海南大学：《数学分析》课程教学资源（教案讲义）第二十一章 二重积分 21.2 直角坐标下二重积分的计算

《数学分析》下册 第二十一章二重积分 海南大学数学系 §2直角坐标下二重积分的计算 教学目的掌握直角坐标下二重积分的计算公式. 教学内容二重积分化为累次积分：累次积分的积分次序的交换， (①)基本要求：掌握二重积分化为累次积分的方法和累次积分的积分次序的 交换公式. (2)较高要求：掌握二重积分化为累次积分公式的证明。 教学建议 ()要求学生必须熟练掌握直角坐标下二重积分的计算公式. (2)对较好学生要求掌握二重积分化为累次积分公式的证明. 教学程序 定理21.8设川在矩形区域D:a,小x[6,d上可积，且对每个 xea,积分 fx,y j了rk, 存在，则累次积分 电存在，且加了jk海 (1) 证明令F)。/6 ,定理要求证明F()在a,上可积，且积分结 果恰为二重积分.为此，对区间，与k,d小分别作分割， a=X<x<.<x,=b, c=%<y<<y,=d 按这些分点作两组直线 x=x,i=12,.,r-1.及 y=(k=1,s-) 它把矩形分为5个小矩形，记△为小矩形 kx]yy小=Lrk=L,设在△上的上确界和下确界分 别为M和m.在区间区，x]中任取一点5，于是就有不等式

《数学分析》下册 第二十一章 二重积分 海南大学数学系 1 §2 直角坐标下二重积分的计算 教学目的 掌握直角坐标下二重积分的计算公式． 教学内容 二重积分化为累次积分；累次积分的积分次序的交换． (1) 基本要求：掌握二重积分化为累次积分的方法和累次积分的积分次序的 交换公式． (2) 较高要求：掌握二重积分化为累次积分公式的证明． 教学建议 (1) 要求学生必须熟练掌握直角坐标下二重积分的计算公式． (2) 对较好学生要求掌握二重积分化为累次积分公式的证明． 教学程序 定理 21.8 设 f (x, y) 在矩形区域 D：a,bc,d 上可积，且对每个 x  a,b ，积分 ( )  d c f x, y dy 存在，则累次积分  b a dx ( )  d c f x, y dy 也存在，且 ( )  D f x, y d =  b a dx ( )  d c f x, y dy . (1) 证明 令 F(x)＝ ( )  d c f x, y dy ，定理要求证明 F(x) 在 a,b 上可积，且积分结 果恰为二重积分．为此，对区间 a,b 与 c,d 分别作分割， , c = y0  y1  ys = d . 按这些分点作两组直线 , 1,2, , 1. i x x i r = = − 及 k y = y (k =1,  ,s −1) 它把矩形分为 rs 个小矩形，记 ik 为小矩形     i i k k x , x y , y −1  −1 (i =1,  ,r,k =1,  ,s) ；设 f (x, y) 在 ik 上的上确界和下确界分 别为 Mik 和 mik ．在区间   i i x , x −1 中任取一点  ik ，于是就有不等式 a = x0  x1  xr = b

《数学分析》下册 第二十一章二重积分] 海南大学数学系 mAy,≤jf作nM≤MAy. 其中Ay=y-y.因此 2mA,sF代G)-形w≤空M,A, 左名Aa,2F-w安名，A,② 其中4=。-.记4的对角线长度为d和门=四d,由于二重积分存 在.由定理214.当门>0.会，“和2以，4有相同的概限，且 极限位等于 .因此当门→0时由不等式(2)可得： 肥∑F飞A∬Ko ，(3) 由于当门→0时，必有职A→0，因此由定积分定义，（3)式左边 e∑F形A∫Fjj/,M 定理21.9设f代在，川在矩形区域D:a,小x[c,d]上可积，且对每个 y∈k,d,积分 y 存在，则累次积分也存在，且 r(.yo Jd Jr点 定理219的证明与定理21.8相仿. 特别当f心（川在矩形区域D:a,小k,d小上连续时，则有 ∬f,Ho Jdsjr,jj/k,h 1计算+ 其中D=D,则x[0,1

《数学分析》下册 第二十一章 二重积分 海南大学数学系 2 ( ) ik k y y ik k i m y f y dy M y k k      −1  , ， 其中  k = k − k−1 y y y ．因此    ( ) = = k i s k mik y F  1 ( )   d c f  i , y dy k s k ik  M y =1 ， = r i 1      ( ) = = = r i k i i i s k ik m y x F x 1 1  ( )   d c f  i , y dy = r i 1 k s k ik  M y =1 i x ， (2) 其中  i = i − i−1 x x x ．记 ik 的对角线长度为 ik d 和 ik i k T d , = max ,由于二重积分存 在．由定理 21.4，当 T → 0 时， k i i k ik m y x , 和 k i k ik  M y , i x 有相同的极限，且 极限值等于 ( )  D f x, y d ．因此当 T → 0 时由不等式（２）可得：  ( ) = →  r i i i T F x 1 0 lim  = ( )  D f x, y d ， (3) 由于当 T → 0 时，必有 max 0 1  →   i i r x ，因此由定积分定义，（３）式左边  ( ) = →  r i i i T F x 1 0 lim  = ( )  b a F x dx =  b a dx ( )  d c f x, y dy . 定理 21.9 设 f (x, y) 在矩形区域 D：a,bc,d 上可积，且对每个 yc,d ，积分 ( )  b a f x, y dx 存在，则累次积分也存在，且 ( )  D f x, y d =  d c dy ( )  u a f x, y dx . 定理 21 9 的证明与定理 21．8 相仿． 特别当 f (x, y) 在矩形区域 D：a,bc,d 上连续时，则有 ( )  D f x, y d =  b a dx ( )  d c f x, y dy =  d c dy ( )  u a f x, y dx . 例1 计算 ( )  + D x y d 2 其中 D = 0,10,1

《数学分析》下册 第二十一章二重积分 海南大学数学系 解 成og =0 一般区域 x型区域：D=y()sy≤以a≤x≤b, y型区域：D={c)sx≤x,以csysd,) 、 一般区域：分割为若干个无公共内点的x型区域或'型区域的并 d" 定理21.10若函数化川在x型区域： D=《xyy(x)sy≤y,(x以a≤x≤b} 上连续其中)，)，在a,上连续，则 3

《数学分析》下册 第二十一章 二重积分 海南大学数学系 3 解 ( )  + D x y d 2 =  1 0 dx ( )  + 1 0 2 x y dy = ( )        − + 1 0 3 3 3 3 dx x y x = 6 7 . 一般区域 x 型区域： D = (x, y) y1 (x)  y  y2 (x),a  x  b， y 型区域： D = (x, y) x1 (y)  x  x2 (y),c  y  d， 一般区域 ：分割为若干个无公共内点的 x 型区域或 y 型区域的并． 定理 21.10 若函数 f (x, y) 在 x 型区域： D = (x, y) y1 (x)  y  y2 (x),a  x  b 上连续其中 y (x) 1 ， y (x) 2 ，在 a,b 上连续，则

《数学分析》下册 第二十一章二重积分 海南大学数学系 ∬f,oj了rk, a yc(x) 即二重积分可化为先对y,后对x的累次积分 正明°由于风，⅓()，在闭区间血，上连续，故总存在形区域 a,小xk,dD,定义在a,b小x[k,d上的函数 (f(x.y).(x.y)eD F(x.y)=10.(x.y)eD 则F川在a,小x,d小上可积，而且， ∬oFa了jFk冰 jjk =a) =a) 类似地有：若函数c,)在y型区域y型区域： D={x)sx≤6以e≤y≤d上连续其中x6),x6),在飞d上连续， 即=重积分可化为先对，后对的玉衣表分，则水加.必 例2设D是由直线x=0,y=1及y=x围成的区域，试计算二重积分 laeda 的值 解：若化为先对)，后对x的累次积分，则 -rerd加jrer ，由于被积函数的原 函数不能用初等函数表示，故改为化作先对x,后 对y的累次积分 e da

《数学分析》下册 第二十一章 二重积分 海南大学数学系 4 ( )  D f x, y d =  b a dx ( ) ( ) ( )  y x y c x f x y dy 2 1 , . 即二重积分可化为先对 y ，后对 x 的累次积分． 证明` 由于 y (x) 1 ， y (x) 2 ，在闭区间 a,b 上连续，故总存在形区域 a,bc,d  D ，定义在 a,bc,d 上的函数 F(x, y)= ( ) ( )  ( )     x y D f x y x y D 0, , , , , ， 则 F(x, y) 在 a,bc,d 上可积，而且， ( )  D f x, y d = ( )      a b  c d F x y d , , ,  =  b a dx ( )  d c F x, y dy =  b a dx ( ) ( ) ( )  y x y c x F x y dy 2 1 , =  b a dx ( ) ( ) ( )  y x y c x f x y dy 2 1 , . 类似地有：若函数 f (x, y) 在 y 型区域 y 型区域： D = (x, y) x1 (y)  x  x2 (y),c  y  d 上连续其中 x (y) 1 ， x (y) 2 ，在 c,d 上连续， 即二重积分可化为先对 x ，后对 y 的累次积分．则 ( )  D f x, y d =  d c dy ( ) ( ) ( )  x y x y f x y dx 2 1 , . 例 2 设 D 是由直线 x = 0, y = 1 及 y = x 围成的区域，试计算二重积分 I =  − D y x e d 2 2 的值 解 ：若化为先对 y ，后对 x 的累次积分，则 I =  − D y x e d 2 2 =   − 1 0 1 2 2 x y x dx e dy ，由于被积函数的原 函数不能用初等函数表示，故改为化作先对 x ，后 对 y 的累次积分 I =  − D y x e d 2 2 =   − 1 0 0 2 2 y y e dy x dx =  − 1 0 3 2 3 1 y e dy y = 3e 1 6 1 −

《数学分析》下册 第二十一章二重积分 海南大学数学系 例3计泉二=或积分a ,其中D是由直线y=2x,x=2y及x+y=3围成 的三角形区域 解aoao了o hjwj达j 2x-0-x- 例4求两个底面半径相同的直交圆柱所围立体的体积' 解设这两个直交圆柱面的方程为：r产+少=a,x2+:2=a2,由图形的 对称性 作业P223:1:2:3:4

《数学分析》下册 第二十一章 二重积分 海南大学数学系 5 例 3 计算二重积分  D d ，其中 D 是由直线 y = 2x, x = 2y 及 x + y = 3 围成 的三角形区域 解：  D d =  D1 d +  D2 d =   1 0 2 1 2 x x xdx dy +   2 − 1 3 2 x x dx dy =        − 1 0 2 2 dx x x +        − − 2 1 2 3 dx x x = 2 3 1 2 4 3 3 0 1 4 3 2 2 =       + −       x x x . 例 4 求两个底面半径相同的直交圆柱所围立体的体积 V 解 设这两个直交圆柱面的方程为： 2 2 2 x + y = a ， 2 2 2 x + z = a ，由图形的 对称性 V =8  − D a x d 2 2 =8   − − a a x dx a x dy 0 0 2 2 2 2 =8  − a a x dx 0 2 2 = 3 3 16 a . 作业 P223: 1;2;3;4