海南大学：《数学分析》课程教学资源（教案讲义）第五章 导数与微分 5.3 参变量函数的导数

《数学分析》上册教案 第五章导数与微分 海南大学数学系 §5.3参变量函数的导数 教学章节：第五章导数与微分一一§5.3参变量函数的导数 教学目标：熟悉含参量函数的求导法则，并熟练进行此类函数的导数运算。 教学要求：会求由参数方程所给出的函数的导数，并注意与其它法则的综合应用。 教学重点：含参量方程的求导法则. 教学难点：含参量函数导数的计算。 教学方法：以问题教学为主，结合练习。 教学过程： 引言 在解析几何上，我们遇到过曲线的参数方程.例如，椭圆的参数方程为 x=acost=ot） ly=bsnt=w(r) (0≤t≤2). 此：鲁=-am,来=6cas 问思如何束会 参数式求导 [x=x(t) 参数方程y=0,当)，)在[a,]连 续，可导，且x)0时，我们可假定0>0或 x0<0.这时0严格单调，所以x=0有反函 数1=倒，且可导，)-而，参数方程决定 个商数)-》，它的导数女《-克 边/ 或可写成kdhd 例1（旋轮线，摆线，速降线）一轮沿一直线滚动，求轮线上一定点的轨迹曲线，并求斜率为 1的曲线的切线

《数学分析》上册教案 第五章 导数与微分 海南大学数学系 1 §5.3 参变量函数的导数 教学章节：第五章 导数与微分——§5.3 参变量函数的导数 教学目标：熟悉含参量函数的求导法则,并熟练进行此类函数的导数运算. 教学要求：会求由参数方程所给出的函数的导数,并注意与其它法则的综合应用. 教学重点：含参量方程的求导法则. 教学难点：含参量函数导数的计算. 教学方法：以问题教学为主,结合练习. 教学过程： 引言 在解析几何上,我们遇到过曲线的参数方程.例如,椭圆的参数方程为    = = = = sin ( ) cos ( ) y b t t x a t t   (0  t  2 ) . 此时： a t dt dx = − sin , b t dt dy = cos . 问题 如何求 dx dy ？ 参数式求导 参数方程    = = ( ) ( ) y y t x x t , 当 x(t) , y(t) 在 [a,b] 连 续,可导,且 x(t)  0 时,我们可假定 x(t)  0 或 x(t)  0 .这时 x(t) 严格单调,所以 x = x(t) 有反函 数, t = t(x) ,且可导： ( ) 1 ( ) x t t x   = ,参数方程决定一 个函数 y(x) = y(t(x)) ,它的导 数 t t x t x x y y y t    =    = 或可写成 dt dx dt dy dx dy = . 例 1（旋轮线,摆线,速降线） 一轮沿一直线滚动,求轮线上一定点的轨迹曲线,并求斜率为 1 的曲线的切线. 解 C a A B t a O M

《数学分析》上册教案 第五章导数与微分 海南大学数学系 x=OM-CB.y=AM-AB OM=CM [x=at-asint=a(t-sin t) ly=a-acost=a(1-cost) (0s1s2x) 钟摆当α很小时，摆动可近似为简谐振动，但这只是个近似.在摆的两侧用两 条曲线限制它，使它成为严格简谐振动，从而有严格周期，这个曲线恰为旋轮线，故 它也称为摆线 考虑一个质点在重力作用下从A点沿曲线下降到B点，沿什 么曲线下降最快？也是旋轮线，故它也称为最速下降线。 现在我们求它的导数： 以=兰 、1 ai-0g5. 1 令,1，这时=-，y=0,该点的切线方程为 即 y=x+a2-3 二、极坐标求导 极坐标中函数 r=r(0) x=r(0)cos0 换成直角坐标 y=r()sine y=兰=r0sn0+r(8)cos9 s0+8 xa r'(e)cos0-r(0)sin 1-g00=ga 可看成参数式 r'( 由此 r(8)-ga-g0 r'(0)1+iga1g0 =1g(a-0)=1gB ,见图 例2证明螺线r=ae0(a,6>0)向径与切线交角为一常数

《数学分析》上册教案 第五章 导数与微分 海南大学数学系 2 x = OM −CB, y = AM − AB ,OM = CM (0 2 ) cos (1 cos ) sin ( sin )       = − = − = − = − t y a a t a t x at a t a t t . 钟摆当  很小时,摆动可近似为简谐振动,但这只是个近似.在摆的两侧用两 条曲线限制它,使它成为严格简谐振动,从而有严格周期,这个曲线恰为旋轮线,故 它也称为摆线. 考虑一个质点在重力作用下从 A 点沿曲线下降到 B 点,沿什 么曲线下降最快？也是旋轮线,故它也称为最速下降线. 现在我们求它的导数： 2 1 (1 cos ) sin t tg a t a t x y y t t x = − =    = . 令 1 2 1 = t tg , 2  t = ,这时 1) 2 = ( −  x a , y = a .该点的切线方程为 1) 2 − = − ( −  y a x a , 即 ) 2 (2  y = x + a − . 二 、极坐标求导 极坐标中函数 r = r( ) . 换成直角坐标    = =     ( )sin ( ) cos y r x r . 可看成参数式 .                  t g r r t g r r t g r r r r x y yx =  −  + =  −  + =    = ( ) ( ) 1 ( ) ( ) ( ) cos ( )sin ( )sin ( ) cos , 由此          tg tg tg tg tg tg r r = − = + − =  ( ) ( ) 1 ( ) ,见图. 例 2 证明螺线 r = ae (a,b  0) b 向径与切线交角为一常数. β   r =r()

《数学分析》上册教案 第五章导数与微分 海南大学数学系 r-ae” 证明 -言gB,所以=s6为席数，与0无关 例3已陶曲线方程p。确定的函数y=,求品会 注分清求导的对象，即到底是关于哪个变量求导. 作业教材P1051一4

《数学分析》上册教案 第五章 导数与微分 海南大学数学系 3 证明      tg ab e b a e r r b b = = =  1 ( ) ( ) , 所以 b arctg 1  = 为常数,与  无关. 例 3 已知曲线方程 2   = e 确定的函数 y = y(x) ,求   d d , dx dy . 注 分清求导的对象,即到底是关于哪个变量求导. 作业 教材 P105 1—4