《高等代数》课程教学资源（教案讲义）第七章 线性变换

第七章线性变换 §1线性变换的定义$2线性变换的运算 教学目标掌握线性变换、线性变换的运算的定义与简单性质。 教学重点：线性变换、线性变换的运算的定义， 教学方法：讲授法 教学过程 51线性变换的定义 我们研究问题，一方面要认识研究对象单个的和总体的性质但更重要的是研究它们之间的各种 联系在线性空间中研究对象之间的各种关系通过映射建立起来的.线性空间V到V自身的映射称为 V的一个变换，本章我们来研究最简单，同时也是最基本的一变换：线性变换 定义1设A是'的一个变换若对a,BeP,k∈P有 A(a+B)=A(a)+A(B),A(ka)=kA(a). 则称A为一个线性变换 例l.设X∈P"B∈Pm,则 A(X)=BX 是P”的一个线性变换它就是第五章中研究过的线性替换 例2. 线性空间V中的恒等变换或称单位变换E: E(a)=a,VaeV 以及零变换0： 0(a)=0,a∈V 都是线性变摸 例3.V中的数乘变换K: K(a)=ka.Vaev. 是线性变换，其中k是P中任意取定的数： 例4. PLx]或PLx]n中微分变换D: D(f(x))=f(x)

第七章 线性变换 §1 线性变换的定义 §2 线性变换的运算 教学目标: 掌握线性变换、线性变换的运算的定义与简单性质。 教学重点: 线性变换、线性变换的运算的定义. 教学方法: 讲授法. 教学过程: §1 线性变换的定义 我们研究问题，一方面要认识研究对象单个的和总体的性质.但更重要的是研究它们之间的各种 联系.在线性空间中.研究对象之间的各种关系通过映射建立起来的.线性空间 V 到 V 自身的映射称为 V 的一个变换，本章我们来研究最简单，同时也是最基本的一变换：线性变换 定义 1 设 A 是 V 的一个变换.若对      , , V k P 有 A A A A k kA ( ) ( ) ( ), ( ) ( ).       + = + = 则称 A 为一个线性变换. 例1． 设 . , n n n X P B P    则 A X BX ( ) = 是 n P 的一个线性变换.它就是第五章中研究过的线性替换. 例2． 线性空间 V 中的恒等变换或称单位变换 E ： E V ( ) , .    =   以及零变换 0 ： 0( ) 0,   =  V 都是线性变换 例 3． V 中的数乘变换 K ： K k V ( ) . .    =   是线性变换，其中 k 是 P 中任意取定的数： 例4． P x[ ] 或 [ ] P x n 中微分变换 D ： D f x f x ( ( )) ( ) = 

是线性变换 例5.用C[a,b)表示[a,b)]上全体连续函数作成的R上的线性空间 则此空间中的积分变换J: Jfx》=f(d) 是一个线性变换 二。线性变换的简单性质： 1.设A是V的线性变换，则4(O)=0,4(-a)=-A(a)这是因为 4A(0)=A0-a)=0A(a)=0. A-a)=A(-1)=(-1)4Aa)=-4a) 2.线性变换保持线性组合与线性关系式不变： B-∑ka,→4AB)-∑k4a) 2a=0→2ka)=0 由2)立得 线性变换把线性相关的向量组变成线性相关的向量组 注意：3之逆不成立比如零变换把线性无关向量组变成线性相关的向量组 $2线性变换的运算 1.乘积：设A,B是V的两个线性变换令 AB:V-V,(ABX(a)=A(B(a)). 则易知AB仍是线性变换，称为A与B的乘积 乘法具有结合律：(AB)C=A(BC) 但乘法一般不可交换例如，对于微分变换D与积分变换J, Dfx》=f"(x,Jfx》=fth DJ=E,但JD≠E. 此外，设E为V中恒等变换.A为V中任一线性变换，则易知EA=AE=A 2线性变换的和 1)设A,B为V的线性变换令 A+B:V>V.(A+B)(a)=A(a)+B(a).VaEV

是线性变换 例5． 用 C a b [ , ] 表示 [ , ] a b 上全体连续函数作成的 R 上的线性空间. 则此空间中的积分变换 J ： ( ( )) ( ) x a J f x f dt =  是一个线性变换. 二．线性变换的简单性质： 1． 设 A 是 V 的线性变换，则 A A A (0) 0, ( ) ( ). = − = −   这是因为 A A A (0) (0 ) 0 ( ) 0. =  = =   A A A A ( ) ( 1 ) ( 1) ( ) ( ) − = −  = − = −     2． 线性变换保持线性组合与线性关系式不变： 1 1 ( ) ( ) r r i i i i i i     k A k A = = =  =   1 1 0 ( ) 0 r r i i i i i i k k A   = =   =  = 由 2)立得 3. 线性变换把线性相关的向量组变成线性相关的向量组. 注意：3 之逆不成立.比如零变换把线性无关向量组变成线性相关的向量组. §2 线性变换的运算 1. 乘积：设 A B, 是 V 的两个线性变换.令 AB V V AB A B : ,( )( ) ( ( )), → =   则易知 AB 仍是线性变换，称为 A 与 B 的乘积. 乘法具有结合律： ( ) ( ) AB C A BC = 但乘法一般不可交换.例如，对于微分变换 D 与积分变换 J ， 0 ( ( )) ( ), ( ( )) ( ) x D f x f x J f x f t dt = =   DJ E = , 但 JD E  . 此外，设 E 为 V 中恒等变换. A 为 V 中任一线性变换，则易知 EA AE A = = . 2.线性变换的和. 1) 设 A B, 为 V 的线性变换.令 A B V V A B A B V + → + = +   : ,( )( ) ( ) ( ), .    

则易知A+B仍是线性变换，称为A与B的和 2)线性变换的加法适合结合律与交换律 (A+B)+C=A+(B+C),A+B=B+A. 3)A+0=0+A 4)对于线性变换A.令 -A:(-A0a)=-Aa) 易知一A也是线性变换称为A的负变换 5)线性变换的乘法对加法有左、右分配律： A(B+C)=AB+AC.(B+C)A=BA+CA 3数乘 1)设A是P中线性变换k∈P.令 kA:(kA)(a)=kA(a)VaEV, 则易知k4仍为线性变换称为k与A的数量乘积 2)数乘具有下列性质 ()A=k4,(k+A=k4+A k(A+B)=kA+kB,1A=A 岛介细的线生老的加法与数是运复性烫可知线性空间Y中的全休线性变换，对知上定义 数乘米说，构成数域P上的一个线性空间 4.可逆变 设A是V的变换，若存在V的变换B使 AB=BA=E 则称A是可逆的.B称为A的逆变换记为设A为A的可逆线性变换，则由 A(a+)=A[(A)+(Ar(B)]=Ar'[AA'(a)》+A('(B] =A'[A'(a)+A'(β)1=(A(Γ'(a)+A'(B) -'(a)+r'(B) A(ka)=A(k(AA(a))=A(k(A(A-(a)))) ='(4Ak4r'(a》=(AA0(kr'(a》=k4r'(a) 可知，也是V的线性变换 5.线性变换的多项式 由线性变换的乘法适合结合律知，A若是线性变换则可定义

则易知 A B+ 仍是线性变换，称为 A 与 B 的和. 2) 线性变换的加法适合结合律与交换律： ( ) ( ), . A B C A B C A B B A + + = + + + = + 3) A A + = + 0 0 . 4) 对于线性变换 A .令 − − = − A A A : ( )( ) ( ).   易知 −A 也是线性变换.称为 A 的负变换. 5) 线性变换的乘法对加法有左、右分配律： A B C AB AC B C A BA CA ( ) .( ) . + = + + = + 3.数乘 1) 设 A 是 V 中线性变换. k P  . 令 kA kA kA V : ( )( ) ( ) ,    =   则易知 kA 仍为线性变换.称为 k 与 A 的数量乘积. 2) 数乘具有下列性质 ( ) ( ),( ) , kl A k lA k l A kA lA = + = + k A B kA kB A A ( ) ,1 + = + = 由上面介绍的线性变换的加法与数乘运算性质可知.线性空间 V 中的全体线性变换，对如上定义 的加法与数乘来说，构成数域 P 上的一个线性空间. 4.可逆变换 设 A 是 V 的变换，若存在 V 的变换 B 使 AB BA E = = . 则称 A 是可逆的. B 称为 A 的逆变换记为 1 A . − 设 A 为 A 的可逆线性变换，则由 1 1 1 1 1 1 1 A A AA AA A A A A A ( ) [( )( ) ( )( )] [ ( ( )) ( ( ))]       − − − − − − − + = + = + 1 1 1 1 1 1 A A A A A A A A [ ( ( ) ( ))] ( )( ( ) ( ))     − − − − − − = + = + 1 1 A A ( ) ( )   − − = + 1 1 1 1 1 A k A k AA A k A A ( ) ( ( )( )) ( ( ( ( ))))    − − − − − = = 1 1 1 1 1 A A kA A A kA kA ( ( ( ))) ( )( ( )) ( )    − − − − − = = = 可知， 1 A − 也是 V 的线性变换. 5.线性变换的多项式 由线性变换的乘法适合结合律知， A 若是线性变换则可定义

4"=4A.A 称为A的n次幂再令A°=E.则可推出指数法则。 A+"=A".A,(A)”=A(m,n之0). 当A可逆时，定义A”=(A”,则指数法则对负整数也成立 设f(x)=amx"+am-xm-+.+a。∈P[xl,则 f(A)=a 4+aA++aE. 是一线性变换称为线性变换A的多项式易知f(A)g(A)=g(A)f(A). 作业：P323,习题1之1)，3)，5). 预习：下一节的基本概念 §3线性变换的矩阵 教学目标掌握线性变换的矩阵的概念、线性变换与矩阵的对应关系、线性变换在不同基下的矩 阵的关系。 教学重点：线性变换的矩阵的概念、线性变换在不同基下的矩阵的关系。 教学方法：讲授法. 教学过程 对于有限维空间V中的线性变换，矩阵是一个有力的研究工具，本节我们来建立线性变换与矩阵 的关系. 我们知道，n维线性空间中任一向量可由任一给定的一组基，唯一地线性表出，再由线性 变换的定义，不难看出，只要知道了A松，A6。,则我们就掌握了A,换言之，我们有 1.设6，.，6n是V的一组基若 A6,=B6,i=1,2,n (0 则A=B. 证明对5∈V.设5=∑x6,则有（由(1）

n n A AA A = 个 称为 A 的 n 次幂.再令 0 A E = . 则可推出指数法则. ,( ) ( , 0). m n m n m n mn A A A A A m n + =  =  当 A 可逆时，定义 1 ( ) , n n A A − − = 则指数法则对负整数也成立. 设 1 1 0 ( ) [ ], m m m m f x a x a x a P x − = + + +  − 则 1 1 1 0 ( ) . m m m m f A a A a A a E − − = + + + − 是一线性变换.称为线性变换 A 的多项式.易知 f A g A g A f A ( ) ( ) ( ) ( ). = 作业: P323,习题 1 之 1），3），5）。. 预习: 下一节的基本概念. §3 线性变换的矩阵 教学目标: 掌握线性变换的矩阵的概念、线性变换与矩阵的对应关系、线性变换在不同基下的矩 阵的关系。 教学重点: 线性变换的矩阵的概念、线性变换在不同基下的矩阵的关系。 教学方法: 讲授法. 教学过程: 对于有限维空间 V 中的线性变换，矩阵是一个有力的研究工具，本节我们来建立线性变换与矩阵 的关系. 我们知道， n 维线性空间中任一向量可由任一给定的一组基 1 , , n    唯一地线性表出，再由线性 变换的定义，不难看出，只要知道了 1 , , A A n    ，则我们就掌握了 A ，换言之，我们有 1. 设 1 , , n    是 V 的一组基.若 , 1,2, , A B i n i i   = =  (1) 则 A B= . 证明 对  V. 设 1 n i i i   x = =  ，则有(由(1))

5=立46=立Be=时 由5的任意性知必有A=B. 结论1表明，一个线性变换被它在一组基上的作用所决定， 2.设6，6n是V的一组基对于任意一组向量么，,一定有一个线性变换A使 As,=gi=l,2,.,n 证明对VEeV.设 5-26 (3) 定义 5=a (4 则显然A是V的变换任取，则B=∑b6,7=立c6B+7=∑6+Ge,kB=∑仙e 由4)立得 4B+)=26+Ga=2a+2e4=A0+4y AkB)=∑C,=k∑ba,=kAB 因此，A是线性变换又因为 6,=06,+.+051+l6,+061+.+08n,i=1,2,.n Ae=0a+.+0a1+la,+0a1+.+0an=a,i=1,2,n 所以 综上所述，我们有 定理1.设8，6n是V的一组基.%，.，Cn是V中任意n个向量，则存在唯一的线性变换A使 A6,=a,i=1,2.n 定义2.设6，6n是n维线性空间'的一组基，A是V中的一个线性变换若有

1 1 n n i i i i i i A x A x B B     = = ===   由  的任意性知必有 A B= . 结论 1 表明，一个线性变换被它在一组基上的作用所决定， 2. 设 1 , , n    是 V 的一组基.对于任意一组向量 1 , , ,  n  一定有一个线性变换 A 使 1,2, , A i n i i  = =  (2) 证明 对   V. 设 1 n i i i   x = =  (3) 定义 1 n i i i A x   = =  (4) 则显然 A 是 V 的变换.任取，则 1 , n i i i   b = =  1 n i i i   c = =  1 ( ) , n i i i i    b c = + = +  1 . n i i i k kb   = =  由(4)立得 1 1 1 ( ) ( ) n n n i i i i i i i i i i A b c b c A A        = = = + = + = + = +    1 1 ( ) n n i i i i i i A k kb k b kA     = = = = =   因此， A 是线性变换.又因为 1 1 1 0 0 1 0 0 , 1,2, , , i i i i n       i n = + + + + + + =  − + 1 1 1 0 0 1 0 0 , 1,2, , , A i n i i i i n i        = + + + + + + = =  − + 所以 综上所述，我们有 定理 1. 设 1 , , n    是 V 的一组基. 1 , ,  n  是 V 中任意 n 个向量，则存在唯一的线性变换 A 使 1,2, , A i n i i  = =  定义 2. 设 1 , , n    是 n 维线性空间 V 的一组基， A 是 V 中的一个线性变换.若有

A6=a6+a162++ani6。 Ae2=a26+a262+.+an26n AEn=a6+an52+.+anm 多 A6,62,6)=(A,A6,A5)=(6,6)A (5) 其中A=(a,)m,则称矩阵A为A在基6，8n下的矩阵 例恒等变换E在V的任一组基下矩阵是单位阵E,零变换0在V的任一组基下的矩阵是零矩阵 数乘变换在任一组基下的矩阵是数量矩阵kE。 定理2.设8，5。是V的一组基在这组基下，每个线性变换按公式 (⑤)对应一个矩阵这个对应具有下列性质： 1)线性变换的和对应矩阵的和： 2)线性变换的乘积对应矩阵的乘积： 3)线性变换的数量乘积对应矩阵的数量乘积 4)可逆线性变换对应可逆矩阵且逆变换对应逆矩阵 证明A,B是P的两个线性变换它们在基6，6n下的矩阵分别为A,B 1）由(A+B(8,6)=A8,8n)+B(8,.6n） =(6,En)A+(6,n)B=(6,EnA+B) 知结论1)成立 2)类似地，由 (AB)=A(B()=A(()B) =(A(G,6》B=(G,6)AB 知结论2)成立 3)由 4)(k4(G,En)=k(A8,.En》=k(e,8n)A)=(G,Enk) 知结论3)成立 5)设对应矩阵c.则由 AA=AA=E 及(2)知，必有 AC=CA=E 于是A可逆，且C= 定理3.设线性变换A在基8，6n下的矩阵是A,5在基6，6，下的坐标为(：，x),则A5

1 11 1 21 2 1 2 12 1 22 2 2 1 1 2 2 n n n n n n n nn n A a a a A a a a A a a a              = + +  +   = + +  +   = + +  + 即 1 2 1 2 1 ( , , , ) ( , , , ) ( , , ) A A A A A n n n          =  =  (5) 其中 ( ) A a = ij nn ，则称矩阵 A 为 A 在基 1 , , n    下的矩阵 例.恒等变换 E 在 V 的任一组基下矩阵是单位阵 E .零变换 0 在 V 的任一组基下的矩阵是零矩阵. 数乘变换在任一组基下的矩阵是数量矩阵 kE . 定理 2. 设 1 , , n    是 V 的一组基.在这组基下，每个线性变换按公式 (5)对应一个矩阵.这个对应具有下列性质： 1) 线性变换的和对应矩阵的和； 2) 线性变换的乘积对应矩阵的乘积； 3) 线性变换的数量乘积对应矩阵的数量乘积； 4) 可逆线性变换对应可逆矩阵且逆变换对应逆矩阵. 证明 A B, 是 V 的两个线性变换.它们在基 1 , , n    下的矩阵分别为 A B, . 1) 由 1 1 1 ( )( , , ) ( , , ) ( , , ) A B A B n n n +  =  +        1 1 1 ( , , ) ( , , ) ( , , )( ) =  +  =  +       n n n A B A B 知结论 1)成立. 2) 类似地，由 1 1 1 ( )( , , ) ( ( , , )) (( , , ) ) AB A B A B n n n        =  =  1 1 ( ( , , )) ( , , ) A B AB n n =  =      知结论 2)成立. 3) 由 4) 1 1 1 1 ( )( , , ) ( ( , , )) (( , , ) ) ( , , )( ) n n n n kA k A k A kA          =  =  =  知结论 3)成立. 5) 设 1 A − 对应矩阵 c .则由 1 1 AA A A E − − = = 及(2)知，必有 AC CA E = = 于是 A 可逆，且 1 C A . − = 定理 3.设线性变换 A 在基 1 , , n    下的矩阵是 A ， 在基 1 , , n    下的坐标为 1 ( , , ) n x x  ，则 A

在基6,6下的坐标为 =4 证明由假设 5=(6,6,x,xy于是 =(A6,==)A(). 另一方面， A5=(6,6y,y 因为6，5n线性无关，所以 0,.yy=4(x,x》 定理4设V中线性变换A在两组基6,6n与，nn下的矩阵分别为A与B,从前一组基 到后一组基的过渡矩阵为X则 B=X-AX 证明因为 (A6,AEn)=(6,.,6n)A(A,4n)=(6,6n)B,(,1)=(6,6)X, 于是 (m,4机)=4(6,6)X灯=[A6,6X =(4G,AE,)X=(G,E)AX =(,n)X-AX. 所以B=X-AX 定义3.设A,B∈P",若有n级可逆阵X∈Pm,使得B=X-AK则称A相似于B.记为A?B 矩阵的相似关系具有下列性质。 1.反身性：A~A 2.对称性：A~B→B~A 3.传递性：A~B,B~C一A~C 证明1.由A=EAE即得

在基 1 , , n    下的坐标为 1 1 2 2 n n y x y x A y x             =             证明 由假设 1 1 ( , , )( , , ) n n    =   x x  于是 1 1 1 1 ( , , )( , , ) ( , , ) ( , , ) . A A A x x A x x n n n n       =   = =     另一方面， 1 1 ( , , )( , , ) , A y y n n    =    因为 1 , , n    线性无关，所以 1 1 ( , , ) ( , , ) n n y y A x x  =    定理 4 设 V 中线性变换 A 在两组基 1 , , n    与 1 , ,  n  下的矩阵分别为 A 与 B ，从前一组基 到后一组基的过渡矩阵为 X .则 1 B X AX. − = 证明 因为 1 1 1 1 1 1 ( , , ) ( , , ) ,( , , ) ( , , ) ,( , , ) ( , , ) , A A A A A B X n n n n n n              =   =   =  于是 1 1 1 ( , , ) [( , , ) ] [ ( , , )] A A A X A X       n n n  =  =  1 1 ( , , ) ( , , ) A A X AX n n =  =      1 1 ( , , ) .  n X AX − =  所以 1 B X AX. − = 定义 3.设 , , n n A B P   若有 n 级可逆阵 , n n X P   使得 1 B X AX. − = 则称 A 相似于 B .记为 A B? 矩阵的相似关系具有下列性质. 1.反身性： A A ~ 2.对称性： A B B A ~ ~  3. 传递性： A B B C A C ~ , ~ ~ .  证明 1. 由 1 A E AE − = 即得

2.设B=X1AX则A=XBX-=(XBX→B?A 3.设B=X-AX,C=Y-BY.则 C=YBY=Y-X-AXY=(XY)A(XY) 于是A~C 由矩阵相似的概念，定理4可补充成 定理5线性变换在不同基下矩阵是相似的：反之，若二矩阵相似，则它们可看成同一线性变换 在两组基下的矩阵， 证明前一部分即定理4现证明后一部分.设B=XAX.令(，)=(6,6，6，)X 则(，)也是一组基，A在此基下的矩阵就是B 利用矩阵相似的概念可以简化矩阵的计算. 匀设4雀r中6与下的矩库为[日司两设低，%=化与化-习由定理4A在 ,乃2下的矩阵为 白0-0 0旷0)w 仁-%-6 -46-4 作业：P324,习题7之3)，P326,习题15。 预习：前三节的基本概念. $1一3习题课 教学目标复习所学的基本概念、定理，总结学生解题时易犯的错误，通过例题与练习培养学 生运用所学概念、定理进行推理论证的能力

2.设 1 B X AX − = 则 1 1 1 1 A XBX X BX B A ( ) ? − − − − = =  3.设 1 1 B X AX C Y BY , − − = = .则 1 1 1 1 C Y BY Y X AXY XY A XY ( ) ( ) − − − − = = = 于是 A C~ 由矩阵相似的概念，定理 4 可补充成 定理 5 线性变换在不同基下矩阵是相似的；反之，若二矩阵相似，则它们可看成同一线性变换 在两组基下的矩阵. 证明 前一部分即定理 4 .现证明后一部分.设 1 B X AX − = .令 1 2 1 2 ( , , , ) ( , , , ) .        =  n n X 则 1 ( , , )  n  也是一组基， A 在此基下的矩阵就是 B . 利用矩阵相似的概念可以简化矩阵的计算. 例 设 A 在 V 中基 1 2  , 下的矩阵为 2 1 1 0       − .再设 1 2 1 2 1 1 ( , ) ( , ) 1 2       − =     − 由定理 4. A 在 1 2  , 下的矩阵为 1 1 1 2 1 1 1 1 1 1 2 1 0 1 2 0 1 −        −        =        − − − 显然有 1 1 1 . 0 1 0 1 k     k     =     由此可得 1 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 2 0 1 1 2 1 2 0 1 1 2 k k k − −                   − − − −               = =                 − − − − −     1 1 1 2 1 1 1 2 0 1 1 1 1 k k k k k       − + = =             − − − + 作业: P324,习题 7 之 3），P326，习题 15。. 预习: 前三节的基本概念. §1—3 习题课 教学目标: 复习所学的基本概念、定理，总结学生解题时易犯的错误，通过例题与练习培养学 生运用所学概念、定理进行推理论证的能力

教学重点：总结学生解题时易犯的错误，例题讲解 教学方法：讲授、讨论 教学过程 一、复习提问 二、作业讲评 三、 例题讲解 例1P323,习题1之2)入、4)、6) 说明：此例复习线性变换的概念 例2P324,习题4 说明 此例复习线性变换的运算的概念 例3 P324,习题6 明：此题复习线性变换可逆的概念 例4P325,习题8 说明：出题复习线性变换的矩阵的概 P326.习题16 此题复习线性变换在不同基下的矩阵的关系 四、课堂练习 练习1P324,习题3 练习2P325,习题9 作业p327,习题18。 预习：下一节的基本概念 §4特征值与特征向量 教学目标掌握线性变换特征值与特征向量的概念及求法，相似矩阵的特征多项式的关系，哈密 尔顿一凯莱(Hamilton-Cala）定理。 教学重点：线性变换特征值与特征向量的概念及求法

教学重点: 总结学生解题时易犯的错误，例题讲解. 教学方法: 讲授、讨论 教学过程: 一、 复习提问 二、 作业讲评 三、 例题讲解 例 1 P323，习题 1 之 2）、4）、6）. 说明: 此例复习线性变换的概念. 例 2. P324，习题 4. 说明: 此例复习线性变换的运算的概念. 例 3 P324，习题 6. 说明: 此题复习线性变换可逆的概念. 例 4 P325，习题 8. 说明: 此题复习线性变换的矩阵的概念 . 例5 P326,习题 16. 说明: 此题复习线性变换在不同基下的矩阵的关系. 四、课堂练习 练习 1 P324，习题 3. 练习 2 P325，习题 9. 作业: P327，习题 18。 预习:下一节的基本概念。 §4 特征值与特征向量 教学目标: 掌握线性变换特征值与特征向量的概念及求法，相似矩阵的特征多项式的关系，哈密 尔顿一凯莱 ( ) Hamilton Caylay − 定理。 教学重点: 线性变换特征值与特征向量的概念及求法

教学方法：讲授法。 教学过程 我们已经知道，有限维空间的线性变换A在给定一组基后，由它在此基下的矩阵确定我们希望 找到一组基，使A在此基下的矩阵尽可能简单为此，本节先来介绍特征值与特征向量的概念 1.定义4设A是V的一个线性变换.不。∈P.若存在0≠5∈V,使得 A5=5 % 则称入为A的一个特征值而称5为A的属于特征值，的特征向量 易知，若E是A的属于特征值的特征向量则对k∈P,k≠0k5也是A的属于特征值。 特征向量但给定特征向量5后，对应的特征值只有一个 2设云，5，是V的一组恭A在此基下的矩阵为A.是A的一个特征值，5=x是A 属于的一个特征向量，则A5,5的坐标分别是A(xo1,.x了与入(x1.x,()有 A(xo1.xny=(x,.xn (- =0 (2) x 这说明(x1,.x'满足齐次线性方程组 (E-A)X=0 (3) 因为5≠0.故(x1,.x/≠0.所以(3)有非零解于是有 |2-a1-ag.-aw 3E-A= -a21n-a2.-a2n =0 . -a1-a2.-anm 定义5设A∈Pmm,1是一个文字则

教学方法: 讲授法. 教学过程: 我们已经知道，有限维空间的线性变换 A 在给定一组基后，由它在此基下的矩阵确定.我们希望 找到一组基，使 A 在此基下的矩阵尽可能简单.为此，本节先来介绍特征值与特征向量的概念. 1. 定义 4 设 A 是 V 的一个线性变换. 0   P. 若存在 0 ,   V 使得 A 0    = (1) 则称 0 为 A 的一个特征值.而称  为 A 的属于特征值 0 的特征向量. 易知，若  是 A 的属于特征值 0 的特征向量.则对    k P k k , 0  也是 A 的属于特征值 0 特征向量.但给定特征向量  后，对应的特征值只有一个. 2. 设 1 , , n    是 V 的一组基. A 在此基下的矩阵为 A . 0 是 A 的一个特征值, 0 1 n i i i   x = =  是 A 属于 0 的一个特征向量，则 0 A   , 的坐标分别是 01 0 ( , ) A x x n  与 0 01 0 ( , ) , n  x x  由(1)有 01 0 0 01 0 ( , ) ( , ) A x x x x n n   =  或 01 02 0 0 ( ) 0 n x x E A x        − =         (2) 这说明 01 0 ( , ) n x x  满足齐次线性方程组 0 ( ) 0  E A X − = (3) 因为   0.故 01 0 ( , ) 0. n x x   所以(3)有非零解.于是有 0 11 12 1 21 0 22 2 0 1 2 0 0 n n n n nn a a a a a a E A a a a     − − − − − − − = = − − − 定义 5 设 , n n A P    是一个文字.则