北京大学：《量子力学 Quantum Mechanics》课程教学资源（电子教案）第五章 变量可分离型的三维定态问题

第五章变量可分离型的三维定态问题 当H不显含t时, O Hi at 有特解 (r, t=u(re 一iEnt/A H(r, pun(r=eun(r)

第五章 变量可分离型的三维定态问题 当 不显含 t 时， 有特解 Hˆ ˆ i H t ∂ ψ = ψ ∂ h iE t / O n n n φ ( r , t ) u ( r ) e − = H ( r , pˆ ) u ( r ) E u ( r ) ˆ n = n n

所以通解为v(I,t)=Σcnn(r,t) 现处理变量可分离型的位势问题 §5.1有心势 V(r)=Ⅴ(r) 能量本征方程可写为

所以通解为 现处理变量可分离型的位势问题。 §5.1 有心势 能量本征方程可写为 = ∑ n n n ψ(r,t) c φ (r,t) V(r) = V(r)

H(r, pun(r) V+v(r)un(r)=Enn(r) 2m h h 1 a 2 2 Or Ln|=0

2 2 n n nn ˆ H(r,p)u (r) V(r) u (r) E u (r) ˆ 2m ⎛ ⎞ =− ∇+ = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ h 2 22 2 2 2 22 ˆ 1 L (r ) 2m 2m r r r ∂ − ∇ =− − ∂ h h h 2 z ˆ ˆ [L ,L ] 0 =

,2]=0 [H,Lz]=0 因此,直①,是两两对易。当共同本征 函数组不简并时,它们构成一组力学量完全集 (球对称势的体系都有这一特点)

因此， 是两两对易。当共同本征 函数组不简并时，它们构成一组力学量完全集 （球对称势的体系都有这一特点）。 [ Hˆ , Lˆ ] 0 2 = [ Hˆ , Lˆ ] 0 z = z 2 Lˆ L , ˆ H , ˆ

以,2的本征值(即量子数)对能 量本征方程的特解进行标识。 UnIm(r)=Rn(r)ym(e, p) 于是有 2 r 2m r ar2 h2, )unIm(r)+v(runIm(r)=EunIm(r l(+1 (rr(r) (rr(r))+ 2m(e-v(r) (rR(r)=0 h

以 的本征值（即量子数）对能 量本征方程的特解进行标识。 于是有 z 2 Lˆ L , ˆ H , ˆ u (r) R (r)Y ( , ) nlm nl lm = θ φ 22 2 2 22 nlm nlm nlm ˆ 1 L ( r )u (r) V(r)u (r) Eu (r) 2m r r r ∂ −− + = ∂ h h 2 22 2 d l(l 1) 2m(E V(r)) (rR(r)) (rR(r)) (rR(r)) 0 dr r + − −+ = h

先讨论边条件的性质。 对于束缚态,r→>,unlm→>0 对于r->0,波函数行为? (1)不显含时间的薛定谔方程解在r→>0 的渐近行为 A 若V(r)= 时(A>0),仅 当0<m<2时才有束缚态

先讨论边条件的性质。 对于束缚态， 对于 ，波函数行为？ （ 1）不显含时间的薛定谔方程解在 的渐近行为 A．若 时( ) ，仅 当 0

根据位力定理:如Ⅴ(r)是x,y,z的n次齐 次函数,则有 2T=nv (在定态上) 对于上述势 2T=-mV 2 E=T+V=(1 T

根据位力定理：如 是x,y,z的n次齐 次函数，则有 （在定态上）。 对于上述势 即 V ( r ) 2 T = n V 2 T = − m V 2 E T V (1 )T m =+ =−

在这类位势下,束缚态E<0。所以存在束缚 态的条件为0<m<2

在这类位势下，束缚态E<0。所以存在束缚 态的条件为 0<m<2

即仅当rv(r) >0 0时,才有束缚态 B.在r→>0时,径向波函数应满足 rR(r)→>0 由径向方程 (rr(r)) l(I+1) (rr(r))+ 2m(e-v(r)) (rR(r)=0

即仅当 时，才有束缚态。 B．在 时，径向波函数应满足 由径向方程 r → 0 rR ( r ) → 0 2 22 2 d l(l 1) 2m(E V(r)) (rR(r)) (rR(r)) (rR(r)) 0 dr r + − −+ = h 2 r 0 r V(r) 0 → ⎯⎯⎯→

径向方程在r→>0的渐近式为 l(I+1 2 (rr(r)) rR(r)≈0 dr 其渐近解为~r l+1 ,所以有 rr(r)- r→>0 0 (2)三维自由粒子运动 因V(r)=0,所以可选力学量完全集

径向方程在 的渐近式为 其渐近解为 ，所以有 （ 2）三维自由粒子运动 因 ，所以可选力学量完全集 2 2 2 d l(l 1) (rR(r)) (rR(r)) 0 dr r + − ≈ r 0 → l 1 ~ r + rR ( r ) 0 r 0 ⎯⎯ →⎯ → V ( r ) = 0