 上不一致收敛． 证 令 u = xy，  + A dy y sin xy =  + Ax du u sin u ，其中 A  0 ，由于  + 0 sin du u u 收敛，故 对任给的   0 ，总存在正数 M ，使当 A  M 时就有    + A du u sin u . 取 A  M ，则当  M A  时，对一切 x    0 ，有    + A dy y sin xy ， 所以  + 0 sin dy y xy 在 x    0 上一致收敛． 再证  + 0 sin dy y xy 在 (0,+) 上不一致收敛．按定义只要证明：存在某一正数 0  ， 使对任何实数 M( c) ，总相应地存在某个 A  M 及某个 x0,+) ，使得

《数学分析》下册 第十九章含参量积分 海南大学数学系 ” 收敛，故对任何正数5与M心小，总相应地存在某个x>0,使得 -6南-8加-62-6 了9的在0树上不一致效数 所以。 (三)、一致收敛的充要条件 定理19.8含参量的反常积分(1)在a,上一致收敛的充要条件是：对任 趋于+0的递增数列4，}（其中A=C),函数项级数 直 在a,上一致收敛. 证[必要性]由(1)在，上一致收敛，故对任给的正数6，必存在M>c, 使当A”>A>M时，对一切x∈a,b总有 「rx,yn>N时，就 有4>A>M.由(8)对一切xe血，就有 这就证明了级数(7)在上一致收敛. 3

《数学分析》下册 第十九章 含参量积分 海南大学数学系 3 0 sin    + A dy y xy ， 因  + 0 sin du u u 收敛，故对任何正数 0  与 M( c) ，总相应地存在某个 x  0 ，使得 0 0 sin sin −     + + du u u du u u Mx ，即有 −   + 0 0 sin du  u u   + Mx du u sin u 0 0 sin +   + du u u ， 令 2 1  0 =  + 0 sin du u u >0,则可得   + M dy y sin xy  + Mx du u sin u 0 0 0 0 0 2 sin  − =  − =   + du u u ， 所以  + 0 sin dy y xy 在 (0,+) 上不一致收敛． （三）、一致收敛的充要条件 定理 19.8 含参量的反常积分（1）在 a,b 上一致收敛的充要条件是：对任 一趋于 + 的递增数列 An  （其中 A = c 1 ），函数项级数  ( )   = + 1 1 , n A A n n f x y dy =  ( )  n=1 n u x 在 a,b 上一致收敛． 证 [必要性]由（1）在 a,b 上一致收敛，故对任给的正数  ，必存在 M  c ， 使当 A  A  M 时，对一切 xa,b 总有 ( )      A A f x, y dy ， （8） 又由 An → + (n →) ，所以对正数 M ，存在正整数 N ，只要 m  n  N 时，就 有 Am  An  M ．由（8）对一切 xa,b ，就有 ( )+ + ( ) = ( ) + + ( )     +1 +1 , , m m n n A A A A un x  um x f x y dy  f x y dy ， 这就证明了级数(7)在上一致收敛

《数学分析》下册 第十九章含参量积分 海南大学数学系 [充分性]略 (四)、一致收敛的M判别法 设有函数g6),使得/川≤86，a≤x≤h,c≤yc,含参量的反常积分 对参量x在[a,b上 「fx,y≤M 一致有界，即存在正数M,对一切，N>c及一切x∈血，】，都有 (iⅱ)对每一个xe口，函数gc,)关于y是单调递减且当y→+o时， 对参量x,以一致地收敛于0， [f(x.y)g(x.y)dy 则含参量的反常积分 在a,上一致收敛 (六)、一致收敛的阿贝尔判别法 (i)设 在[a,上一致收敛： (ⅱ)对每一个x∈a,b,函数gk,)关于y是单调函数，且对参量x,g,) 在a,上一致有界， 了/kg, 则含参量的反常积分， 在a,上一致收敛. 例2证明含参量的反常积分+ 在(0，+0)上一致收敛. 11 证由+，因 收敛和一致收敛的M判别法即可得。 例3证明含参量的反常积分。 x在0，d小上一致收敛

《数学分析》下册 第十九章 含参量积分 海南大学数学系 4 [充分性]略 （四）、一致收敛的 M 判别法 设有函数 g(y) ，使得 f (x, y)  g(x) ，a  x  b，c  y  + ， 若 ( )  + c g y dy 收敛，则 ( )  + c f x, y dy 在 a,b 上一致收敛． （五）、一致收敛的狄里克莱判别法 （ⅰ）对一切实数 N  c ，含参量的反常积分 ( )  N c f x, y dy 对参量 x 在 a,b 上 一致有界，即存在正数 M ，对一切， N  c 及一切 x  a,b ，都有 f (x y)dy M N c   , ； （ⅱ）对每一个 x  a,b ，函数 g(x, y) 关于 y 是单调递减且当 y → + 时， 对参量 x， g(x, y) 一致地收敛于 0， 则含参量的反常积分 ( ) ( )  + c f x, y g x, y dy 在 a,b 上一致收敛． （六）、一致收敛的阿贝尔判别法 （ⅰ）设 ( )  + c f x, y dy 在 a,b 上一致收敛； （ⅱ）对每一个 x  a,b ，函数 g(x, y) 关于 y 是单调函数，且对参量 x ，g(x, y) 在 a,b 上一致有界， 则含参量的反常积分， ( ) ( )  + c f x, y g x, y dy 在 a,b 上一致收敛． 例 2 证明含参量的反常积分  + + 0 2 1 cos dy x x 在 (− ,+) 上一致收敛． 证 由 2 2 1 1 1 cos x x x +  + ，因  + + 0 2 1 1 dy x 收敛和一致收敛的 M 判别法即可得． 例 3 证明含参量的反常积分  + − 0 sin dy x x e xy 在 0,d 上一致收敛．

《数学分析》下册 第十九章含参量积分] 海南大学数学系 证由x 收敛从而一致收敛，ke"≤1，(k)∈0，+x,d及 对每一y∈0，d单调，据阿贝尔判别法即得. 例4证明：若化在业+四上连续，又/.地在a.)上一致收] fx,y炒 敛，但在x=b处发散，则 在a,b)上不一致收敛. 正反肤银装身九为在上-真度盒.则时于任验的s>0。 总存在M>c,当A,A'>M时对一切x∈[a,b)恒有， 由假设化，在ac回上连续，所以/地在a,)上是x的连续函 数.在上面不等式中令x→b,得到当A>A>M时， jr(b.ysc 「f, f,炒 而6是任给的，因此 在x=b处收敛，这与假设矛盾.所以 在[a,b)上不一致收敛. 二、含参量反常积分的性质 (一)入、连续性 定理19.9设心川在，小xk+网)上连续，若含参量反常积分 因.沙在k上一致收益。则因在k小上连续。 证明由定理9.8，对任一递增且趋于+0的数列，X4=),函数项级 5

《数学分析》下册 第十九章 含参量积分 海南大学数学系 5 证` 由  + 0 sin dx x x 收敛从而一致收敛， =  1 −xy −xy e e ，(x, y)0,+)0,d 及 对每一 y0,d 单调，据阿贝尔判别法即得． 例 4 证明：若 f (x, y) 在 a,bc,+) 上连续，又 ( )  + c f x, y dy 在 a,b) 上一致收 敛，但在 x = b 处发散，则 ( )  + c f x, y dy 在 a,b) 上不一致收敛． 证 反证法．假若积分 ( )  + c f x, y dy 在 a,b) 上一致收敛．则对于任给的   0， 总存在 M  c ，当 A, A  M 时对一切 xa,b) 恒有， ( )    A A f x, y dy ， 由假设 f (x, y) 在 a,bc,+) 上连续，所以 ( )  + c f x, y dy 在 a,b) 上是 x 的连续函 数．在上面不等式中令 x →b ，得到当 A  A  M 时， ( )    A A f b, y dy ， 而  是任给的，因此 ( )  + c f x, y dy 在 x = b 处收敛，这与假设矛盾．所以 ( )  + c f x, y dy 在 a,b) 上不一致收敛． 二、含参量反常积分的性质 （一）、连续性 定理 19．9 设 f (x, y) 在 a,bc,+) 上连续，若含参量反常积分 I(x)= ( )  + c f x, y dy 在 a,b 上一致收敛，则 I(x) 在 a,b 上连续． 证明 由定理 19．8，对任一递增且趋于 + 的数列  ( ) 1 A A c n = ，函数项级

《数学分析》下册 第十九章含参量积分 海南大学数学系 =2了/，M=2u,树) 数 在la小上连续.又由于f心川在a,小xk+)上 连续，故每个“，()都在a,上连续。由函数项级数的连续性定理，函数)在 [a,上连续， (二)、可微性 定理19.10设f代化，川和，川在a小x+)上连续，若含参量反常积分 o.在kE. 在a,上一致收敛，则)在a, 上可微，且以6场 正明对在一适增且随于4一的数到以4=，令)了炒 定理1.g66炒了k 由e 在[4，上一致收敛，及定理19.8， 可2x-w 在a,】上一致收敛，据函数项级数逐项求导定理即 可得间-豆因-空eMj4 甲品帅w (三)、可积性 定建11设功在小上连续，若内.妆在k小上 致收敛，则)在血，上可积，且 jjf,jjfk达 证明由定理19.9知（儿血，上连续从而可积，又由定理19.9的证明函 6

《数学分析》下册 第十九章 含参量积分 海南大学数学系 6 数 ( )  ( )  ( )   =  = + = = 1 1 1 , n n n A A I x f x y dy u x n n 在 a,b 上连续．又由于 f (x, y) 在 a,bc,+) 上 连续，故每个 u (x) n 都在 a,b 上连续．由函数项级数的连续性定理，函数 I(x) 在 a,b 上连续． （二）、可微性 定理 19．10 设 f (x, y) 和 f (x y) x , 在 a,bc,+) 上连续，若含参量反常积分 I(x)= ( )  + c f x, y dy 在 a,b 上收敛， ( )  + c f x x, y dy 在 a,b 上一致收敛，则 I(x) 在 a,b 上可微，且 I(x)= ( )  + c f x x, y dy 证明 对任一递增且趋于 + 的数列  ( ) 1 A A c n = ，令 ( ) ( )  + = 1 , n n A A un x f x y dy ， 由定理 19．3 ( ) ( )  +  = 1 , n n A A un x f x x y dy ，由 ( )  + c f x x, y dy 在 a,b 上一致收敛，及定理 19．8， 可得 ( )  ( )    =  = +  = 1 1 1 , n A A x n n n n u x f x y dy 在 a,b 上一致收敛，据函数项级数逐项求导定理即 可得 I(x) = ( )  ( )    =  = +  = 1 1 1 , n A A x n n n n u x f x y dy = ( )  + c f x x, y dy ， 即 dx d ( )  + c f x, y dy = ( )  + c f x x, y dy . （三）、可积性 定理 19.11 设 f (x, y) 在 a,bc,+) 上连续，若 I(x)= ( )  + c f x, y dy 在 a,b 上一 致收敛，则 I(x) 在 a,b 上可积，且  b a dx ( )  + c f x, y dy = ( )   + c b a dy f x, y dx . 证明 由定理 19．9 知 I(x) a,b 上连续从而可积，又由定理 19．9 的证明函

《数学分析》下册 第十九章含参量积分] 海南大学数学系 数项级数 -空了协玄交日在山小上一致收敛，由逐项求积定理 即有 j炒j62je恤2j了kh时h」 了jfk 定理19.12设f川在a,小x[c+网)上连续，若 jf (i) “关于y在任何闭区间k,d上一致收敛， 了f, 于x在 任何闭区间a,上一致收敛， (ⅱ)积分 jj/k了j 上与c (18) 中有一个收敛，则(18)中的另一个也收敛，且 jje协jj达 证明不妨设(18)中第一个积分收敛，由此得 了帅 也收敛.当d>c时， a-了a 上j-了aM-jaj可 根据条件（1)及定理19.11，可推得 ,可可r可购

《数学分析》下册 第十九章 含参量积分 海南大学数学系 7 数项级数 ( )  ( )  ( )   =  = + = = 1 1 1 , n n n A A I x f x y dy u x n n 在 a,b 上一致收敛，由逐项求积定理， 即有  b a dx ( )  + c f x, y dy = ( )  b a I x dx =  ( )   n=1 b a un x dx =  ( )    = + 1 1 , n b a A A n n dx f x y dy = ( )     = + b n a A A dy f x y dx n n , 1 1 = ( )   + c b a dy f x, y dx . 定理 19.12 设 f (x, y) 在 a,bc,+) 上连续，若 （ⅰ） ( )  + a f x, y dx 关于 y 在任何闭区间 c,d 上一致收敛， ( )  + c f x, y dy 于 x 在 任何闭区间 a,b 上一致收敛， （ⅱ）积分 ( )   + + a c dx f x, y dy 与 ( )   + + c a dy f x, y dx （18） 中有一个收敛，则（18）中的另一个也收敛，且 ( )   + + a c dx f x, y dy = ( )   + + c a dy f x, y dx . 证明 不妨设（18）中第一个积分收敛，由此得 dx f (x y)dy a c   + + , 也收敛．当 d  c 时， d I = ( ) ( )     + + + − d c a a c dy f x, y dx dx f x, y dy = ( ) ( ) ( )       + + + + − − d c a a a d d c dy f x, y dx dx f x, y dy dx f x, y dy ， 根据条件（ⅰ）及定理 19.11，可推得 d I = ( )   + + a d dx f x, y dy  ( ) ( )     + + + + A d A a d dx f x, y dy dx f x, y dy

《数学分析》下册 第十九章含参量积分 海南大学数学系 洲w (20 由条件(iⅱ)，对任给的8>0，有G>0,使当A>G时，有 了jr海 ∫xy 选定A后，由 的一致收敛性，存在M>0,使得当d>M时有 irM 这两个结果应用到（20》式得到1，宁+号 即血1=0，这就证明了(19)式。 三、应用的例 e=n6r-sn匹k 例5计算1= (p>0,b>a) 7e=ahr-sm“在了fcosJe cosx达 1= =0 =a p(p>0) 由连续性

《数学分析》下册 第十九章 含参量积分 海南大学数学系 8  ( ) ( )     + + + + A d A a d dx f x, y dy dx f x, y dy . （20） 由条件（ⅱ），对任给的   0 ，有 G  0 ，使当 A  G 时，有 ( )   + + A d dx f x, y dy   ， 选定 A 后，由 ( )  + c f x, y dy 的一致收敛性，存在 M  0 ，使得当 d  M 时有 ( ) (A d ) f x y dy d −   + 2 ,  ， 这两个结果应用到（20）式得到 d I     + = 2 2 . 即 lim = 0 →+ d d I ，这就证明了（19）式． 三、应用的例 例 5 计算 I =  + − − 0 sin sin dx x bx ax e px （ p  0,b  a ） 解 x sin bx − sin ax =  b a cos xydy ， I =  + − − 0 sin sin dx x bx ax e px =   + − 0 e ( cos xydy)dx b a px =   + − b a px dy e xydx 0 cos =  + b a dy p y p 2 2 = p a p b arctan − arctan . 例 6 计算  + 0 sin dx x ax . 解 F(p) =  + − 0 sin dx x ax e px = p a arctan (p  0)， 由连续性  + 0 sin dx x ax = F(0) = → + 0 lim p F(p) = → + 0 lim p  + − 0 sin dx x ax e px = → + 0 lim p p a arctan = sgn a 2 

《数学分析》下册 第十九章含参量积分 海南大学数学系 例7计算) 和 收敛，0 致收敛，类似 也一致收敛， s56) )=e寸 由 10)fds 四、含参量的无界函数反常积分 设心，在区域R=血小x6,d小上有定义，若对某些x的值，y=d为函数 x,)的瑕点，则称： 「fx,y 为参量x的无界函数反常积分. 定义2对任给正数6，总存在某正数6<d-c,使得当0<刀<6时，对一 切x∈a,都有 「fx,y<s 「fx,y 则称含参量反常积分 在a,]上一致收敛. 注：从例子中可体会到含参量的反常积分的分析性质对一些困难的反常积分 的求出提供了方便。但这里只是零散的例。 作业教材P1891:2:3:4

《数学分析》下册 第十九章 含参量积分 海南大学数学系 9 例 7 计算 (r) =  + − 0 cos 2 e rxdx x . 解 由 2 2 cos x x e rx e − −  和  + − 0 2 e dx x 收敛，  + − 0 cos 2 e rxdx x 一致收敛，类似  + −   0 ( cos ) 2 e rx dx r x =  + − − 0 sin 2 xe rxdx x 也一致收敛， (r)=  + − − 0 sin 2 xe rxdx x =  + − − − +  0 cos 2 1 0 sin 2 1 2 2 e rx re rxdx x x =  + − − 0 cos 2 2 e rxdx r x = (r) r  2 − . 于是 ln(r)= c r ln 4 2 − + ， (r)= 4 2 r ce − ， 由 (0)=  + − 0 2 e dx x = 2  ， 得 (r)= 4 2 2 r e  − . 四、含参量的无界函数反常积分 设 f (x, y) 在区域 R = a,bc,d 上有定义，若对某些 x 的值， y = d 为函数 f (x, y) 的瑕点，则称 ( )  d c f x, y dy 为参量 x 的无界函数反常积分． 定义 2 对任给正数  ，总存在某正数   d −c ，使得当 0    时，对一 切 x  a,b ，都有 ( )     − d d f x, y dy ， 则称含参量反常积分 ( )  d c f x, y dy 在 a,b 上一致收敛． 注：从例子中可体会到含参量的反常积分的分析性质对一些困难的反常积分 的求出提供了方便。但这里只是零散的例。 作业 教材 P189 1;2;3;4