北京大学：《量子力学 Quantum Mechanics》课程教学资源（电子教案）第八章 量子力学中的近似方法

第八章量子力学中的近似方法 在量子力学中,能精确求解的问题为数是有 限的,要么非常特殊,要么非常简单。我们在这 章中,介绍一些常用的近似处理方法。也就是 说,当将量子力学原理用于实际问题中,我们必 须进行一些近似处理,才能得到所要的结果,才 能将问题解决。 §8.1定态微扰论 本节讨论的是H与t无关

第八章 量子力学中的近似方法 在量子力学中，能精确求解的问题为数是有 限的，要么非常特殊，要么非常简单。我们在这 章中，介绍一些常用的近似处理方法。也就是 说，当将量子力学原理用于实际问题中，我们必 须进行一些近似处理，才能得到所要的结果，才 能将问题解决。 §8.1 定态微扰论 本节讨论的是 与 无关 Hˆ t

设:直=H(r,P),要求其本征值和本征函数 Hu =E H=Ho+H 其中血很接近育,且有解析解。而1是小量, 为易于表达其大小的量级,无妨令 入→>0 HQ)=H0+H1 H() H

设： ，要求其本征值和本征函数 其中 很接近 ，且有解析解。而 是小量， 为易于表达其大小的量级，无妨令 P ) ˆ H ( r , Hˆ = ˆ H E ˆ ψ = ψ 0 1 Hˆ Hˆ Hˆ = + H 0 ˆ Hˆ H 1 ˆ 0 H 1 Hˆ ˆ H ( ) ˆ λ = + λ 0 0 Hˆ ( ) ⎯⎯ → → ⎯ Hˆ λ λ

(1)非简并能级的微扰论 设:Ho的本征值和本征函数为E0,g0 (0) (0)(0) k 三k k (0) φPK构成一正交,归一完备组 现求解 Hyk= ekyk (Ho+ Lyk= ekyk

（1）非简并能级的微扰论 设： 的本征值和本征函数为 ， 构成一正交，归一完备组。 现求解 即 H 0 ˆ 0 E k （ ） 0 ϕ k （ ） 0 00 0k k k H E ˆ ϕ = ϕ （ ） （ ）（ ） H k E k k ˆ ψ = ψ 0 1 k E k k H ) Hˆ ˆ ( + λ ψ = ψ 0 ϕ k （ ）

求上k,vk的步骤是通过逐级逼近来求 精确解,即将Bk,vk对λ展开(即对λH1 矩阵元展开) 从E,q出发求Ek,vk。当→>0, 即H1→>0v4→>φ,E,→>E0), 非简并微扰论就是处理的那一条能级是非 简并的(或即使有简并,但相应的简并态并不 影响处理的结果) 我们可将 vk=N(q+q+2pk)+…)

求 ， 的步骤是通过逐级逼近来求 精确解，即将 ， 对 展开（即对 矩阵元展开）。 从 ， 出发求 ， 。当 ， 即 ，， 非简并微扰论就是处理的那一条能级是非 简并的（或即使有简并，但相应的简并态并不 影响处理的结果） 。 我们可将 E k ψ k E k ψ k λ H 1 λ ˆ 0 E k （ ） 0 ϕ k （ ） E k ψ k λ → 0 Hˆ 1 → 0 (0) ψk k → ϕ (0) E E k k → (0) (1) 2 (2) ψ = ϕ + λϕ + λ ϕ + k kk k N( ) L

N(q+∑q"a+2∑'q"a)+…) 求和号上的撇表示求和不包括q态标,即9 是与φQ正交的 k+AE()+22E(2) k S(O k 十 其中N为归一化常数,它随准确到那一级而定 代入上式得 H0+H1)(q(+p(+2gp2)+…)

求和号上的撇表示求和不包括 态，即 是与 正交的 其中 为归一化常数，它随准确到那一级而定 代入上式得 (0) (0) (1) 2 (0) (2) k i ik i ik i i = ϕ +λ ϕ +λ ϕ + N( ' a ' a ) ∑ ∑ L (0) ϕ k ( i ) k ϕ (0) (1) 2 (2) EE E E kk k k = +λ +λ + L N (0) (1) 2 (2) 0 1k k k ˆ ˆ (H H )( ) + λ ϕ + λϕ + λ ϕ + L (0) ϕ k

=(E+λE(+x2E(2)+…)(o+xp(+x2op2+…) 于是有 0 HoPO)=ER oR ∑qa+qp=E∑'q"a+Ep ∑q"a+∑ (0)2(1)=E ∑ 0)9(2)+E ∑q"a+E2q

于是有 (0) (1) 2 (2) (0) (1) 2 (2) kk k kk k = (E E E )( ) +λ +λ +L L ϕ + λϕ + λ ϕ + 0λ (0) (0) (0) 0k k k H E ˆ ϕ = ϕ 1λ (0) (1) (0) (0) (0) (1) (1) (0) 0 i ik 1 k k i ik k k i i H'a H E 'a E ˆ ˆ ∑ ∑ ϕ + ϕ= ϕ + ϕ 2λ (0) (2) (0) (1) (0) (0) (2) (1) (0) (1) (2) (0) 0 i ik 1 i ik k i ik k i ik k k ii i i H'a H'a E 'a E 'a E ˆ ˆ ∑∑ ∑ ∑ ϕ + ϕ = ϕ + ϕ +ϕ

A.一级微扰近似 (0)()+H,PK ∑'q:a+p=E∑ +E 1)(0) 以φ。标积 Ed=oror a, dr=(pto)h, iy 以 a'(i ≠k)标积 E"2"+(91p) k“ik

A. 一级微扰近似 以 标积 以 （ ）标积 (0) (1) (0) (0) (0) (1) (1) (0) 0 i ik 1 k k i ik k k i i H'a H E 'a E ˆ ˆ ∑ ϕ + ϕ= ϕ + ϕ ∑ (0) ϕ k (1) (0)* (0) (0) (0) k k 1k k 1 k E H dr H = ϕ ϕ =ϕ ϕ ˆ ˆ ∫ (0) ϕi i ≠ k (0) (1) (0) (0) (0) (1) i ik i 1 k k ik Ea H Ea +ϕ ϕ = ˆ

(0) (H1)1 E (0) E (0) EOO-E 0 k k 因此,在一级近似下 E=E+(1)=(q+19 +q=q+∑ Do(0)(HDik E (0) E

因此，在一级近似下 (0) (0) (1) i 1k 1 ik ik (0) (0) (0) (0) ki ki ˆ H ˆ (H ) a EE EE ϕ ϕ = = − − (0) (0) (0) k k 1 kk k 0 1 k E E (H ) H H = + =ϕ + ϕ ˆ ˆˆ (0) (1) (0) (0) 1 ik kk k k i (0) (0) i k i ˆ (H ) ' E E ψ =ϕ +ϕ =ϕ + ϕ − ∑

(归一化N=1准至一级) 所以,在E这条能级为非简并时,其能 量的一级修正恰等于微扰项H1在无微扰状态 qk的平均值。 例1:考虑一个粒子在位势 mo X x≤a Vx)={2 -ma a

(归一化 准至一级) 所以，在 这条能级为非简并时，其能 量的一级修正恰等于微扰项 在无微扰状态 的平均值。 例1：考虑一个粒子在位势 N = 1 (0) E k H 1 ˆ (0) ϕ k ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ > ≤ = m a x a 2 1 m x x a 2 1 V ( x ) 2 2 2 2 ω ω

t-maX x ≤a H=2m2 +-mg a 2m2 0+H1 Ho 2m P<+-moX 2

⎪⎪⎩ ⎪⎪⎨⎧ + > + ≤ = m a x a 2 1 2m P m x x a 2 1 2m P H ˆ 2 2 2 x 2 2 2 x ω ω ∴ 0 H1 = H ˆ + ˆ 2 2 2 0 2 1 2 1 P m x m H ˆ = x + ω