中国人民大学：《线性代数》课程教学资源（课件）线性代数总复习

线性代数D基本要求 1.掌握矩阵以及特殊矩阵（方阵、行（列）向量、零矩阵、 上（下）三角矩阵、对角阵、单位阵)的概念 2.掌握矩阵的运算和相应的运算规律（矩阵的加法、数乘 矩阵、矩阵的乘法、方阵的幂、矩阵的转置) 注意：矩阵运算中不满足的运算律 3.会计算二阶、三阶行列式 4.掌握余子式和代数余子式的概念与计算 5.掌握n阶行列式按某一行（列）展开的定义 6.会用行列式的性质计算简单的高阶行列式 注意：行列式的特殊结构 行列式的运算和矩阵运算的区别

线性代数D基本要求 1.掌握矩阵以及特殊矩阵（方阵、行（列）向量、零矩阵、 上（下）三角矩阵、对角阵、单位阵）的概念 2.掌握矩阵的运算和相应的运算规律（矩阵的加法、数乘 矩阵、矩阵的乘法、方阵的幂、矩阵的转置） 注意: 矩阵运算中不满足的运算律 5.掌握n阶行列式按某一行（列）展开的定义 4.掌握余子式和代数余子式的概念与计算 3.会计算二阶、三阶行列式 6.会用行列式的性质计算简单的高阶行列式 行列式的运算和矩阵运算的区别 注意: 行列式的特殊结构

线性代数D基本要求 7.掌握逆矩阵的定义与性质 8.理解克莱姆法测 9,会用公武有式和初等变换法求逆矩阵， 会求解矩阵方程 10.掌握初等矩阵和初等变换的概念 11.理解矩阵秩的概念，会用初等变换求矩阵的秩 12.理解向量组线性无关，线性相关等概念. 13.掌握齐次线性方程组和非齐次线性方程组的解的存在定理及 解的结构. 14.会用对增广矩阵做初等行变换的方法（消元法）求解线性方 程组

线性代数D基本要求 7.掌握逆矩阵的定义与性质 8.理解克莱姆法则 9.会用公式 和初等变换法求逆矩阵， 会求解矩阵方程 1 * 1 A A A   10.掌握初等矩阵和初等变换的概念 11.理解矩阵秩的概念，会用初等变换求矩阵的秩 12. 理解向量组线性无关，线性相关等概念. 14.会用对增广矩阵做初等行变换的方法（消元法）求解线性方 程组 13. 掌握齐次线性方程组和非齐次线性方程组的解的存在定理及 解的结构

线性代数D基本要求 1.掌握矩阵以及特殊矩阵（方阵、行（列）向量、零矩阵、 上（下）三角矩阵、对角阵、单位阵)的概念 2.掌握矩阵的运算和相应的运算规律（矩阵的加法、数乘 矩阵、矩阵的乘法、方阵的幂、矩阵的转置) 注意：矩阵运算中不满足的运算律

线性代数D基本要求 1.掌握矩阵以及特殊矩阵（方阵、行（列）向量、零矩阵、 上（下）三角矩阵、对角阵、单位阵）的概念 2.掌握矩阵的运算和相应的运算规律（矩阵的加法、数乘 矩阵、矩阵的乘法、方阵的幂、矩阵的转置） 注意: 矩阵运算中不满足的运算律

矩阵加法设有两个同型矩阵A=(a人Bnm=(,b则矩阵 A与B的和记作A+B, a1+b1a2+b2 …a1n+bn A+B 021+b2122+b2…42n+b2n = 数乘矩阵 数2与矩阵的乘积 211 λa2 … Aan 九A= 2d21 1a22 Aa2n Aam …

                         m m m m m n m n n n n n a b a b a b a b a b a b a b a b a b A B        1 1 2 2 21 21 22 22 2 2 11 11 12 12 1 1 设有两个同型矩阵 则矩阵 与 的和记作 ，  ,  , Amn  aij Bmn  bij A B A B 11 12 1 21 22 2 1 1 . n n m m mn a a a a a a A a a a                        矩阵加法 数乘矩阵 数与矩阵A的乘积

矩阵乘法、 设A=(a)是一个m×s矩阵，B=(b)是一个 s×n矩阵，则规定矩阵A与矩阵B的乘积 是一个m×矩阵C=(c戶AB,其中 Cg=a1b,+a2b2,+…+abg=∑axbg k=1 (i=1,2,…mj=1,2,…,n). 方阵的幂 A是n阶方阵，k为自然数，则A为A的k次幂，即 Ak=AA…A 且A0=I. k个 方阵转置把矩阵A的行列互换后得到的新矩阵，叫做A 的转置矩阵，记作AT

       s k ij ai b j ai b j aisbsj aik bkj c 1 1 1 2 2  i m j n   1,2, ; 1,2, , . 设 是一个 矩阵， 是一个 矩阵，则规定矩阵 与矩阵 的乘积 是一个 矩阵 =AB，其中   A  aik m  s   kj B  b s  n m  n  ij C  c A B 矩阵乘法 方阵的幂 A是 n 阶方阵，为自然数，则 A k 为A的 k 次幂，即  k个 k A  A A A 且 . 0 A  I k 方阵转置 把矩阵 的行列互换后得到的新矩阵，叫做 的转置矩阵，记作 . Τ A A A

矩阵加法和数乘运算满足的运算律 (1).A+B=B+A: 交换律 (2).(2)A=2(uA）=(A）; (A+B)+C=A+(B+C) 结合律 3).(A+B)=A+B; (+4A=A+4 分配律 (4).A+0=A: 加法零元 (5).A+(-)=0: 加法负元 (6).1A=4:

矩阵加法和数乘运算满足的运算律 (2).()A  (A)  (A); 交 换 律 分配律   ; (3). ( ) ; A A A A B A B              (1). A  B  B  A; (4). A  O  A; (5). A  (A)  O; (6).1A  A; A  B   C  A  B  C ; 结合律 加法零元 加法负元

矩阵乘法满足的运算规律 (①)结合律(AB)C=A(BC); (AB)=(入A)B=A(入B) (2)分配律A(B+C)=AB+AC, (B+C)A=BA+CA; 3)AnxnIn IaAuxn Auxni AmxnOn =Om Amxn =Omxn (4)AA=A+1 (5)(A)=A

矩阵乘法满足的运算规律 (1)结合律 (AB)C A(BC); (2)分配律 A(BC) AB AC, (BC)ABACA; (AB)(A)B A(B) 3 Am nI n  I mAm n  Am n; ; Amn On  Om Amn  Omn (4) k l k l A A A   (5) .   l k kl A A 

注意 (1)矩阵乘法不满足交换律 (2)两个非零矩阵的乘积可能是零矩阵. 由AB=O,A≠O不能推出B=O 3)矩阵乘法不满足消去律，即 AB=AC,A≠O不能推出B=C

注意 (2) 两个非零矩阵的乘积可能是零矩阵. 由AB  O, A  O 不能推出 B  O. (3) 矩阵乘法不满足消去律，即 AB  AC,A  O 不能推出 B  C. (1) 矩阵乘法不满足交换律

判断： X (1AB=BA; (2)如果AB=O,则A=O或B=O; X (3)如果AB=AC且A≠O,则B=C; X (4)(A+B)2=A2+2AB+B2; X (4)(A+B)2=(A+B)(A+B)=A+AB+BA+B2; (5)(A+B)A-B)=A2-B2: X (5)A+B)(A-B)=A2-AB+BA-B2;

(2)如果AB  O,则A  O或B  O; (3)如果AB  AC且A  O,则B C; (4)( ) 2 ; 2 2 2 A B  A  AB  B (A B)(A-B) A B ; 2 2 (5)     (1)AB  BA; 判断:   (4)( ) ( )( ) 2 A B  A B A B ; 2 2  A  AB  BA B (5) ; 2 2 (A B)(A-B) A  AB  BA B  

转置矩阵的运算性质 (4y=4 (2)(A+B)P=AI+B; (3)(4=4; (4)(AB)=BTAT

转置矩阵的运算性质 1A  A; T T  2  ; T T T A B  A  B 3  ; T T A  A 4  . T T T AB  B A