北京大学：《量子力学 Quantum Mechanics》课程教学资源（电子教案）第六章 量子力学的矩阵形式及表示理论

第六章量子力学的矩阵形式及表示理论 §61量子体系状态的表示 在几何学中,一个矢量可以用它在某个坐标 架中的坐标来描述(现限于正交坐标) A=eja+e2a2 +e3a3 显然,当坐标架给定后(e1e2,3)

第六章 量子力学的矩阵形式及表示理论 §6.1 量子体系状态的表示 在几何学中，一个矢量可以用它在某个坐标 架中的坐标来描述（现限于正交坐标） 显然，当坐标架给定后 1 1 2 2 3 3 A = e a + e a + e a ( e , e , e ) 1 2 3

ai =e A a a2 a 3 是与矢量A完全等价的 当然可另选一坐标系(e1),则矢量为

是与矢量 完全等价的. 当然可另选一坐标系 ，则矢量为 ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ 3 2 1 a a a ( a e A ) i i = ⋅ A ( e ) i ′

A=∑ eia 同样,a}与A等价 所以,我们可以用某一坐标系中的坐标来完 全描述空间某一矢量。而同一矢量在二坐标系 中的坐标之间有特定的关系。例如:新坐标系 是绕原坐标系Z轴转而获得

同样， 与 等价。 所以，我们可以用某一坐标系中的坐标来完 全描述空间某一矢量。而同一矢量在二坐标系 中的坐标之间有特定的关系。例如：新坐标系 是绕原坐标系 Z 轴转 而获得 { }i a′ A α = ∑ ′ ′ i i i A e a

ρ

a1 =cosal a1cOS以+ a sin a2=psin a1 a cosa-a1 sin a 3=a3

2 1 a′ = ρsinα = a2 cosα − a1 sinα 3 3 a′ = a 1 1 a′ = ρcosα = a1 cosα + a2 sinα

a3=a3 cosa sin a 0a1 SIna cos ot0‖a 2 a 0 01人a3 =Rz(a)川a2 a3

3 3 a ′ = a ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = − ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ′ ′ ′ 3 2 1 3 2 1 a a a 0 0 1 sin cos 0 cos sin 0 a a a α α α α ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = 3 2 1 z a a a R ( α )

类似地,绕y轴转角β则有 cos阝0-sinβ a2 01 0 2 Sinβ0cos 3 a Ry(β)a2 13

类似地，绕 y轴转角 ，则有 β ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − = ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ′ ′ ′ 3 2 1 3 2 1 a a a sin 0 cos 0 1 0 cos 0 sin a a a β β β β ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = 3 2 1 y a a a R ( β )

普遍而言,先绕2转0,再绕新y转β (即N轴),再绕新z轴(即z)转y, 这时 a2=Rz (YRN()r(a)a2 a3 事实上, Rz2(y)=RN(β)Rz()Rz()Rz(c)RN(β)

普遍而言，先绕 z 转 ，再绕新 y 转 (即N轴)，再绕新z轴(即 )转 ， 这时 事实上， α β z′ γ ⎟⎟⎟⎠⎞ ⎜⎜⎜⎝⎛ =⎟⎟⎟⎠⎞ ⎜⎜⎜⎝⎛ ′′′ ′ 321 z N z 321 aaa R ( )R ( )R ( ) aaa γ β α R ( ) R ( )R ( )R ( )R ( )R ( ) 1N 1 z γ N β z α z γ z α β − − ′ =

(a) (b) (C)

而RN(β)=Rz(a)R√(β)Rz(a) a2=[Rz(a) Ry(sri(a]Rz(aRe(YRZ (aRN(B)RN(B)Rz(a)a2 a3 3 a Rz(a)RY(B)R2(Y) a2 a 3 而且可以看到

而 而且可以看到 R ( ) R ( ) R ( ) R ( ) 1 N β z α y β z α − = ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ′ ′ ′ − − − 3 2 1 N z 1 N 1 z z z 1 z y z 3 2 1 a a a [ R ( ) R ( ) R ( )] R ( ) R ( ) R ( ) R ( ) R ( ) R ( ) a a a α β α α γ α β β α y 3 z 1 z 2 a R ( a a )R ( )R ( ) ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ αβγ