中国科学技术大学：《数学分析》课程教学资源（课件讲稿）第五章 单变量函数的积分学 5.4 反常积分

反常积分 第五章 单变量函数的积分学 反常积分的概念和计算 积分限有限 常义积分的限制 ↓推广 被积函数有界 反常积分（广义积分） 一、无穷限的反常积分 二、无界函数的反常积分 2

2 反常积分 第五章 单变量函数的积分学 二、无界函数的反常积分 常义积分的限制 积分限有限 推广 被积函数有界 一、无穷限的反常积分 反常积分 (广义积分) 反常积分的概念和计算

反常积分 第五章 单变量函数的积分学 引例：求第一象限内位于曲线y=ex之下的无界图形的面积. X 任取t>0,在x=t左侧部分的面积为 A(1)=Se"dx =-e*h =1-e' 故所求无界图形的面积应为 4=lim A(t)=lim e"dx =1. t→+00 3

3 反常积分 第五章 单变量函数的积分学 引例：求第一象限内位于曲线 之下的无界图形的面积. 任取 在 左侧部分的面积为 故所求无界图形的面积应为

反常积分 第五章 单变量函数的积分学 无穷区间的反常积分 定义：(1)设f(x)∈C[a,+o),任取b≥a,若1im°f(x)dx b+00● 存在，则称此极限为(x)的无穷限反常积分，记作 ∫。f(x)dr=limf()dk 这时称反常积分f(x)dx收敛； 如果上述极限不存在，就称反常积分f(x)dx发散. (2)类似地，若f(x)∈C(-0,b],则定义 ∫°fw)de=:lim ["f()dr 4

4 反常积分 第五章 单变量函数的积分学 任取 若 无穷区间的反常积分 定义: (1)设 存在 , 则称此极限为 的无穷限反常积分，记作 这时称反常积分 收敛 ; 如果上述极限不存在, 就称反常积分 发散 . (2)类似地 , 若 则定义

反常积分 第五章 单变量函数的积分学 (3)若f(x)∈C(-0,+o),则定义 ∫rfx)dr=∫.fx)dr+∫f(x)dx 只要有一个极限不存在，就称f(x)dx发散. 上述三种形式的反常积分统称为无穷区间的反常积分. 定义：若imf(x)dr存在，则称之为f(x)dr的Cauchy Cauchy主值积分，记为P.V.f(x)dx. xdx 思考： =0正确吗？ 5

5 反常积分 第五章 单变量函数的积分学 则定义 只要有一个极限不存在 , 就称 发散 . 上述三种形式的反常积分统称为无穷区间的反常积分. 定义 : 若 存在，则称之为 的Cauchy Cauchy主值积分，记为 思考: 正确吗？

反常积分 第五章 单变量函数的积分学 引入记号 F(+oo)=lim F(x);F(-oo)=lim F(x) x)+00 则有类似Newton-Leibniz公式的计算表达式： 定理：设f(x)在相应的区间上有原函数F(x),则 if(dr=F(t=F4w）)-Fa f0md=r。=Fo)-(-o) ∫fde=Fxt-Fw）-f(-o 6

6 反常积分 第五章 单变量函数的积分学 引入记号 ( ) lim ( ) ; x F F x     ( ) lim ( ) x F F x     则有类似Newton-Leibniz公式的计算表达式 : 定理: 设 在相应的区间上有原函数 则

反常积分 第五章 单变量函数的积分学 dx 例计算反常积分 9明反常积盼”dr当p>1时收敛，当p≤1时发散 击道常称职分广↓d为p积分， 卧设p>0为常数，正明血<石<1+”k. 7

7 反常积分 第五章 单变量函数的积分学 例. 计算反常积分 例: 证明反常积分 当 时收敛， 当 时发散. 注: 通常称积分 为 p 积分. 例: 设 为常数，证明

反常积分 第五章 单变量函数的积分学 无界丞数的反常积分 引例.第一现象内位于曲线y=广与直线x=1及两坐标轴之间 x 的无界图形的面积 X 所求阿定义为4小d水会小dr -lim(2-2V62. 8

8 反常积分 第五章 单变量函数的积分学 引例. 第一现象内位于曲线 与直线 及两坐标轴之间 的无界图形的面积. 所求面积可定义为 无界函数的反常积分

反常积分 第五章 单变量函数的积分学 定义：设x=b为f(x)在[a,b]上的的唯一无穷间断点（瑕点），且对 b- Vε∈(O,b-a),f(x)在[a,b-上可积.若1imf(x)dx存在 801 则称此极限为函数f(x)在[a,b]上的瑕积分，记作 「fax)de=lim∫2fax)dk 5>0 这时称瑕积分D∫()d收敛；如果上述极限不存在，则称瑕积盼 发散. 类似地，若x=a为f(x)的瑕点，则定义 ∫efax)dx=limf(xd 9

9 反常积分 第五章 单变量函数的积分学 定义: 设 为 在 上的的唯一无穷间断点(瑕点)，且对 这时称瑕积分 收敛 ; 如果上述极限不存在，则称瑕积分 发散. 类似地 , 若 则称此极限为函数 在 上的瑕积分, 记作 为 的瑕点，则定义 在 上可积. 若 存在

反常积分 第五章 单变量函数的积分学 若f(x)在(a,b)上有唯一瑕点c∈(a,b),则定义 fcx)dx=[fdx+-小fdr 若上式右端两个瑕积分都收敛，则称瑕积分f(x)dx收敛； 否则，称此瑕积分发散. 定义：若m[f)d+fd存在，则称之为/(d 80 的Cauchy主值积分，记为P.Vfw)dk 10

10 反常积分 第五章 单变量函数的积分学 则定义 若上式右端两个瑕积分都收敛，则称瑕积分 收敛 ; 否则，称此瑕积分发散. 若 在 上有唯一瑕点 定义 : 若 存在，则称之为 的Cauchy主值积分，记为

反常积分 第五章 单变量函数的积分学 同样，瑕积分有类似Newton-Leibniz公式的计算表达式： 定理：设f(x)在相应的区间上有原函数F(x),则 ① 若b为瑕点，则f(x)dx=F(b)-F(a) ② 若a为瑕点，则f(x)dr=F(b)-F(a) ③ 若a,b都为瑕点，则f(x)dr=F(b)-F(a) ④若瑕点c∈(a,b),则 ["f(x)dx=F(b)-F(c")+F(c)-F(a) 可相消吗？ 11

11 反常积分 第五章 单变量函数的积分学 同样，瑕积分有类似Newton-Leibniz公式的计算表达式 : 定理: 设 在相应的区间上有原函数 则 ④ 若瑕点 则 ① 若 为瑕点，则 ② 若 为瑕点，则 ③ 若 都为瑕点，则 可相消吗?