海南大学：《数学分析》课程教学资源（教案讲义）第二十二章 曲面积分 22.3 高斯公式与斯托克斯公式

《数学分析》下册 第二十二章曲面积分 海南大学数学系 §3高斯公式与斯托克斯公式 教学目的学会用高斯公式计算第二型曲面积分，用斯托克斯公式计算第二型曲 线积分. 教学内容高斯公式：斯托克斯公式：沿空间曲线的第二型积分与路径无关的条 件 (1)基本要求：学会用高斯公式计算第二型曲面积分，用斯托克斯公式计算 第二型曲线积分.懂得高斯公式与斯托克斯公式证明的思路，掌握沿空间曲线的 第二型积分与路径无关的条件. (②)较高要求：应用高斯公式与斯托克斯公式的某些特殊技巧. 教学建议本节的重点是要求学生学会用高斯公式计算第二型曲面积分，用斯托 克斯公式计算第二型曲线积分，要讲清应用两公式的条件并强调曲面与曲面的边 界定向的关系. 教学程序 一、高斯公式 定理22.3设有空间区域r由分片光滑的双侧闭曲面S围成.若函数P,Q,R 在"上连续，且具有一阶连续偏导数，则 器+器h月t+Gka+ 其中S取外侧.称为高斯公式. E只刀警址月对 器t月Ptyt叮c.Mb 类似可证 和 这些结果相加便得到了高斯公式。 先'设是一个少型区域，即其边界曲面S由曲面 S,:=,以6eDn,S:=c以小eDg 及垂直于D,的边界的柱面S组成其中化S化川以.于是按三重积分的计算 方法有

《数学分析》下册 第二十二章 曲面积分 海南大学数学系 1 §3 高斯公式与斯托克斯公式 教学目的 学会用高斯公式计算第二型曲面积分，用斯托克斯公式计算第二型曲 线积分． 教学内容 高斯公式；斯托克斯公式；沿空间曲线的第二型积分与路径无关的条 件． (1) 基本要求：学会用高斯公式计算第二型曲面积分，用斯托克斯公式计算 第二型曲线积分． 懂得高斯公式与斯托克斯公式证明的思路，掌握沿空间曲线的 第二型积分与路径无关的条件． (2) 较高要求：应用高斯公式与斯托克斯公式的某些特殊技巧． 教学建议 本节的重点是要求学生学会用高斯公式计算第二型曲面积分，用斯托 克斯公式计算第二型曲线积分．要讲清应用两公式的条件并强调曲面与曲面的边 界定向的关系． 教学程序 一、 高斯公式 定理 22．3 设有空间区域 V 由分片光滑的双侧闭曲面 S 围成．若函数 P,Q, R 在 V 上连续，且具有一阶连续偏导数，则 dxdydz z R y Q x P V            +   +   = P(x y z)dydz Q(x y z)dzdx R(x y z)dxdy S  , , + , , + , , ， 其中 S 取外侧．称为高斯公式. 证 只证 dxdydz z R V    = R(x y z)dxdy S  , , . 类似可证 dxdydz x P V    = ( )  S P x, y,z dydz 和 dxdydz y Q V    = ( )  S Q x, y,z dzdx . 这些结果相加便得到了高斯公式． 先 V 设是一个 xy 型区域，即其边界曲面 S 由曲面 2 S ： ( ) ( ) Dxy z = z2 x, y , x, y  ， 1 S ： ( ) ( ) Dxy z = z1 x, y , x, y  ， 及垂直于 Dxy 的边界的柱面 3 S 组成其中 z (x, y) z (x, y) 1  2 ．于是按三重积分的计算 方法有

《数学分析》下册 第二十二章曲面积分 海市大学数学系 器aas们之 ∬y=k》-y=,d 广Ry,k-yc .:h-厂=h R+旷=h 其中S,S2都取上侧.又由于S在y平面上投影区域的面积为零，所以 丁R,y,=0 因此 t心xh+心xhh 月yhd 对于不是x少型区域的情形，则用有限个光滑曲面将它分割成若干个y型区域 来讨论.详细的推导与格林相似. 空间区域'的体积公式： ∬+1+体t月xt+)止+d Aakdy 所1计莫形6-t+r++四h ,其中S是边长为a的正立方 体表面并取外侧。 解应用高斯公式，所求曲面积分等于 6t-26+ht

《数学分析》下册 第二十二章 曲面积分 海南大学数学系 2 dxdydz z R V    = ( ) ( )     Dxy z x y z x y dz z R dxdy , , 2 1 = ( ( ( )) ( ( )))  − Dxy R x, y,z x, y R x, y,z x, y dxdy 2 1 = ( ( ))  Dxy R x, y,z x, y dxdy 2 ( ( ))  − Dxy R x, y,z x, y dxdy 1 = ( )  2 , , S R x y z dxdy ( )  − 1 , , S R x y z dxdy = ( )  2 , , S R x y z dxdy ( )  − + 1 , , S R x y z dxdy 其中 1 2 S ,S 都取上侧．又由于 3 S 在 xy 平面上投影区域的面积为零，所以 ( , , ) 0 3 =  S R x y z dxdy ， 因此 dxdydz z R V    = ( )  2 , , S R x y z dxdy ( )  − + 1 , , S R x y z dxdy + ( )  3 , , S R x y z dxdy = R(x y z)dxdy S  , , 对于不是 xy 型区域的情形，则用有限个光滑曲面将它分割成若干个 xy 型区域 来讨论．详细的推导与格林相似． 空间区域 V 的体积公式： ( )dxdydz V  1+1+1 = xdydz ydzdx zdxdy S  + + ． V = xdydz ydzdx zdxdy S  + + 3 1 . 例 1 计算 ( ) ( )  − + + + S y x z dydz x dzdy y x z dxdy 2 2 ,其中 S 是边长为 a 的正立方 体表面并取外侧． 解 应用高斯公式，所求曲面积分等于 ( ( )) ( ) ( )        +   +   − +   V y x z dxdydz z x y y x z x 2 2

《数学分析》下册 第二十二章曲面积分 海市大学数学系 ∬6+tjjj0+kafa四+a2办=a =00 =0 二、斯托克斯公式 双侧曲面S的侧与其边界曲线L的方向的规定：右手法则. 定理22.4设光滑曲面S的边界L是按块光滑的连续曲线.若函数P,Q,R在 S(连同L)上连续，且有一阶连续偏导数，则 答借-器·偿-器.+w+ (2) 其中S的侧与L的方向按右手法则确定， 证明先证 h-器fPa (3) 其中曲面S由方程：=(，小确定，它的正侧法线方向数为人一，-刂，方向余 弦为(cosa,cosB,cosr）,所以 会， 若S在平面上投影区域为Pw,L在平面上的投影曲线为Γ.现由第二型曲线积分 的定义及格林公式有 fP达fPk恤号P 图为》架，生 _y正可y,所以 -号恤-S器h 从 得器}等器

《数学分析》下册 第二十二章 曲面积分 海南大学数学系 3 = ( )  + V y x dxdydz = ( )    + a a a dz dy y x dx 0 0 0 = 4 0 2 2 1 a ay a dy a a  =      +  . 二、斯托克斯公式 双侧曲面 S 的侧与其边界曲线 L 的方向的规定：右手法则． 定理 22.4 设光滑曲面 S 的边界 L 是按块光滑的连续曲线．若函数 P,Q, R 在 S （连同 L ）上连续，且有一阶连续偏导数，则 dxdy y P x Q dzdx x R z P dydz z Q y R S           −    +        −   +           −    =  + + L Pdx Qdy Rdz （2） 其中 S 的侧与 L 的方向按右手法则确定． 证明 先证 dxdy y P dzdx z P S   −    =  L Pdx ， （3） 其中曲面 S 由方程 z = z(x, y) 确定，它的正侧法线方向数为 (− ,− ,−1) x y z z ，方向余 弦为 (cos,cos ,cos ) ，所以   cos cos = −   x z ，   cos cos = −   y z ， 若 S 在平面上投影区域为 Dxy ，L 在平面上的投影曲线为  ．现由第二型曲线积分 的定义及格林公式有 ( )  L P x, y,z dx = ( ( ))   P x, y,z x, y dx = ( ( ))    − Dxy P x y z x y dxdy y , , , . 因为 P(x y z(x y)) y , , ,   = y z z P y P     +   ，所以 ( ( ))    − Dxy P x y z x y dxdy y , , , = dxdy y z z P y P S              +   − . 由于   cos cos = −   y z ，从而 dxdy y z z P y P S              +   − = dxdy z P y P S            −   −   cos cos

(数学分析》下册 第二十二章曲面积分 海市大学数学系 .等wr器筒 -得wr-芒s 登4器 综合上述结果，便得所要证明的(3)式. 同样对于曲面S表示为x=x少，)和y=,时，可证得 川器是te (4) 叮t-f (5) 将(3)，(4)，(5)三式相加即得(2)式. 如果曲面S不能以：=红川的形式给出，则可用一些光滑曲线把S分割为若 于小块，使每一小块能用这种形式来表示.因而这时(2)式也能成立 公式（②）称为斯托克斯公式，也可写成如下形式： d-dx ! Pdx+Qdy +Rd P 2y++(-+0y-x 例2计算立 ,其中L为平面x+y+2=1与各 坐标面的交线，取逆时针方向为正向 00,10 解应用斯托克斯公式 f2y+:+(-+0y-x出 1.0.0 .0+4t0+h+0-2h 24t+2-1d1+1-3 2=2

《数学分析》下册 第二十二章 曲面积分 海南大学数学系 4 =    cos cos cos dxdy z P y P S            −   − = dS z P y P S            −   − cos cos  = dxdy y P dzdx z P S   −    . 综合上述结果，便得所要证明的（3）式． 同样对于曲面 S 表示为 x = x(y,z) 和 y = y(z, x) 时，可证得 dydz z Q dxdy x Q S   −    =  L Qdy ， （4） dzdx x R dydz y R S   −    =  L Rdz . （5） 将（3），（4），（5）三式相加即得（2）式． 如果曲面 S 不能以 z = z(x, y) 的形式给出，则可用一些光滑曲线把 S 分割为若 于小块，使每一小块能用这种形式来表示．因而这时（2）式也能成立． 公式(2)称为斯托克斯公式，也可写成如下形式：        S P Q R x y z dydz dzdx dxdy =  + + L Pdx Qdy Rdz . 例 2 计算 ( ) ( ) ( )  + + − + − L 2y z dx x z dy y x dz ，其中 L 为平面 x + y + z = 1 与各 坐标面的交线，取逆时针方向为正向． 解 应用斯托克斯公式 ( ) ( ) ( )  + + − + − L 2y z dx x z dy y x dz = ( )dydz ( )dzdx ( )dxdy S 1+1 + 1+1 + 1− 2  = dydz dzdx dxdy S 2 +2 −1  = 2 3 2 1 1+1− = ．

(数学分析》下册 第二十二章曲面积分 海南大学数学系 单连通区域：如果区域'内任一封闭曲线皆可以不经过"以外的点收缩于属 于'的一点，则称V为单连通区域.非单连通区域称为复连通区域. 定理22.5设QcR为空间单连通区域.若函数在上连续，且有一阶连续 偏导数，则以下四个条件是等价的： (1)对于Ω内任一按段光滑的封闭曲线L,有 Pdx +Ody +Rd =0. (ⅱ)对于2内任一按段光滑的曲线L,曲线积分 [Pdx+Ody +Rd= 与路线无关.只与L的起点及终点有关。 (ⅲ)P+Q+R肚是内某一函数u的全微分，即 du=Pdx+Ody+Rd 证明略 ++(e+x+(x+y 例3验证曲线积分 与路线无关，请求该表 达式的原函数化以). 解由于P=y+:,Q=+x,R=x+y ap oo 0o oR aR ap 故可示_立可：正=l,所以曲线积 M(xy.z) 分与路线无关.现求 +++场+6+法 Mdxoyo-a) j6。+obj6。+x灿j6+t M + =0%+Ξox-x)+(。+xy-o)+x+ye-o) =y+x+-(x%+x0+o0)】 取=%=0=0，即取M0为原点，则，y)=y+x+2

《数学分析》下册 第二十二章 曲面积分 海南大学数学系 5 单连通区域：如果区域 V 内任一封闭曲线皆可以不经过 V 以外的点收缩于属 于 V 的一点，则称 V 为单连通区域．非单连通区域称为复连通区域． 定理 22.5 设   3 R 为空间单连通区域．若函数在上连续，且有一阶连续 偏导数，则以下四个条件是等价的： （ⅰ）对于  内任一按段光滑的封闭曲线 L ，有  + + L Pdx Qdy Rdz =0． （ⅱ）对于  内任一按段光滑的曲线 L ，曲线积分  + + L Pdx Qdy Rdz 与路线无关．只与 L 的起点及终点有关。 （ⅲ） Pdx + Qdy + Rdz 是  内某一函数 u 的全微分，即 du = Pdx + Qdy + Rdz . （ⅳ） x Q y P   =   ， y R z Q   =   ， z P x R   =   在  内处处成立． 证明 略 例 3 验证曲线积分 ( ) ( ) ( )  + + + + + L y z dx z x dy x y dz 与路线无关,请求该表 达式的原函数 u(x, y,z)． 解 由于 P = y + z ，Q = z + x ， R = x + y ， 故 x Q y P   =   = y R z Q   =   = z P x R   =   =1，所以曲线积 分与路线无关．现求 u(x, y,z)= ( ) ( ) ( )  + + + + + M M y z dx z x dy x y dz 0 = ( )  + x x y z ds 0 0 0 + ( )  + y y z x dt 0 0 + ( )  + z z x y dr 0 = ( )( ) ( )( ) ( )( ) 0 0 0 0 0 0 y + z x − x + z + x y − y + x + y z − z = ( ) 0 0 0 0 0 0 xy + zx + yz − x y + x z + y z . 取 x0 = y0 = z0 = 0 ，即取 M0 为原点，则 u(x, y,z)= xy+ zx + yz ．

《数学分析》下册 第二十二章曲面积分 海南大学数学系 作业p295:1:2;3;4;5. 6

《数学分析》下册 第二十二章 曲面积分 海南大学数学系 6 作业 p295: 1;2;3;4;5