中国科学技术大学：《数学分析》课程教学资源（课件讲稿）第二章 单变量函数的连续性

2.1连续函数的基本概念 第二章】 单变量函数的连续性 函数连续，就是指函数的图象是一条“"没有断开、连续”的曲线. 间断 连续 Xo 1 X “连续”：自变量变化充分小时，函数值的变化也充分小， lim,Av=lim [f(xo+Ax)-f(x)]=0 △x0 台lim f)=fx】 2

2 2.1 连续函数的基本概念 第二章 单变量函数的连续性 函数连续, 就是指函数的图象是一条“没有断开、连续”的曲线. “连续”：自变量变化充分小时，函数值的变化也充分小.  0 0    0 0 lim lim 0 x x y f x x f x               0 0 lim ( ) ( ). x x f x f x    y 1 1 O 1 x 间断 0 x 连续

2.1连续函数的基本概念 第二章！ 单变量函数的连续性 定义：设y=f(x)在x,的某邻域内有定义，且limf(x)=f(x,) x→X0 则称函数f(x)在Xo处连续，或X,是f(x)的连续点： ∫(x)在点x,处连续 (1)f(x)在点xo处有定义，即f(x)存在 (2)极限1imf(x)存在； x→X0 (3)lim f(x)=f(xo). x→x0 三条中有一条不成立，则称Xo是f(x)的间断点. 3

3 2.1 连续函数的基本概念 第二章 单变量函数的连续性 定义: 设 在 的某邻域内有定义, 且 则称函数 f x( ) 在 处连续，或 是 的连续点; y f x  ( ) 0 x 0 x 0 0 lim ( ) ( ), x x f x f x   0 x f x( ) (3) (2) 极限 存在 ; (1) 在点 处有定义, 即 存在 f x( ) 在点 x0 处连续 0 f x( ) 三条中有一条不成立，则称 是 的间断点. 0 x f x( )

2.1连续函数的基本概念 第二章 单变量函数的连续性 定义：若f(x)在开区间I上的每一点都连续，则称f(x)在I上连 续，或f(x)为I上的连续函数，记为f(x)∈C(①) 定义（单侧连续）：若f(x)=f(x),则称f(x)在x处左连续： 若f(x)=f(x),则称f(x)在xo处右连续. 定义：若f(x)∈C(a,b)且在a,b分别右、左连续，则称f(x) 在[a,b]上连续，记为f(x)∈C[a,b]. 4

4 2.1 连续函数的基本概念 第二章 单变量函数的连续性 定义: 若 f x( ) 在开区间 I 上的每一点都连续，则称 f x( ) 在 I 上连 续, 或 f x( ) 为 I 上的连续函数，记为 f x( )C(I). 定义(单侧连续): 若 f x f x ( ) ( ), 0 0 则称 在 处左连续；   f x( ) 0 x 若 则称 在 处右连续. 0 0 f x f x ( ) ( ),   f x( ) 0 x 在 上连续，记为 定义：若 且在 分别右、左连续，则称 f x( )

2.1连续函数的基本概念 第二章 单变量函数的连续性 例：设函数y=f(x)在(-0，+0)内有定义，且对(-0，+0) 内任意x,y满足f(x+y)=∫(x)+f(y),证明：y=f(x) 在(-o0,+00)内连续的充要条件是该函数在x=0处连续， x,x∈Q, 跳：函数f(w)=0,xeR-0 在x=0处连续 例：Riemann函数在无理点处连续，有理点处间断. 5

5 2.1 连续函数的基本概念 第二章 单变量函数的连续性 例：设函数 在 内有定义，且对 内任意 满足 证明： 在 内连续的充要条件是该函数在 处连续. 例: 函数 在 处连续. x y, 例: Riemann函数在无理点处连续，有理点处间断

2.1连续函数的基本概念 第二章 单变量函数的连续性 ,x=peN,geZ coprime: p p (6)Riemanni函数R(x)= 1,x=0 、0,x∈R-Q 6

6 2.1 连续函数的基本概念 第二章 单变量函数的连续性 (6) Riemann函数 1 , , , coprime; q x p q p p      1, 0 x  0, x  R x( ) 

2.1连续函数的基本概念 第二章】 单变量函数的连续性 间断点的分类： fx)=f(x)≠fx) 可去间断点 (左右极限都存在) 第一类间断点 f(x)≠f(x) 跳跃间断点 间断点 f(x)or f(x)=co (左右极限至少有一 无穷间断点 个不存在) 第二类间断点 振荡间断点 7

7 2.1 连续函数的基本概念 第二章 单变量函数的连续性 间断点的分类： 间断点 第一类间断点 第二类间断点 (左右极限都存在) 可去间断点 跳跃间断点 无穷间断点 振荡间断点 ……. o x y 0 x x y o 0 x x y O 0 x (左右极限至少有一 个不存在) 0 0 0 f x f x f x ( ) ( ) ( )     0 0 f x f x ( ) ( )    0 0 f x f x ( ) o r ( )    

2.1连续函数的基本概念 第二章！ 单变量函数的连续性 Sinx 1.x=0是f(x)= 的可去间断点. X 2.x=1是f)={2x-5,x<1 3x+1,x21 的跳跃间断点. 3,x=k7+(k∈2）是anx的第二类间断点无穷间向 4任意x,是Dirichle函数D(y)= 1,x∈Q 0,xeR-Q 的第二类间断点. 8

8 2.1 连续函数的基本概念 第二章 单变量函数的连续性 4. 任意 是Dirichlet函数 的 1, ( ) 0, x D x x        0 x 1. 是   的 sin x f x x x  0  可去间断点. 3.   是 tan x 的 2 x k k      第二类间断点(无穷间断点). 2. x 1 是 的跳跃间断点. 第二类间断点

2.1连续函数的基本概念 第二章】 单变量函数的连续性 卧过论通数-，（≥0小 的连续性， x+a,xx0 函数在(-00，十0)上连续？ 10

10 2.1 连续函数的基本概念 第二章 单变量函数的连续性 例: 0 0 0 , ( ) 3, . 2 1, x a x x f x x x x x x            设函数 当常数 和 取何值时 函数在 上连续？ 0 x ( , )   a   lim 0   1 n n n x f x x  x    例: 讨论函数 的连续性

2.1连续函数的基本概念 第二章 单变量函数的连续性 连续巫数的运算 利用函数极限的性质，可证 定理（连续函数的四则运算）：设函数f(x)和g(x)在点x,处连续 则 fx)±g(xfx)g(x), (g(x)≠0) 在x,处也连续 定理（连续函数的复合）：设函数8(x)在x,处连续，∫(x)在8(x) 处连续，则f(g(x)在x处连续 即： m/(g=fmgx)E/g》 11

11 2.1 连续函数的基本概念 第二章 单变量函数的连续性 连续函数的运算 利用函数极限的性质，可证 定理 (连续函数的四则运算): 设函数 f x( ) 和 g x( ) 在点 x0 处连续，   0 ( ) ( ) ( ), ( ) ( ), ( ) ( ) 0 f x f x g x f x g x g x g x   0 x 则 在 处也连续. 定理 (连续函数的复合): 设函数 g x( ) 在 处连续， f x( ) 在 f g x  ( ) 0 处连续，则 在 x 处连续. 0 x 0 g x( )   0 lim ( ) x x f g x    0 lim ( ) x x f g x     0 即：  f g x( )

2.1连续函数的基本概念 第二章 单变量函数的连续性 反诬数的连续性 1.(x)有反函数当且仅当f为一一映射. 2.严格单调的函数有反函数：反之未必 定理：f(x)∈C[a,b].则f(x)有反函数当且仅当f(x)严格单调 且反函数存在时，也在[a,b]上连续 12

12 2.1 连续函数的基本概念 第二章 单变量函数的连续性 反函数的连续性 1. f x( ) 有反函数当且仅当 f 为一一映射. 2. 严格单调的函数有反函数; 反之未必. 定理: f (x)C a b [ , ]. 则 f x( ) 有反函数当且仅当 f x( ) 严格单调. 且反函数存在时，也在 [ , ] a b 上连续