海南大学：《数学分析》课程教学资源（教案讲义）第二十一章 二重积分 21.5 三重积分

《数学分析》下册 第二十一章二重积分] 海南大学数学系 §5三重积分 教学目的掌握三重积分的定义和性质 教学内容三重积分的定义和性质：三重积分的积分换元法：柱面坐标变换：球 面坐标变换 基本要求：掌握三重积分的定义和性质，熟练掌握化三重积分为累次积分， 及用柱面坐标变换和球面坐标变换计算三重积分的方法. 教学建议 (①)要求学生必须掌握三重积分的定义和性质，知道有界闭区域上的连续函 数必可积.由于三重积分的定义与性质及充要条件与二重积分类似，可作扼要叙 述与比较. (2)对较好学生可布置这节的广义极坐标的习题 教学程序 一、三重积分的概念 背景：求某非均匀密度的曲顶柱体的质量时，通过“分割、近似，求和、取 极限”的步骤，利用求柱体的质量方法来得到结果.一类大量的“非均匀”问题 都采用类似的方法，从而归结出下面一类积分的定义. 定义1设f化，y)是定义在三维空间可 求体积的有界闭区域”上的函数，J是一 个确定的数，若对任给的正数6，总存在 某个正数δ，使对于'的任何分割T,当 它的细度门<⊙时，属于T的所有积分和 都有 f(Em.6 )Aa,-J<E 则称f,少在P上可积，数J称为函数心，y在"上的三重积分，记作 J.顶xht 其中，y,称为三重积分的被积函数，x,八，：称为积分变量，称为'积分区域。 1

《数学分析》下册 第二十一章 二重积分 海南大学数学系 1 §5 三重积分 教学目的 掌握三重积分的定义和性质． 教学内容 三重积分的定义和性质；三重积分的积分换元法；柱面坐标变换；球 面坐标变换． 基本要求：掌握三重积分的定义和性质，熟练掌握化三重积分为累次积分， 及用柱面坐标变换和球面坐标变换计算三重积分的方法． 教学建议 (1) 要求学生必须掌握三重积分的定义和性质，知道有界闭区域上的连续函 数必可积．由于三重积分的定义与性质及充要条件与二重积分类似，可作扼要叙 述与比较． (2) 对较好学生可布置这节的广义极坐标的习题． 教学程序 一、三重积分的概念 背景：求某非均匀密度的曲顶柱体的质量时，通过“分割、近似，求和、取 极限”的步骤，利用求柱体的质量方法来得到结果．一类大量的“非均匀”问题 都采用类似的方法，从而归结出下面一类积分的定义． 定义 1 设 f (x, y,z) 是定义在三维空间可 求体积的有界闭区域 V 上的函数， J 是一 个确定的数，若对任给的正数  ，总存在 某个正数  ，使对于 V 的任何分割 T ，当 它的细度 T   时，属于 T 的所有积分和 都有      −   = f J N i i i i i 1 ( , , ) , 则称 f (x, y,z) 在 V 上可积，数 J 称为函数 f (x, y,z) 在 V 上的三重积分，记作 J = ( )  V f x, y,z dvdydz ， 其中 f (x, y,z) 称为三重积分的被积函数， x, y,z 称为积分变量，称为 V 积分区域．

《数学分析》下册 第二十一章二重积分 海南大学数学系 可积函数类 (1)有界闭区域'上的连续函数必可积. (ⅱ)有界闭区域V上的有界函数f,y)的间断点集中在有限多个零体积 的曲面上，则)必在V上可积 二、化三重积分为累次积分 定理2115若函数f在，y在长方体V=a,小xk,d小x,f小上的三重积分 存在，且对任何x∈a,),二重积分 .厂rt 存在，其中D=[6,d小xe,f八，则积分 js∬f,y=o 也存在，且 ∬f心v.-xdord=Jdx∬f,o 证明用平行于坐标轴的平面网T作分割，它把'分成有限个小长方体 a-x]小小k4] 设M,m分别f化，以)为在"上的上、下确界.对于1，x上任一点5，在 D=bey,k]上有 m4y,△s∬/5，y,d ≤MAy,AE 现按下标j,k相加，则有 代tn形t形. 三A2A.L (2) 上述不等式两边是分割T的上和与下和.由于八，在P上可积，当门→0 2

《数学分析》下册 第二十一章 二重积分 海南大学数学系 2 可积函数类 （ⅰ）有界闭区域 V 上的连续函数必可积. （ⅱ）有界闭区域 V 上的有界函数 f (x, y,z) 的间断点集中在有限多个零体积 的曲面上，则 f (x, y,z) 必在 V 上可积. 二、化三重积分为累次积分 定理 21.15 若函数 f (x, y,z) 在长方体 V = a,bc,de, f  上的三重积分 存在，且对任何 x  a,b ，二重积分 I(x)= f (x y z)dydz D  , , 存在，其中 D = c,de, f  ，则积分  b a dx ( )  D f x, y,z d 也存在，且 ( )  V f x, y,z dxdydz =  b a dx ( )  D f x, y,z d . (1) 证明 用平行于坐标轴的平面网 T 作分割，它把 V 分成有限个小长方体 ijk v =       i i j j k k x , x y , y z ,z −1  −1  −1 ， 设 M ijk , mijk 分别 f (x, y,z) 为在 ijk v 上的上、下确界．对于   i i x , x −1 上任一点 i  ，在 D jk =     j j k k y , y z ,z −1  −1 上有 ( )     Djk mijk y j zk f  i , y,z dydz  ijk j k M y z ， 现按下标 j, k 相加，则有  ( )  j k D i jk f y z dydz ,  , , = ( )  D f  i , y,z dydz = ( )i I  ， 及      ( )  i i i i j k ijk j k m y I  x , ,    i j k ijk j k M y z , , ， (2) 上述不等式两边是分割 T 的上和与下和．由于 f (x, y,z) 在 V 上可积，当 T → 0

《数学分析》下册 第二十一章二重积分 海南大学数学系 时，下和与上和具有相同的极限，所以由(2)式得)在a,)]上可积且 ∫1x∬f,y,kd 由s2知道。)式右指中的二重积分： 可化为累次积分计算， 于上我们就能把(1)左边的三重积分化为三次积分来计算.如化为先对：，然 后对y,最后对x来求积分，则为 ∬/ytj了fy灶 =a c e 为了方便有时也可采用其他的计算顺序. 若简单区域V由集合 V={《xy(ky)s:≤2(x,y以y(x)sysy(x)asxsb} 所确定，'在y平面上的投影区域为 D={《y()sys,(以asxsb} 是一个x型区域，设化，)在上连续，化，以，（心在D上连续，） )上a,连续，则 .)dbd obdy Jr业了a了rcx法 其他简单区域类似. 一般区域厂上的三重积分，常将区域分解为有限个简单区域上的积分的和来 计算. 1计算t ,其中'为由 平面x=1x=2,:=0,y=x,:=y所围的区域. 保7jont =10

《数学分析》下册 第二十一章 二重积分 海南大学数学系 3 时，下和与上和具有相同的极限，所以由（2）式得 I(x) 在 a,b 上可积且 ( )  b a I x dx = ( )  V f x, y,z dxdydz . 由§2 知道，（1）式右端中的二重积分 ( )  D f x, y,z d 可化为累次积分计算， 于上我们就能把（1）左边的三重积分化为三次积分来计算．如化为先对 z ，然 后对 y ，最后对 x 来求积分，则为 ( )  V f x, y,z dxdydz =  b a dx ( )   d c f e dy f x, y,z dz . 为了方便有时也可采用其他的计算顺序． 若简单区域 V 由集合 V = (x, y,z)z1 (x, y)  z  z2 (x, y), y1 (x)  y  y2 (x),a  x  b 所确定， V 在 xy 平面上的投影区域为 D = (x, y) y1 (x)  y  y2 (x),a  x  b 是一个 x 型区域，设 f (x, y,z) 在上连续， z (x, y) 1 ， z (x, y) 2 在 D 上连续， y (x) 1 ， y (x) 2 上 a,b 连续，则 ( )  V f x, y,z dxdydz = ( ) ( )   D z z x y dxdy f x y z dz 2 1 , , , = ( ) ( ) ( ) ( )    b a y x y x z z x y dx dy f x y z dz 2 1 2 1 , , , ， 其他简单区域类似． 一般区域 V 上的三重积分，常将区域分解为有限个简单区域上的积分的和来 计算． 例1 计算  + V dxdydz x y 2 2 1 ，其中 V 为由 平面 x = 1, x = 2,z = 0, y = x , z = y 所围的区域. 解  + V dxdydz x y 2 2 1 =    + 2 1 0 0 2 2 1 x y dz x y dx dy =   + 2 1 0 2 2 x dy x y y dx =  2 1 ln 2 2 1 dx = ln 2 2 1

《数学分析》下册 第二十一章二重积分 海南大学数学系 x2.y2 解川后t若t三t 有”州 后t话-音 联可药即后后址音感」 所以1=3x5rabc=gabc. 三、三重积分换元法 设变换T:x=xu,yw),y=uw),=u,yw)把m空间中的区域V 一对一地映成空间中的区域V,并设函数x=xu,w),y=私，W), :=u,戊W)及它的偏导数在区域P”内连续且行列式 Ju,y,w)=6uan≠0，(u,w)eV' 则∬在恤t∬exe-e,wh ,(4) 其中，y在V上可积 (一)、柱面坐标变换 如下图所示

《数学分析》下册 第二十一章 二重积分 海南大学数学系 4 例 2 求          + + V dxdydz c z b y a x 2 2 2 2 2 2 ，其中 V 为 1 2 2 2 2 2 2 + +  c z b y a x . 解 I =  V dxdydz a x 2 2 +  V dxdydz b y 2 2 +  V dxdydz c z 2 2 ， 而  V dxdydz a x 2 2 =   − a a Rx dx dydz a x 2 2 ，而 Rx 为区域： 2 2 2 2 2 2 1 a x c z b y +  − ,即 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2          − +         − a x c z a x b y ，其面积为         − 2 2 1 a x bc ，故  V dxdydz a x 2 2 = dx a x bc a x a a         −  − 2 2 2 2  1 = abc 15 4 ， 同样可得  V dxdydz b y 2 2 =  V dxdydz c z 2 2 = abc 15 4 ， 所以 4 4 3 15 5 I abc abc =  =   . 三、三重积分换元法 设变换 T ：x = x(u,v,w)，y = y(u,v,w)，z = z(u,v,w) 把 uvw 空间中的区域 V 一对一地映成 xyz 空间中的区域 V ，并设函数 x = x(u,v,w)， y = y(u,v,w)， z = z(u,v,w) 及它的偏导数在区域 V 内连续且行列式 J(u,v,w)= w z v z u z w y v y u y w x v x u x                    0 , (u,v,w) V , 则 ( )  V f x, y,z dxdydz = ( ( ) ( ) ( )) ( )  V f x u,v,w , y u,v,w ,z u,v,w J u,v,w dudvdw ，（4） 其中 f (x, y,z) 在 V 上可积． （一）、柱面坐标变换 如下图所示

《数学分析》下册 第二十一章二重积分 海南大学数学系 x=rcos0,0≤1<+∞ y=rsm0,0≤0≤2π 变换T:=, -0<<+o cos0 -rsin0 0 rcose 0 J8,)=0 0 按(4)式 ∬f,y=kdt∬f(cos0,rsm0,tnat 这里V'为V在柱面坐标变换下的原象 在柱面坐标中： r=常数，是以：轴为中心轴的圆柱面： 0=常数，是过：轴的半平面： :=常数，是垂直于：轴的平面。 若V在平面上的投影区域D,即V=《怎y非(，川5S:,(,以川eD时 (y) ∬f,y杰t∬dk,.址 Gy） 其中二重积分部分应用极坐标计算 3计室顶2+h ，其中V是由曲面2+y少）=：与：=4为界面 的区域 解V在平面上的投影区域D为2+少≤2 旷6+yrkt∬r'drdak

《数学分析》下册 第二十一章 二重积分 海南大学数学系 5 变换 T ：      = −    + =   =   + z z z y r x r t , sin , 0 2 cos , 0     ， J(r,z)= 0 0 1 sin cos 0 cos sin 0     r − r = r ， 按（4）式 ( )  V f x, y,z dxdydz = ( )  V f r cos,rsin ,z rdrddz ， 这里 V 为 V 在柱面坐标变换下的原象． 在柱面坐标中： r =常数，是以 z 轴为中心轴的圆柱面；  =常数，是过 z 轴的半平面； z =常数，是垂直于 z 轴的平面． 若 V 在平面上的投影区域 D ，即 V = (x, y,z)z1 (x, y)  z  z2 (x, y),(x, y)D 时 ( )  V f x, y,z dxdydz = ( ) ( ) ( ) dxdy f x y z dz D z x y z x y   , , 2 1 , , ， 其中二重积分部分应用极坐标计算． 例 3 计算 ( )  + V x y dxdydz 2 2 ，其中 V 是由曲面 (x + y ) = z 2 2 2 与 z = 4 为界面 的区域． 解 V 在平面上的投影区域 D 为 2 2 2 x + y  ( )  + V x y dxdydz 2 2 =  V r drddz 3 =    =    2 0 2 0 4 2 3 2 3 8 r d dr r dz

《数学分析》下册 第二十一章二重积分】 海南大学数学系 (二)、球坐标变换 x=rsm0c0sB,0≤10为常数 解球面方程2+y2+-a=a2在球坐标系 下表示为=2 acosp, 圆锥面：=+少cotB在球坐标系下表示为 o=B. V'={,p,Bl0≤r≤2 acosp,.0≤p≤B,0≤0≤2π}

《数学分析》下册 第二十一章 二重积分 海南大学数学系 6 （二）、球坐标变换 变换 T ：      =   =   =   +          cos , 0 sin sin , 0 2 sin cos , 0 z r y r x r t ， J(r,, )= cos sin 0 sin sin cos sin sin cos sin cos cos cos sin sin               r r r r r − − − = sin  2 r ， 变换公式为： ( )  V f x, y,z dxdydz = f (r   r   r )r drdd V sin cos , sin sin , cos sin 2   在球面坐标中： r =常数，是以原点为中心的球面  =常数，是过 z 轴的半平面．  =常数，是以原点为顶点，以 z 轴为中心轴的圆锥面． 当 V = (r,, )r1 (, )  r  r2 ,1 ( )  2 ( ),    时, ( )  V f x, y,z dxdydz = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) d d f r r r r dr r r                   sin cos , sin sin , cos sin 2 , , 2 1 2 1 2 1    . 例 4 求由圆锥体 cot  2 2 z  x + y 和球体 ( ) 2 2 2 2 x + y + z − a  a 所确定的立体体积，其中        2 0,   和 a  0 为常数． 解 球面方程 ( ) 2 2 2 2 x + y + z − a = a 在球坐标系 下表示为 r = 2a cos ， 圆锥面 cot  2 2 z = x + y 在球坐标系下表示为  =  ， V = (r,, )0  r  2acos,0   ,0   2

《数学分析》下册 第二十一章二重积分] 海南大学数学系 hjo可jo产心at-o】 ∬dkdd x2y22 例5求1= ,其中V为由云+方+。≤引与：≥0所围区域 解作广义球坐标变换： 「x=arsin ocos0,0≤t<+o∞ y=brsin osin6,0s8s2元 变换T:(:=cr cos p, 0≤p≤π，J,p,日)=abcr2smp r-化o.0jpsrs10sps号0s0s2a =00 作业P251:1;2:3:4;5

《数学分析》下册 第二十一章 二重积分 海南大学数学系 7  V dv =          0 2 cos 0 2 2 0 sin a d d r dr =  (  ) 3 4 1 cos 3 4 a − . 例 5 求 I =  V zdxdydz ，其中 V 为由 1 2 2 2 2 2 2 + +  c z b y a x 与 z  0 所围区域． 解 作广义球坐标变换： 变换 T ：      =   =   =   +          cos , 0 sin sin , 0 2 sin cos , 0 z cr y br x ar t ， J(r,, )= sin  2 abcr ， ， I =  V zdxdydz =  V abcr sin  cosdrdd 3 =    2 0 1 0 3 2 0 sin cos   d d r  dr = 2 4 abc  . 作业 P251:1;2;3;4;5. ( )        =             ,0 2 2 V r, , 0 r 1,0