海南大学：《数学分析》课程教学资源（教案讲义）第二十二章 曲面积分 22.1 第一型曲面积分

《数学分析》下册 第二十二章曲面积分 海南大学数学系 第二十二章曲面积分 §1第一型曲面积分 教学目的掌握第一型曲面积分的定义和计算公式。 教学内容第一型曲面积分的定义和计算公式。 ()基本要求：掌握第一型曲面积分的定义和用显式方程表示的曲面的第一 型曲面积分计算公式. (2)较高要求：掌握用隐式方程或参量表示的曲面的第一型曲面积分计算公 式. 教学建议 (1)要求学生必须熟练掌握用显式方程表示的曲面的第一型曲面积分的定 义和计算公式 (②)对较好学生要求他们掌握用隐式方程或参量表示的曲面的第一型曲面 积分计算公式. 教学程序 背景：求具有某种非均匀密度物质的曲面块的质量时，利用求均匀密度的平 面块的质量的方法，通过“分割、近似、求和、取极限”的步骤来得到结果. 类大量的“非均匀”问题都采用类似的方法，从而归结出下面一类积分的定义. 一、第一型曲面积分的概念与性质 定义设S为空间上可求面积的曲面块，化，少，)为定义在S上的函数.对 曲面S作分割T,它把S分成n个可求面积的小曲面S,(i=1,2,n),S的面 积记为△心，分割r的细度为门=圆5的直径，在S上任取一点怎儿，6) (1=12,.,n).若有极限 R2化n5s, 且J的值与分割T与点G,5)的取法无关，则称此极限为，)在S上的第 一型曲面积分，记作 ∬fx,y,s (1)

《数学分析》下册 第二十二章 曲面积分 海南大学数学系 1 第二十二章 曲面积分 §1 第一型曲面积分 教学目的 掌握第一型曲面积分的定义和计算公式． 教学内容 第一型曲面积分的定义和计算公式． (1) 基本要求：掌握第一型曲面积分的定义和用显式方程表示的曲面的第一 型曲面积分计算公式． (2) 较高要求：掌握用隐式方程或参量表示的曲面的第一型曲面积分计算公 式． 教学建议 (1) 要求学生必须熟练掌握用显式方程表示的曲面的第一型曲面积分的定 义和计算公式． (2) 对较好学生要求他们掌握用隐式方程或参量表示的曲面的第一型曲面 积分计算公式． 教学程序 背景：求具有某种非均匀密度物质的曲面块的质量时，利用求均匀密度的平 面块的质量的方法，通过“分割、近似、求和、取极限”的步骤来得到结果．一 类大量的“非均匀”问题都采用类似的方法，从而归结出下面一类积分的定义． 一、第一型曲面积分的概念与性质 定义 设 S 为空间上可求面积的曲面块， f (x, y,z) 为定义在 S 上的函数．对 曲面 S 作分割 T ，它把 S 分成 n 个可求面积的小曲面 i S （ i = 1,2,  , n ）， i S 的面 积记为 i S ，分割 T 的细度为  i的直径 i n T S   = 1 max ，在 i S 上任取一点 ( )  i i  i , , （ i = 1,2,  , n ）．若有极限  ( ) = →  n i i i i i T f S 1 0 lim  , , = J ， 且 J 的值与分割 T 与点 ( )  i i  i , , 的取法无关，则称此极限为 f (x, y,z) 在 S 上的第 一型曲面积分，记作 f (x y z)dS S  , , . （1）

《数学分析》下册 第二十二章曲面积分 海南大学数学系 第一型曲面积分的性质 )线性性：设fas,川gis存在，aBeR,则∫(+m达存在，且 Laf+efds=af dsgds. ②)可加性：设∫fas存在，s=s1Us2,则∫「∫∫2体存在。 ∫[杰=∫体+∫体：反之亦然 二、第一型曲面积分的计算 定理22.1设有光滑曲面S::=(,)化川eD,f,以)为定义在S上 的连续函数，则 f(x.y.=s [f f(x.y.=(x.y)h++dxdy 证略 例1计算三，其中S是球面r+少+2=a被平面：=h0<h<所截 的顶部。 解S:=匠-少，化小eD=《么k2+y产sa- ++-后-x-可 暗可i了如了 Va-h mh-r小- 102arh 作业P2821:2:3:4

《数学分析》下册 第二十二章 曲面积分 海南大学数学系 2 第一型曲面积分的性质 (1)线性性:设 c fds  , c gds  存在,.  R , 则 f f ds c ( )    +  存在,且 ( ) c c c     f f ds fds gds + = +       . (2)可加性:设 s fds   存在, s = s1 s2, 则 1 2 , s s fds fds     存在,       = + s s1 s2 fds fds fds ；反之亦然. 二、第一型曲面积分的计算 定理 22.1 设有光滑曲面 S ：z = z(x, y) (x, y)D， f (x, y,z) 为定义在 S 上 的连续函数，则 f (x y z)dS S  , , = ( ( ))  + + D f x y z x y f x f y dxdy 2 2 , , , 1 . 证 略 例 1 计算  S z dS ，其中 S 是球面 2 2 2 2 x + y + z = a 被平面 z = h (0  h  a) 所截 的顶部. 解 S ： ( ) ( )  2 2 2 2 2 2 2 z = a − x − y , x, y  D = x, y x + y  a − h ， 2 2 2 2 2 1 a x y a z z x y − − + + = ，  S z dS =  − − D dxdy a x y a 2 2 2 = rdr a r a d a h   − −   2 0 0 2 2 2 2 = dr a r r a a h  − − 2 2 0 2 2 2  = ( ) 0 ln 2 2 2 2 a h a a r − − − = h a 2a ln . 作业 P2821;2;3;4