海南大学：《数学分析》课程教学资源（教案讲义）第三章 函数极限 3.1 函数极限的概念

《数学分析》上册教案 第三章函数极限 海南大学数学系 第三章函数极限 引言 在《数学分析》中，所讨论的极限基本上分两部分，第一部分是“数列的极限”，第二部分 是“函数的极限”.二者的关系到是“特殊”与“一般”的关系；数列极限是函数极限的特例。 通过数列极限的学习.应有一种基本的观念：“极限是研究变量的变化趋势的”或说：“极限 是研究变量的变化过程，并通过变化的过程来把握变化的结果”.例如，数列{a}这种变量即是 研究当n→+o时，{a}的变化趋势. 我们知道，从函数角度看，数列{a,}可视为一种特殊的函数f,其定义域为N,值域是{a}, f:N→R(n→an):或f(n)=an,n∈N或f)=an. 研究数列{a}的极限，即是研究当自变量n→+∞时，函数fm)变化趋势. 此处函数f(m)的自变量n只能取正整数：因此自变量的可能变化趋势只有一种，即n→+o. 但是，如果代之正整数变量而考虑一般的变量为x∈R,那么情况又如何呢？具体地说，此时 自变量x可能的变化趋势是否了仅限于x→+0一种呢？ 为此，考虑下列函数： ()=1x0 0,x=0. 类似于数列，可考虑自变量x→+∞时，f(x)的变化趋势：除此而外，也可考虑自变量x→-∞ 时，f(x)的变化趋势：还可考虑自变量x→o时，f(x)的变化趋势：还可考虑自变量x→a时， f(x)的变化趋势，. 由此可见，函数的极限较之数列的极限要复杂得多，其根源在于自变量性质的变化但同时 我们将看到，这种复杂仅仅表现在极限定义的叙述有所不同.而在各类极限的性质、运算、证明 方法上都类似于数列的极限. 下面，我们就依次讨论这些极限

《数学分析》上册教案 第三章 函数极限 海南大学数学系 1 第三章 函数极限 引言 在《数学分析》中，所讨论的极限基本上分两部分，第一部分是“数列的极限”，第二部分 是“函数的极限”.二者的关系到是“特殊”与“一般”的关系；数列极限是函数极限的特例. 通过数列极限的学习.应有一种基本的观念：“极限是研究变量的变化趋势的”或说：“极限 是研究变量的变化过程，并通过变化的过程来把握变化的结果”.例如，数列 an 这种变量即是 研究当 n → + 时， an 的变化趋势. 我们知道，从函数角度看，数列 an 可视为一种特殊的函数 f ，其定义域为 N+ ，值域是 an， 即 : ( ) n f N R n a + → → ; 或 ( ) , n f n a n N =  + 或 ( ) n f n a = . 研究数列 an 的极限，即是研究当自变量 n → + 时，函数 f n( ) 变化趋势. 此处函数 f n( ) 的自变量 n 只能取正整数！因此自变量的可能变化趋势只有一种，即 n → + . 但是，如果代之正整数变量 n 而考虑一般的变量为 x R  ，那么情况又如何呢？具体地说，此时 自变量 x 可能的变化趋势是否了仅限于 x → + 一种呢？ 为此，考虑下列函数: 1, 0; ( ) 0, 0. x f x x   =   = 类似于数列，可考虑自变量 x → + 时， f x( ) 的变化趋势；除此而外，也可考虑自变量 x →− 时， f x( ) 的变化趋势；还可考虑自变量 x → 时， f x( ) 的变化趋势；还可考虑自变量 x a → 时， f x( ) 的变化趋势, . 由此可见，函数的极限较之数列的极限要复杂得多，其根源在于自变量性质的变化.但同时 我们将看到，这种复杂仅仅表现在极限定义的叙述有所不同.而在各类极限的性质、运算、证明 方法上都类似于数列的极限. 下面，我们就依次讨论这些极限

《数学分析》上册教案 第三章函数极限 海南大学数学系 §1函数极限的概念 教学内容：第三章函数极限一一§1函数极限的概念。 教学目标：掌握各种函数极限的分析定义，能够用分析定义证明和计算函数的极限 教学要求：学握当x→xo:x→0：x→+0：x→-0：x→x:x→x5时函数极限的分析 定义，并且会用函数极限的分析定义证明和计算较简单的函数极限. 教学建议：本节的重点是各种函数极限的分析定义.对多数学生要求主要掌握当x→x,时函数 极限的分析定义，并用函数极限的分析定义求函数的极限。 教学过程： 一、x→+o时函数的极限 (一)引言 设函数定义在[a,+∞)上，类似于数列情形，我们研究当自变量x→+∞时，对应的函数值能 否无限地接近于某个定数A.这种情形能否出现呢？回答是可能出现，但不是对所有的函数都具 此性质 例如f)-x无限增大时，f)无限地接近于0：g)=mg,x无限增大时，f无 限地接近于号：从)=xx无限增大时，了)与任何数都不能无限地接近.正因为如此，所以才 有必要考虑x→+o时，f(x)的变化趋势.我们把象fx),g(x)这样当x→+o时，对应函数值 无限地接近于某个定数A的函数称为“当x→+0时有极限A”, 0. -1日 问题如何给出它的精确定义呢？类似于数列，当x→+®时函数极限的精确定义如下. (仁)x→+0时函数极限的定义 定义1设∫为定义在[a,+o)上的函数，A为实数.若对任给的s>0,存在正数M(Ca)

《数学分析》上册教案 第三章 函数极限 海南大学数学系 2 §1 函数极限的概念 教学内容：第三章 函数极限——§1 函数极限的概念. 教学目标：掌握各种函数极限的分析定义，能够用分析定义证明和计算函数的极限． 教学要求：掌握当 0 x → x ； x → ； x →+ ； x → − ； → + 0 x x ； → − 0 x x 时函数极限的分析 定义，并且会用函数极限的分析定义证明和计算较简单的函数极限． 教学建议：本节的重点是各种函数极限的分析定义．对多数学生要求主要掌握当 0 x → x 时函数 极限的分析定义，并用函数极限的分析定义求函数的极限. 教学过程： 一、 x → + 时函数的极限 (一) 引言 设函数定义在 [ , ) a + 上，类似于数列情形，我们研究当自变量 x → + 时，对应的函数值能 否无限地接近于某个定数Ａ.这种情形能否出现呢？回答是可能出现，但不是对所有的函数都具 此性质. 例如 1 f x x ( ) , x = 无限增大时， f x( ) 无限地接近于 0； g x arctgx x ( ) , = 无限增大时， f x( ) 无 限地接近于 2  ； h x x x ( ) , = 无限增大时， f x( ) 与任何数都不能无限地接近.正因为如此，所以才 有必要考虑 x → + 时， f x( ) 的变化趋势.我们把象 f x( ) ，g x( ) 这样当 x → + 时，对应函数值 无限地接近于某个定数Ａ的函数称为“当 x → + 时有极限Ａ”. 问题 如何给出它的精确定义呢? 类似于数列,当 x → + 时函数极限的精确定义如下. (二) x → + 时函数极限的定义 定义 1 设 f 为定义在 [ , ) a + 上的函数，Ａ为实数.若对任给的   0 ，存在正数Ｍ ( )  a

《数学分析》上册教案 第三章函数极限 海南大学数学系 使得当x>M时有Ifx)-AKe,则称函数∫当x→+o时以A为极限.记作 1imfx)=A或fx)→4x→+0). (三)几点注记 1、义1中作用ε与数列极限中作用相同，衡量f(x)与A的接近程度，正数M的作用与数 列极限定义中N相类似，表明x充分大的程度：但这里所考虑的是比M大的所有实数x, 而不仅仅是正整数n. 2、mf)=A的邻域描述：6,3U+o,当x∈U+o)时，)eU4E). 3、imf()=A的几何意义：对E,就有y=A+e和y=A-e两条直线，形成以A为中 心线，以2E为宽的带形区域。“当x>M时有|fx)-Akε”表示：在直线x=M的右方，曲线 y=f(x)全部落在这个带形区域内. 如果ε给得小一点，即带形区域更窄一点，那么直线x=M一般往右移；但无论带形区域 如何窄，总存在正数M,使得曲线y=f(x)在x=M的右边的全部落在这个更窄的带形区域内. 4、现记f为定义在U(-o)或U(o)上的函数，当x→-o或x→o时，若函数值f(x)能无 限地接近于常数A,则称∫当x→-0或x→o时时以A为极限，分别记作， 1imf(x)=A或fx)→A(x→-o), 1imf(x)=A或f(x)→A(x→o). 这两种函数极限的精确定义与定义1相仿，简写如下： imf(x)=A台e>0,3M>0,当x0,3M>0,当|xbM时，Ifx)-Ake. 5、推论设fx)为定义在U(o)上的函数，则 lim f(x)=4 lim f(x)=lim f(x)=4. (四)利用Iimf(x)=A的定义验证极限等式举例 例1正明-0， 例2证明 1 )limarctx=-子：2)mrc=号

《数学分析》上册教案 第三章 函数极限 海南大学数学系 3 使得当 x M 时有 | ( ) | f x A −   , 则称函数 f 当 x → + 时以Ａ为极限.记作 lim ( ) x f x A →+ = 或 f x A x ( ) ( ) → → + . (三) 几点注记 1、义 1 中作用  与数列极限中  作用相同，衡量 f x( ) 与Ａ的接近程度，正数Ｍ的作用与数 列极限定义中Ｎ相类似，表明 x 充分大的程度；但这里所考虑的是比Ｍ大的所有实数 x ， 而不仅仅是正整数 n. 2、 lim ( ) x f x A →+ = 的邻域描述：   +  , ( ), U 当 x U + ( ) 时， f x U A ( ) ( ; ).   3、 lim ( ) x f x A →+ = 的几何意义：对  ，就有 y A = +  和 y A = − 两条直线，形成以Ａ为中 心线，以 2 为宽的带形区域.“当 x M 时有 | ( ) | f x A −   ”表示：在直线 x M= 的右方，曲线 y f x = ( ) 全部落在这个带形区域内. 如果  给得小一点，即带形区域更窄一点，那么直线 x M= 一般往右移；但无论带形区域 如何窄，总存在正数Ｍ，使得曲线 y f x = ( ) 在 x M= 的右边的全部落在这个更窄的带形区域内. 4、现记 f 为定义在 U( ) − 或 U ( )  上的函数，当 x →− 或 x → 时，若函数值 f x( ) 能无 限地接近于常数Ａ，则称 f 当 x →− 或 x → 时时以Ａ为极限，分别记作， lim ( ) x f x A →− = 或 f x A x ( ) ( ) → → − ， lim ( ) x f x A → = 或 f x A x ( ) ( ) → →  . 这两种函数极限的精确定义与定义 1 相仿，简写如下： lim ( ) x f x A →− =       0, 0, M 当 x M − 时， | ( ) | f x A −   ， lim ( ) x f x A → =       0, 0, M 当 | | x M 时， | ( ) | f x A −   . 5、推论 设 f x( ) 为定义在 U ( )  上的函数，则 lim ( ) x f x A → =  lim ( ) lim ( ) x x f x f x A →+ →− = = . (四) 利用 lim ( ) x f x →+ ＝Ａ的定义验证极限等式举例 例 1 证明 1 lim 0 x→ x = . 例 2 证明 1） lim x 2 arctgx  →− = − ；2） lim x 2 arctgx  →+ =

《数学分析》上册教案 第三章函数极限 海南大学数学系 二、x→x时函数的极限 (一)引言 上节讨论的函数f当x→+o时的极限，是假定∫为定义在[a,+∞)上的函数，这事实上是 U(+oo),即∫为定义在U(+∞)上，考虑x→+∞时f(x)是否趋于某个定数A. 本节假定∫为定义在点x,的某个空心邻域U(x,)内的函数，现在讨论当x→xx≠x,) 时，对应的函数值能否趋于某个定数A数列， 先看下面几个例子： 例1fx)=1(x≠0).（fx)是定义在U(0)上的函数，当x→0时，fx)→1)。 例20)=-4.（)是定义在U2上的函数，当x→2时，f)→4). x-2 例3因-士（是定义在U0上的商数，当→0时，九因). 由上述例子可见，对有些函数，当x→x(x≠x)时，对应的函数值fx)能趋于某个定数 A:但对有些函数却无此性质.所以有必要来研究当x→x(x≠x。)时，∫(x)的变化趋势. 我们称上述的第一类函数fx)为当x→x。时以A为极限，记作Iimf(x)=A. 和数列极限的描述性说法一样，这是一种描述性的说法.不是严格的数学定义.那么如何给 出这类函数极限的精确定义呢？ 作如下分析： “当自变量x越来越接近于x时，函数值f(x)越来越接近于一个定数A”→只要x充分接 近x。,函数值∫x)和A的相差就会相当小→欲使fx)-A相当小，只要x充分接近。就可以 了.即对Vs>0,36>0,当0x-xk6时，都有1f(x)-Ak6.此即1imf)=A. (二)x→xx≠x)时函数极限的E-6定义 定义2设函数f(x)在点x的某个空心邻域U°(x。;6)内有定义，A为定数，若对任给的 6>0,3(0,使得当0x-xK6时有1f(x)-Aks,则称函数∫当x趋于时以A为 极限（或称A为x→x,时f)的极限），记作m)=A或(f)→4x→) (三)函数极限的ε-6定义的几点说明

《数学分析》上册教案 第三章 函数极限 海南大学数学系 4 二、 0 x x → 时函数的极限 (一) 引言 上节讨论的函数 f 当 x → + 时的极限，是假定 f 为定义在 [ , ) a + 上的函数，这事实上是 U( ) + ，即 f 为定义在 U( ) + 上，考虑 x → + 时 f x( ) 是否趋于某个定数Ａ. 本节假定 f 为定义在点 0 x 的某个空心邻域 ( ) 0 U x 0 内的函数，.现在讨论当 0 0 x x x x →  ( ) 时，对应的函数值能否趋于某个定数Ａ数列. 先看下面几个例子： 例 1 f x x ( ) 1( 0) =  .（ f x( ) 是定义在 0 U (0) 上的函数，当 x →0 时， f x( ) 1 → ）. 例 2 2 4 ( ) 2 x f x x − = − .（ f x( ) 是定义在 0 U (2) 上的函数，当 x →2 时， f x( ) 4 → ）. 例 3 1 f x( ) x = .（ f x( ) 是定义在 0 U (0) 上的函数，当 x →0 时， f x( ) ? → ）. 由上述例子可见，对有些函数，当 0 0 x x x x →  ( ) 时，对应的函数值 f x( ) 能趋于某个定数 Ａ；但对有些函数却无此性质.所以有必要来研究当 0 0 x x x x →  ( ) 时， f x( ) 的变化趋势. 我们称上述的第一类函数 f x( ) 为当 0 x x → 时以Ａ为极限，记作 0 lim ( ) x x f x A → = . 和数列极限的描述性说法一样，这是一种描述性的说法.不是严格的数学定义.那么如何给 出这类函数极限的精确定义呢？ 作如下分析： “当自变量 x 越来越接近于 0 x 时，函数值 f x( ) 越来越接近于一个定数Ａ” → 只要 x 充分接 近 0 x ，函数值 f x( ) 和Ａ的相差就会相当小 → 欲使 | ( ) | f x A − 相当小，只要 x 充分接近 0 x 就可以 了.即对       0, 0 ，当 0 0 | |  −  x x  时，都有 | ( ) | f x A −   .此即 0 lim ( ) x x f x A → = . (二) 0 0 x x x x →  ( ) 时函数极限的  − 定义 定义 2 设函数 f x( ) 在点 0 x 的某个空心邻域 ( ) 0 0 U x ; 内有定义，Ａ为定数，若对任给的         0, ( ) 0  ，使得当 0 0 | |  −  x x  时有 | ( ) | f x A −   ，则称函数 f 当 x 趋于 0 x 时以Ａ为 极限（或称Ａ为 0 x x → 时 f x( ) 的极限），记作 0 lim ( ) x x f x A → = 或（ 0 f x A x x ( ) ( ) → → . (三) 函数极限的  − 定义的几点说明

《数学分析》上册教案 第三章函数极限 海南大学数学系 1、If(x)-Ak6是结论，0x-xK6是条件，即由0x-xk6推出. 2、ε是表示函数f(x)与A的接近程度的.为了说明函数f(x)在x→x。的过程中，能够任 意地接近于A,必须是任意的.这即ε的第一个特性一一任意性，即ε是变量：但&一经给定 之后，暂时就把ε看作是不变的了.以便通过s寻找6，使得当0x-xk6时1∫(x)-Ak8成 立.这即ε的第二特性一一暂时固定性.即在寻找6的过程中ε是常量：另外，若6是任意正数， 则三，E,.均为任意正数，均可扮演6的角色，也即6的第三个特性一一多值性： (If(x)-Aksf(x)-As) 3、δ是表示x与x,的接近程度，它相当于数列极限的6-N定义中的N.它的第一个特性 是相应性.即对给定的￡>0，都有一个6与之对应，所以6是依赖于￡而适当选取的，为此记之 为6(x:):一般说来，ε越小，6越小.但是，定义中是要求由0x-x,k6推出1f(x)-Ak6 即可，放若石满足此要求，则号等等比6还小的正数均可满足要求，因此6不是唯一的这即 δ的第二个特性一一多值性. 4、在定义中，只要求函数∫在x的某空心邻域内有定义，而一般不要求∫在x处的函数 值是否存在，或者取什么样的值.这是因为，对于函数极限我们所研究的是当x趋于x,的过程中 函数的变化趋势，与函数在该处的函数值无关.所以可以不考虑∫在点a的函数值是否存在，或 取何值，因而限定“0x-”, 5、定义中的不等式0dx-xk6台x∈U(x,6):Ifx)-AkE台fx)∈U(4s).从而定 义2一e>0,36>0，当x∈U°(x,8)时，都有fx)eU(4)一e>0,38>0,使得 f(U(x.5))U(A:s). 6、6-6定义的几何意义. 创1设0-证期：里-4 例2设f(x)=1(x≠0)，讨论x→0时f(x)的极限 例3证明1)imsinx=sin:2)mco=cos

《数学分析》上册教案 第三章 函数极限 海南大学数学系 5 1、| ( ) | f x A −   是结论， 0 0 | |  −  x x  是条件，即由 0 0 | |  −  x x  推出. 2、 是表示函数 f x( ) 与Ａ的接近程度的.为了说明函数 f x( ) 在 0 x x → 的过程中，能够任 意地接近于Ａ，  必须是任意的.这即  的第一个特性——任意性，即  是变量；但  一经给定 之后，暂时就把  看作是不变的了.以便通过  寻找  ，使得当 0 0 | |  −  x x  时 | ( ) | f x A −   成 立.这即  的第二特性——暂时固定性.即在寻找  的过程中  是常量；另外，若  是任意正数， 则 2 , , , 2    均 为任 意 正数 ，均 可 扮演  的角色 .也 即  的 第 三个 特性 — —多 值性 ； （ | ( ) | f x A −    −  | ( ) | f x A  ） 3、 是表示 x 与 0 x 的接近程度，它相当于数列极限的  −N 定义中的Ｎ.它的第一个特性 是相应性.即对给定的   0 ，都有一个  与之对应，所以  是依赖于  而适当选取的，为此记之 为 0   ( ; ) x ；一般说来，  越小，  越小.但是，定义中是要求由 0 0 | |  −  x x  推出 | ( ) | f x A −   即可，故若  满足此要求，则 , 2 3   等等比  还小的正数均可满足要求，因此  不是唯一的.这即  的第二个特性——多值性. 4、在定义中，只要求函数 f 在 0 x 的某空心邻域内有定义，而一般不要求 f 在 0 x 处的函数 值是否存在，或者取什么样的值.这是因为，对于函数极限我们所研究的是当 x 趋于 0 x 的过程中 函数的变化趋势，与函数在该处的函数值无关.所以可以不考虑 f 在点 a 的函数值是否存在，或 取何值，因而限定“ 0 0 | |  −x x ”. 5、定义中的不等式 0 0 | |  −  x x  0 0  x U x( , )  ； | ( ) | ( ) ( ; ) f x A f x U A −      .从而定 义 2        0, 0 ， 当 0 0 x U x  ( , )  时 ， 都 有 f x U A ( ) ( ; )          0, 0 ，使得 ( ) 0 0 f U x U A ( , ) ( ; )    . 6、 − 定义的几何意义. 例 1 设 2 4 ( ) 2 x f x x − = − ，证明： 2 lim ( ) 4 x f x → = . 例 2 设 f x x ( ) 1( 0) =  ，讨论 x →0 时 f x( ) 的极限. 例 3 证明 1） 0 0 lim sin sin x x x x → = ；2） 0 0 lim cos cos x x x x → =

《数学分析》上册教案 第三章函数极限 海南大学数学系 州4明园品号 例5证明m-F=-了0xk): 例6证明mC=C四x=: 帆7重期只a0 正明注意到d可阿，要想它任意小，女-4可任意小，内知不能任意小，当x→。 卧.它起点.当4经.中-小号等7 1_1s21x-al0,要使N=匠0,VG>0,要传-问<e 注意到 -6洁 只要方4小<e 且0，取=m6c号，则当0<-时，有-同< 即偏G=石 例9验证典-2 器州尝半程清 2 州10f“号

《数学分析》上册教案 第三章 函数极限 海南大学数学系 6 例 4 证明 2 2 1 1 2 lim x 2 1 3 x → x x − = − − . 例 5 证明 0 2 2 0 lim 1 1 x x x x → − = − 0 (| | 1) x  . 例 6 证明 0 0 0 lim , lim x x x x C C x x → → = = . 例 7 证明 ( 0) 1 1 lim =  → a x a x a . 证明 注意到 x a x a x a  − − = 1 1 ，要想它任意小， x − a 可任意小， x 却不能任意小，当 x →a 时，它必须远离零点.当 2 a x − a  时， 2 a x  a − x − a  就远离零点了.    0 , 取 ) 2 , 2 min( 2   a a = ，则当 0  x − a   时, 有   − −  2 1 1 2 | | a x a x a . 例 8 证明 x a x a = → lim . 证明 先设 a = 0 ，要证 lim 0 0 = → + x x ，   0 ，要使 x = x   , 取 2  =  ，则当 0  x   时，有 x = x     ，即 lim 0 0 = → + x x . 再设 a  0，   0 , 要使 x − a   ， 注意到 x a x a a x a x a  − + − − = 1 ， 只要 x − a   a 1 , 且 x  0，取 ) 2 min( , a  = a ，则当 0  x − a   时，有 x − a   ， 即 x a x a = → lim . 例 9 验证 2. 2 2 lim 2 2 = − + → x x x x 证明 . 4 2 2 2 4 2 4 2 2 2 2 4 2 3 2 2 2 x x x x x x x x x x x x  = − +  − + − = − +   例 10 验证 . 5 12 2 7 3 3 3 9 lim 2 3 2 3 = − + − + − → x x x x x x

《数学分析》上册教案 第三章函数极限 海南大学数学系 证明由x≠3， |x23-3x2+3x-912x2+3)(x-3)12 2x2-7x+3-5(2x-0x-3)-5 |x2+3125x-9x-35x-9x-3 2x-155px- 2x-1 为使5x-9=5x-15+6≤5r-3到+6≤1l,需有x-31 需有r-30而趋于0时，应按(x)=x2来考察函数值的变化趋势：当x0而趋于0时来 考察.为此，引进“单侧极限”的概念. (二)单侧极限的定义 定义3设函数∫在U(x:)内有定义，A为定数.若对任给的s>0,36(0,使得 当，<x<x+6时有1f(x)-AkE,则称数A为函数∫当x趋于x,时的右极限，记作 国=A或)→4x→x或6+0)=A

《数学分析》上册教案 第三章 函数极限 海南大学数学系 7 证明 由 x  3, 5 12 (2 1) ( 3) ( 3) ( 3) 5 12 2 7 3 3 3 9 2 2 3 2 − − − + − − = − + − + − x x x x x x x x x = . 2 1 5 9 3 52 1 5 9 3 5 12 2 1 3 2 − − −  − − − − = − + x x x x x x x x 为使 5x −9 = 5x −15+ 6  5 x −3 + 6 11, 需有 x −3 1; 为使 2x −1 = 2x − 6 + 5  5− 2 x −3 1, 需有 x − 3  2. 于是, 倘限制 0  x −3 1 , 就有 5 12 2 7 3 3 3 9 2 3 2 − − + − + − x x x x x 2 1 5 9 3 − − −  x x x 11 3.  1 11 3 = − −  x x . 练习 1 1、证明 3 1 1 lim 3 x 1 x → x − = − ; 2、证明 6 5 lim 6 x x →+ x + = . 三、单侧极限 (一) 引言 有些函数在其定义域上某些点左侧与右侧的解析式不同，如 2 1 , 0 ( ) , 0 x x f x x x   =    或函数在某些点仅在其一侧有定义，如 2 f x x x ( ) , 0 =  . 这时，如何讨论这类函数在上述各点处的极限呢？此时，不能再用前面的定义（讨论方法）， 而要从这些点的某一侧来讨论.如讨论 1 f x( ) 在 x →0 时的极限.要在 x = 0 的左右两侧分别讨论. 即当 x  0 而趋于 0 时，应按 2 1 f x x ( ) = 来考察函数值的变化趋势；当 x  0 而趋于 0 时，应按 1 f x x ( ) = 来考察函数值的变化趋势；而对 2 f x( ) ，只能在点 x = 0 的右侧，即 x  0 而趋于 0 时来 考察.为此，引进“单侧极限”的概念. (二) 单侧极限的定义 定义 3 设函数 f 在 0 0 U x( ; )  +  内有定义，Ａ为定数.若对任给的         0, ( ) 0  ，使得 当 0 0 x x x   + 时有 | ( ) | f x A −   , 则称数Ａ为函数 f 当 x 趋于 0 x 时的右极限，记作 0 lim ( ) x x f x A → + = 或 0 f x A x x ( ) ( ) → → + 或 0 f x A ( 0) + =

《数学分析》上册教案 第三章函数极限 海南大学数学系 类似可给出左极限定义(U(化：)，无-60,由A,36>0,使得当00,由即)=A,38>0,使得当00,使得当0<-x<d时，有闭-4<E.令=m6,), 当0<-<时，有)-A<c,故网f国=4 注：1)利用此可验证函数极限的存在，如由定理3.1知：1m(x)=0.还可说明某些函数 极限不存在，如由例2知imsgn x不存在.2)f化+0)，化，-0)，化)可能毫无关系，如例 作业教材P47一482一7

《数学分析》上册教案 第三章 函数极限 海南大学数学系 8 类似可给出左极限定义（ 0 0 U x( ; )  − ， 0 0 x x x −    ， 0 lim ( ) x x f x A → − = 或 0 f x A x x ( ) ( ) → → − 或 0 f x A ( 0) − = ）. 注 右极限与左极限统称为单侧极限. (三) 例子 例 1 讨论函数 1 f x( ) 在 x = 0 的左、右极限. 例 2 讨论 sgn x 在 x = 0 的左、右极限. 例 3 讨论函数 2 1− x 在 1 处的单侧极限. (四) 函数极限 0 lim ( ) x x f x → 与 0 0 lim ( ), lim ( ) x x x x f x f x → → + − 的关系 定理 3.1 0 0 0 lim ( ) lim ( ) lim ( ) x x x x x x f x A f x f x A → → → + − =  = = . 证 明 必要性 :    0 , 由 f x A x x = → lim ( ) 0 ,    0 , 使得当 0  x − x0   时，有 f (x) − A   ，特别地当 0  x − x0   时，有 f (x) − A   ，故 f x A x x = → + lim ( ) 0 0 . 同理当 0  x0 − x   时，也有 f (x) − A   , 故 f x A x x = → − lim ( ) 0 0 . 充分性:    0 , 由 f x A x x = → + lim ( ) 0 0 ， 1  0, 使得当 0  − 0   1 x x 时，有 f (x) − A   , 又由 f x A x x = → − lim ( ) 0 0 ,  2  0, 使得当 0  0 −   2 x x 时，有 f (x) − A   . 令 min( , )  =  1  2 , 当 0  x − x0   时，有 f (x) − A   ，故 f x A x x = → lim ( ) 0 . 注：1）利用此可验证函数极限的存在，如由定理 3.1 知： 1 0 lim ( ) 0 x f x → = .还可说明某些函数 极限不存在，如由例 2 知 0 limsgn x x → 不存在.2） 0 f x( 0) + ， 0 f x( 0) − ， 0 f x( ) 可能毫无关系，如例 2. 作业 教材 P47—48 2—7