中国科学技术大学：《数学分析》课程教学资源（课件讲稿）第三章 单变量函数的微分学 3.4 未定式的极限

3.4未定式的极限 第二章 单变量函数的微分学 一种求极限的简便且很有效的方法一L'Hospital法则 定理（号型L'Hospital法则：设fx)和g(x)在x,附近可微且满足 (1)lim f(x)=lim g(x)=0 x→X0 x→X0 (2)g'(x)≠0 (3)li f'(x) =1,1可以是有限实数或0. x→x g'(x) 则 lim /(x) = lim f'(x) =1. x-→x0 g(x) r→x0 8'(x) 2

2 3.4 未定式的极限 第二章 单变量函数的微分学 一种求极限的简便且很有效的方法—— 定理( 型 法则): 设 和 在 附近可微且满足 可以是有限实数或 则 法则

3.4未定式的极限 第二章 单变量函数的微分学 注1：定理中的极限可改为单侧极限（即x→x,±0），此时结论 同样成立；另一方面对于极限过程x→0，x→0或x→0 8 型未定式，也有类似的L'Hospital法则. 如：以r→x为例，设m0)=im8)=0m侧-1则 x-→6g'(x) lims (x) lim =lim =lim x→08(x) t→0 1-→0 t→0 lim f'(x=1. x→0 8'(x) 3

3 3.4 未定式的极限 第二章 单变量函数的微分学 注 1: 定理中的极限可改为单侧极限(即 )，此时结论 同样成立; 另一方面对于极限过程 或 型未定式，也有类似的 法则. 例如：以 为例，设 则

3.4未定式的极限 第二章】 单变量函数的微分学 注2：在使用L'Hospital法则时，如果lim x→x0 g'(x) 还是。型未定式， lim f(x)=lim g(x)=0,lim f'(x)=lim g'(x)=0, x→x0 x→x0 →X0 则可以继续考虑二阶导数，如果lim "(w）=1,则1i f)=l. x→g"(x) x→0g(X) 不管使用几次，前提条件是： 1.必须是。 型未定式； 2.后者的极限一定存在！ 注3：在使用L'Hospital法则之前，最好先用等价无穷小替换将分 分子或分母换成简单的函数， 4

4 3.4 未定式的极限 第二章 单变量函数的微分学 注2: 在使用 法则时，如果 还是 型未定式， 即 且 则可以继续考虑二阶导数，如果 不管使用几次，前提条件是： 则 1. 必须是 型未定式； 2. 后者的极限一定存在. 注3: 在使用 法则之前，最好先用等价无穷小替换将分 分子或分母换成简单的函数

3.4未定式的极限 第二章 单变量函数的微分学 e2r-1 1.lim e*+e x-2 x0 In(1+x) 2.lim e x→0 sin-x 3.lim ex-e *-2x 3x-sin 3x 4.li x→0 x-sin x *0(1-cosx)In(1+2x) 5

5 3.4 未定式的极限 第二章 单变量函数的微分学 0 e e 2 3. lim sin x x x x x x      0 3 sin 3 4. lim . (1 cos )ln(1 2 ) x x x  x x   

3.4未定式的极限 第二章 单变量函数的微分学 定理（二型L'Hospital法则）：设f(x)和g(x)在x,附近可微且满足 (1)lim g(x)=co x→x0 (2)8'(x)≠0 (3)lim f'(x) =1,1可以是有限实数或o0. x->xo g'(x) 则 lim (x) lim f'(x) =1. X→x0 g(x) g'(x) 1.这里只要求limg(x)=oo,对f(x)的极限没要求. x→x0 2.定理中极限为单侧极限或修改极限过程，结论仍然成立，这与 01 型极限类似， 6

6 3.4 未定式的极限 第二章 单变量函数的微分学 定理( 型 法则): 设 和 在 附近可微且满足 可以是有限实数或 则 1. 这里只要求 对 的极限没要求. 2. 定理中极限为单侧极限或修改极限过程，结论仍然成立，这与 型极限类似

3.4未定式的极限 第二章 单变量函数的微分学 注4：在使用L'ospital法则时，若lim (x 不存在，lim f(x) x→x0 g'(x) g(x) 仍有可能存在： lim x+si x=1≠1im(1+cosx). X→00 X 注5：在使用L'Hospital法则时，条件g'(x)≠0在xo周围恒成立， 是必需的： x+sinxcosx lim- esin (x+sinxcosx) =lime-simx不存在， x→00 (x+sinxcosx) 2cos2 x 但lim lim- =0. (esin*(x+sinxcosx)) esin cosx(2cosx+x+sin x cosx) 7

7 3.4 未定式的极限 第二章 单变量函数的微分学 注4: 在使用 法则时，若 不存在， 仍有可能存在： 注5: 在使用 法则时，条件 在 周围恒成立, 是必需的: 不存在， 但

3.4未定式的极限 第二章 单变量函数的微分学 1.设f(x)在[a,+oo)上可导，且1 lim e-*f'(x)=0.求证： lim xe *f(x)=0. In x 2.设a>0,则lim =0. X→+00 xa 这个例子说明无论C是多小的正数，当x→+0时，幂函数x“总是比对数 函数更高阶的无穷大量. x“ 3.设u>0,a>1.则lim x>+00 8

8 3.4 未定式的极限 第二章 单变量函数的微分学 1. 设 在 上可导，且 求证: 2. 设 则 这个例子说明无论 是多小的正数, 当 时, 幂函数 总是比对数 函数更高阶的无穷大量. 3. 设 则

3.4未定式的极限 第二章】 单变量函数的微分学 1.设f(x)在区间[0，a]上有二阶连续导数f'(0)=1,f"(0)≠0，且 0<f(x)<x,x∈(0，a).令xm+1=f(xn),x1∈(0，a). ()证明{xn}收敛并求极限； ()试问xn}是否收敛？若不收敛，则说明理由.若收敛，则求其 极限. 2.设f(x)在(a,+oo)上可导，且lim(f(x)+xf'(x)lnx)=1. +00 求证：limf(x)=1. Hint:lim f(x)=lim f(x)In x L'Hospital x→+00 In x 9

9 3.4 未定式的极限 第二章 单变量函数的微分学 2. 设 在 上可导，且 1. 设 在区间 上有二阶连续导数 且 (i) 证明 收敛并求极限; 令 (ii) 试问 是否收敛? 若不收敛, 则说明理由. 若收敛, 则求其 极限. 求证:

3.4未定式的极限 第二章 单变量函数的微分学 其他类型的未定式 其他几种未定式 0.00,00-0,1°，0°，000 可先转化为。和一型未定式，再使用LHospital法则处理 ●人● 1.lim x x→+0 f-auan 2 3.lim sinx x 4.lim x*. x-→0 x→0 5.lim(1-cosx)ms n→00 10

10 3.4 未定式的极限 第二章 单变量函数的微分学 其他类型的未定式 其他几种未定式 可先转化为 和 型未定式，再使用 法则处理