海南大学：《数学分析》课程教学资源（教案讲义）第十九章 含参量积分 19.1 含参量正常积分

《数学分析》下册 第十九章含参量积分 海南大学数学系 第十九章含参量积分 §1含参量正常积分 教学目的掌握含参量正常积分的连续性，可微性和可积性定理，掌握含参量正 常积分的求导法则。 教学要求 (1)了解含参量正常积分的连续性，可微性和可积性定理的证明，熟练掌握 含参量正常积分的导数的计算公式. (2)掌握含参量正常积分的连续性，可微性和可积性定理的证明。 教学建议 ()要求学生必须理解含参量正常积分的定义， (2)要求较好学生掌握含参量正常积分的连续性，可微性和可积性定理的证 明. 教学程序 一、含参量正常积分的概念 定义设二元函数（川在矩形区城R=血，小x[c,d上有定义，且对a,小内 每一点x,函数f,)关于y在闭区间，d小上可积，则定义了x的函数 w,ek同 11 (1) -x) 设二元函数(，)在区线 G.《x,以)sy≤d以a≤x≤b上有定义， 函数()，d)为上的连续函数，且对 [a,创内每一点x,函数f心川关于y在闭区间以上可积，则定义了x的 函数 e (2) 称(1)和(2)为含参量x的正常积分.类似可定义含参量y的正常积分. 二、含参量正常积分的连续性、可微性与可积性

《数学分析》下册 第十九章 含参量积分 海南大学数学系 1 第十九章 含参量积分 §1 含参量正常积分 教学目的 掌握含参量正常积分的连续性，可微性和可积性定理，掌握含参量正 常积分的求导法则． 教学要求 (1)了解含参量正常积分的连续性，可微性和可积性定理的证明，熟练掌握 含参量正常积分的导数的计算公式． (2)掌握含参量正常积分的连续性，可微性和可积性定理的证明． 教学建议 (1) 要求学生必须理解含参量正常积分的定义． (2) 要求较好学生掌握含参量正常积分的连续性，可微性和可积性定理的证 明. 教学程序 一、 含参量正常积分的概念 定义 设二元函数 f (x, y) 在矩形区域 R = a,bc,d 上有定义，且对 a,b 内 每一点 x ，函数 f (x, y) 关于 y 在闭区间 c,d 上可积，则定义了 x 的函数 I(x)= ( )  d c f x, y dy ， x  a,b （1） 设二元函数 f (x, y) 在区域 G = (x, y)c(x)  y  d(x),a  x  b 上有定义， 函数 c(x)，d(x) 为 a,b 上的连续函数，且对 a,b 内每一点 x ，函数 f (x, y) 关于 y 在闭区间 c(x),d(x) 上可积，则定义了 x 的 函数 F(x)= ( ) ( ) ( )  d x c x f x, y dy ， x  a,b （2） 称（1）和（2）为含参量 x 的正常积分．类似可定义含参量 y 的正常积分． 二、含参量正常积分的连续性、可微性与可积性

《数学分析》下册 第十九章含参量积分 海南大学数学系 (一)、连续性 定理19.1（连续性）若二元函数，)在矩形区域R=a,小k,d小上连续， 则质数心在沙在k小上莲铁 证明设x∈，】，对充分小的△x,有x+Ar∈a,)(若x为区间端点则考 虑△r>0或Ax<0),于是 在+a-阳U+ac小-M (3) 由于儿(，川在有界闭区域R上连续，从而一致连续，即对任给的正数6，总存在 某个正数6，对R内任意两点：，出)与：，)，只要 x-x<6以-<6 就有 f(.y)-f(x2,y2)<s (4) 所以由(3)(4)可得：当A<6, +A-+A以-foje =s(d-c) 这就证得)在a,上连续。 (同理，若二元函数f心，川在矩形区域R=a,小xk,d上连续，则函数 心达在kd上连铁) 定理19.1的结论可写成：么k.)=了炒典化炒 (极限运 算与积分运算交换顺序)· 定理19.2（连续性）设二元函数f八川在区域 G.《x)≤y≤d,a≤x≤b上连续，其中函数c()，,d)为a,b上的连续 函数，则函数

《数学分析》下册 第十九章 含参量积分 海南大学数学系 2 （一）、连续性 定理 19．1(连续性) 若二元函数 f (x, y) 在矩形区域 R = a,bc,d 上连续， 则函数 I(x)= ( )  d c f x, y dy 在 a,b 上连续． 证明 设 xa,b ，对充分小的 x ，有 x + xa,b （若 x 为区间端点则考 虑 x  0 或 x  0 ），于是 I(x + x)− I(x)=  ( ) ( )  +  − d c f x x, y f x, y dy （3） 由于 f (x, y) 在有界闭区域 R 上连续，从而一致连续，即对任给的正数  ，总存在 某个正数  ，对 R 内任意两点 ( ) 1 1 x , y 与 ( ) 2 2 x , y ，只要 x1 − x2   , y1 − y2   就有 ( )− ( )   1 1 2 2 f x , y f x , y （4） 所以由（3）（4）可得：当 x   ， I(x + x)− I(x)  ( ) ( )  +  − d c f x x, y f x, y dy   d c  dy = (d − c) 这就证得 I(x) 在 a,b 上连续． （同理，若二元函数 f (x, y) 在矩形区域 R = a,bc,d 上连续，则函数 J(y)= ( )  b a f x, y dx 在 c,d 上连续．） 定理 19．1 的结论可写成： x a,b  0  ( ) ( ) →   → = d c x x d c x x lim f x, y dy lim f x, y dy 0 0 （极限运 算与积分运算交换顺序）. 定理 19．2(连续性) 设二元函数 f (x, y) 在区域 G = (x, y)c(x)  y  d(x),a  x  b 上连续，其中函数 c(x)，d(x) 为 a,b 上的连续 函数，则函数

《数学分析》下册 第十九章含参量积分 海南大学数学系 d(x) ∫fxy F)= ,xea,】(6)在a,上的连续。 证明：对积分(6)作换元，令y=c)+)-c》,则 F)-de)c d(x) =0 fkc)+d)-ceMd)-c》在矩形a,小x[o则上连续，由定理19.1 即得结论 (二)、可徽性 定理19.3（可微性）若函数心，川与其偏导数亦八，川都在矩形区域 R=a,xk,d小上连续，则) jf,炒 在[a,上可微，且 帅层帅 证明：设x∈a,】,对充分小的△x,有x+△r∈，】（若x为区间端点则考 虑单侧导数)，于是 +A-因_+A以小-f》女 △r 0 由于拉格朗日中值定理及亦f化k,川在矩形区域R=口，小xk,d小上连续（从而一致 连续，即对任给的正数6，总存在某个正数心，只要A<ò，就有 +△-f】-fkK.K+a.y)-f.(.xl-c(0<0< △r 国是-i-中地-9 Ar 这就证得对-切ek,名)-层冰 3

《数学分析》下册 第十九章 含参量积分 海南大学数学系 3 F(x)= ( ) ( ) ( )  d x c x f x, y dy ， x  a,b （6） 在 a,b 上的连续． 证明： 对积分（6）作换元，令 y = c(x)+t(d(x)− c(x)) ，则 F(x)= ( ) ( ) ( )  d x c x f x, y dy = ( ( ) ( ( ) ( )))( ( ) ( ))  + − − 1 0 f x,c x t d x c c d x c x dt f (x,c(x)+t(d(x)− c(c)))(d(x)− c(x)) 在矩形 a,b 0,1 上连续，由定理 19．1 即得结论 （二）、可微性 定理 19．3(可微性) 若函数 f (x, y) 与其偏导数 x  f (x, y) 都在矩形区域 R = a,bc,d 上连续，则 I(x)= ( )  d c f x, y dy 在 a,b 上可微，且 dx d ( )  d c f x, y dy = ( )    d c f x y dy x , 证明：设 xa,b ，对充分小的 x ，有 x + xa,b （若 x 为区间端点则考 虑单侧导数），于是 ( ) ( ) ( ) ( ) dy x f x x y f x y x I x x I x d c   +  − =  +  − , , . 由于拉格朗日中值定理及 x  f (x, y) 在矩形区域 R = a,bc,d 上连续（从而一致 连续），即对任给的正数  ，总存在某个正数  ，只要 x   ，就有 ( ) ( ) f (x y) x f x x y f x y x , , , −  +  − = f (x +x y)− f (x y)   x x , , (0  1) 因此 − ( )     d c f x x y dy x I , ( ) ( ) f (x y)dy x f x x y f x y d c  − x  +  − , , ,  (d − c) 这就证得对一切 xa,b， I(x) = dx d ( )    d c f x y dy x , ．

《数学分析》下册 第十九章含参量积分 海南大学数学系 定理19.4（何微性）若函数f儿，川与其偏导数亦f,川都在区域 R=a,小x[,上连续，c),d()为定义在la,上其值含于p,的可微函数， e1 在la,上可微，且 +f,d》d6)-f,c》c6).( 证明把F)看作复合函数： F()-H.d)_. ,其中c=以d=ad), 由复合函数求导法则及变上限积分的求导法则，有 云兴0出k dx dc dx dd dx = +f(x.d(x)d(x)-f(x.dx))c(x) (三)、可积性 定理19.5（可积性）若二元函数心，)在矩形区域R=a,小×，d上连续， 则丽数以.飞场 fx,y 和J心)=。 分别在a,和k,d上可积 正明由似)，心)的连续性即知。 定理19.6（何积性）若二元函数心，川在矩形R=小xk,d上连续，则 ∫jf,jjf, 证记 -t炒，4-i灿 其中u∈a,现分别求，侧与回的导数 o创品=

《数学分析》下册 第十九章 含参量积分 海南大学数学系 4 定理 19．4(可微性) 若函数 f (x, y) 与其偏导数 x  f (x, y) 都在区域 R = a,bp,q 上连续， c(x)，d(x) 为定义在 a,b 上其值含于 p,q 的可微函数， 则 F(x)= ( ) ( ) ( )  d x c x f x, y dy ， 在 a,b 上可微，且 F(x)= ( ) ( ) ( )  d x c x f x x, y dy + f (x,d(x)) d(x) − f (x,c(x)) c (x) . （7） 证明 把 F(x) 看作复合函数： F(x)＝ H(x,c,d)= ( )  d c f x, y dy ,其中 c = c(x),d = d(x), 由复合函数求导法则及变上限积分的求导法则，有 F(x) dx d = dx dd d H dx dc c H x H   +   +   = ( ) ( ) ( )  d x c x f x x, y dy + f (x,d(x)) d(x) − f (x,c(x)) c (x) （三）、可积性 定理 19．5(可积性) 若二元函数 f (x, y) 在矩形区域 R = a,bc,d 上连续， 则函数 I(x)= ( )  d c f x, y dy 和 J(y)= ( )  b a f x, y dx 分别在 a,b 和 c,d 上可积． 证明 由 I(x), J(y) 的连续性即知. 定理 19．6(可积性) 若二元函数 f (x, y) 在矩形 R = a,bc,d 上连续，则  b a dx ( )  d c f x, y dy =  d c dy ( )  b a f x, y dx . 证 记 I 1 (u) =  u a dx ( )  d c f x, y dy ， I 2 (u) =  d c dy ( )  u a f x, y dx , 其中 u a,b ，现分别求 I (u) 1 与 I (u) 2 的导数. ( ) du d I 1  u = I(x)dx I(u) u a = 

《数学分析》下册 第十九章含参量积分 海南大学数学系 对于，令以 ,则有=了冰 因为Hu,)与H,a儿=u,)都在R上连续，由定理19.3 .品新wjw 故得=@，u∈a,又4a)=1,@)=0, 即，@=，@，u∈a,),取u=b即得所欲证. 三、应用的例 例1求巴了， 解记@)=1++a,由于a,1+a,1+x+连续，所以 了j 例2计算积分 h0+四lk 解考虑a)=}1+x ,由定理19.3 +aam+0+h0+mj明 tae经+2-h0+a侧 所+h2-ht*alpa

《数学分析》下册 第十九章 含参量积分 海南大学数学系 5 对于 I (u) 2 ，令 H(u, y)= ( )  u a f x, y dx ，则有 I 2 (u) = ( )  d c H u, y dy ， 因为 H(u, y) 与 H (u y) u , = f (u, y) 都在 R 上连续，由定理 19．3 I (u) 2  = H(u y)dy H (u y)dy f (u y)dy I(u) du d d c d c u d c    , = , = , = ， 故得 I (u) 1  = I (u) 2  ，u a,b ，又 I (a) 1 = I 2 (a) = 0， 即 I (u) 1 = I (u) 2 ，u a,b ，取 u = b 即得所欲证． 三、 应用的例 例 1 求  + → + +     1 2 2 0 1 lim x dx . 解 记 I() =  + + +    1 2 2 1 x dx ，由于  ，1+ ， 2 2 1 1 + x + 连续，所以  + → + +     1 2 2 0 1 lim x dx ＝ 1 4 1 0 2  = +  x dx . 例 2 计算积分 I = ( )  + + 1 0 2 1 ln 1 dx x x . 解 考虑 I() = ( )  + + 1 0 2 1 ln 1 dx x x ，由定理 19．3 ( ) ( ( ))  + +  = 1 0 2 1 1 dx x x x I   = dx x x x x        + − + + + + 1 0 2 2 2 1 1 1 1 1     = ( ) ( ) 0 1 ln 1 ln 1 2 1 arctan 1 1 2 2       + + − + +  x x x  = ( )       + − + + x    ln 2 ln 1 2 1 1 4 1 2 ， 所以 ( )   1 0 I  d = (  )     x d        + − + + 1 0 2 ln 2 ln 1 2 1 1 4 1

《数学分析》下册 第十九章含参量积分 海南大学数学系 景hf+a6分h2ame-0 -4h2-0」 I(ayd 另一方面。 “-0-10)=10. 所以1=0=名血2】 例3设f)在x=0的某个邻域内连续，验证当州充分小时，函数 0.c-r0 的各阶导数存在，且p()=f) 解F)-小一0及其偏导数F,(,小在原点的某方邻域内连续， p6.6c-e-r0o-r0 .a2fc-r0h aoe.6-ic-0a pn6g.j0h 故px)=f) kx- 例4求1=8hx ∫x'd-x 解 =nx,所以 信时r品，小 1nx“ 注：从例子中可体会到含参量的正常积分的分析性质对一些困难的积分的求 出提供了方便

《数学分析》下册 第十九章 含参量积分 海南大学数学系 6 = ( ) (1) 0 1 ln 2arctan 2 1 0 1 ln 1 8 2 + + − I  = ln 2 (1) 4 − I  ， 另一方面 ( )   1 0 I  d = I(1)− I(0) = I(1)， 所以 I = I(1) = ln 2 8  ， 例 3 设 f (x) 在 x = 0 的某个邻域内连续，验证当 x 充分小时，函数 (x)= ( ) ( ) ( )  − − − x n x t f t dt n 0 1 1! 1 的各阶导数存在，且 ( ) (x) n  = f (x) 解 F(x,t)= (x t) f (t) n−1 − 及其偏导数 F (x t) x , 在原点的某方邻域内连续， (x)= ( ) ( − )( − ) ( ) + −  − x n n x t f t dt n 0 2 1 1! 1 ( ) (x x) f (t) n n 1 1 ! 1 − − − = ( ) ( ) ( )  − − − x n x t f t dt n 0 2 2 ! 1 ， 所以 ( ) (x) k  = ( ) ( ) ( )  −− − − − − x n k x t f t dt n k 0 1 1! 1 ， ( ) (x) n−1  = ( )  x f t dt 0 ，故 ( ) (x) n  = f (x). 例 4 求 I =  − 1 0 ln dx x x x b a . 解  b a y x dy = x x x b a ln − ，所以 I =  − 1 0 ln dx x x x b a =  1 0 dx  b a y x dy =   b a y dy x dx 1 0 =  + b a dy 1 y 1 = a b + + 1 1 ln ， 注：从例子中可体会到含参量的正常积分的分析性质对一些困难的积分的求 出提供了方便

《数学分析》下册 第十九章含参量积分 海南大学数学系 思考题： 1.根据本节的各定理，在一般的区间/上含参量的正常积分的分析性质有 些什么样的结论？ 2.能否找出更弱的条件使本节的某些定理仍成立，可否给予证明？ 作业教材178：1一6. 7

《数学分析》下册 第十九章 含参量积分 海南大学数学系 7 思考题: 1．根据本节的各定理，在一般的区间 I 上含参量的正常积分的分析性质有 些什么样的结论？ 2．能否找出更弱的条件使本节的某些定理仍成立，可否给予证明？ 作业 教材 178:1—6