中国科学技术大学：《离散数学》课程教学资源（PPT课件讲稿）第三部分 图论 第十三章 几种特殊的图

离散数学 第十三章几种特殊的图 主要内容 ●欧拉图 ●1 哈密顿图 ●二部图与匹配 平面图 ●着色 1

1 第十三章 几种特殊的图 主要内容 ⚫ 欧拉图 ⚫ 哈密顿图 ⚫ 二部图与匹配 ⚫ 平面图 ⚫ 着色

离散数学 13. 1欧拉图 历史背景：哥尼斯堡七桥问题 B A B D 2

2 13.1 欧拉图 历史背景：哥尼斯堡七桥问题

离散数学 欧拉图定义 定义13.1图（无向图或有向图）中所有边恰好通过一次且经过 所有顶点的通路称为欧拉通路.图中所有边恰好通过一次且 经过所有顶点的回路称为欧拉回路.具有欧拉回路的图称为 欧拉图.具有欧拉通路而无欧拉回路的图称为半欧拉图. 说明： 规定平凡图为欧拉图. 环不影响图的欧拉性 3

3 欧拉图定义 定义13.1 图(无向图或有向图)中所有边恰好通过一次且经过 所有顶点的通路称为欧拉通路. 图中所有边恰好通过一次且 经过所有顶点的回路称为欧拉回路．具有欧拉回路的图称为 欧拉图. 具有欧拉通路而无欧拉回路的图称为半欧拉图． 说明： 规定平凡图为欧拉图. 环不影响图的欧拉性

离散数学 欧拉图实例 er es er es e es e es e e e es e, es 欧拉图 半欧拉图 不是 e ei e es e; e, e, 欧拉图 半欧拉图 不是 4

4 欧拉图实例 欧拉图 半欧拉图 不是 欧拉图 半欧拉图 不是

离散数学 欧拉图的判别法 定理13.1(1)无向图G是欧拉图当且仅当G是连通的且没有奇 度顶点 (2)无向图G是半欧拉图当且仅当G是连通的且恰有两个奇度 顶点 (3)有向图D是欧拉图当且仅当D是强连通的且每个顶点的入 度等于出度. (4)有向图D是半欧拉图当且仅当D是单向连通的且恰有两个 奇度顶点，其中一个顶点的入度比出度大1，另一个顶点出度 比入度大1，其余顶点的入度等于出度. 例1设G是非平凡的欧拉图，则G≥2. 证只需证明G的任意一条边都不是桥.设C是一条欧拉回路， e在C上，因而G-e仍是连通的，故e不是桥. 5

5 欧拉图的判别法 定理13.1 (1) 无向图G是欧拉图当且仅当G是连通的且没有奇 度顶点． (2) 无向图G是半欧拉图当且仅当G是连通的且恰有两个奇度 顶点． (3) 有向图D是欧拉图当且仅当D是强连通的且每个顶点的入 度等于出度． (4) 有向图D是半欧拉图当且仅当D是单向连通的且恰有两个 奇度顶点, 其中一个顶点的入度比出度大1, 另一个顶点出度 比入度大1, 其余顶点的入度等于出度． 例1 设G是非平凡的欧拉图，则(G)2. 证 只需证明G的任意一条边e都不是桥. 设C是一条欧拉回路, e在C上，因而G−e仍是连通的，故e不是桥．

离散数学 Fleury算法 算法： (1)任取y∈(G),令Po=y,=0. (2)设P:=oe1y1e2.eyi, 如果E(G)-{e1,e2,,e}中没有与y关联的边，则计算结束； 否则按下面方法从E(G)-{e1,e2,,e}中选取e+1: (a)e1与y,关联； (b)除非无别的边可供选择，否则e+1不应为G-{e1,e2,e 中的桥. 设e#1=(y%y+1),把e1y+1加入P (3)令=计1，返回(2). 6

6 Fleury算法 算法： (1) 任取v0V(G), 令P0=v0 , i=0. (2) 设Pi = v0e1v1e2…eivi ， 如果E(G)-{e1 ,e2 ,…,ei }中没有与vi关联的边, 则计算结束; 否则按下面方法从E(G)−{e1 ,e2 ,…,ei }中选取ei+1： (a) ei+1与vi 关联； (b) 除非无别的边可供选择, 否则ei+1不应为 G−{e1 ,e2 ,…,ei } 中的桥. 设ei+1=(vi ,vi+1), 把ei+1vi+1加入Pi . (3) 令i=i+1, 返回(2)

离散数学 实例 一笔画出一条欧拉回路 7

7 实例 一笔画出一条欧拉回路

离散数学 实例 一笔画出一条欧拉回路 8

8 实例 一笔画出一条欧拉回路

离散数学 13.2哈密顿图 历史背景：哈密顿周游世界问题 (1) (2) 9

9 13.2 哈密顿图 历史背景：哈密顿周游世界问题 (1) (2)

离散数学 哈密图与半哈密顿图 定义13.2经过图中所有顶点一次且仅一次的通路称作哈密顿 通路.经过图中所有顶点一次且仅一次的回路称作哈密顿回 路.具有哈密顿回路的图称作哈密顿图.具有哈密顿通路且无 哈密顿回路的图称作半哈密顿图. 规定：平凡图是哈密顿图 例 哈密顿图 哈密顿图 半哈密顿图 不是 10

10 哈密顿图与半哈密顿图 定义13.2 经过图中所有顶点一次且仅一次的通路称作哈密顿 通路. 经过图中所有顶点一次且仅一次的回路称作哈密顿回 路. 具有哈密顿回路的图称作哈密顿图. 具有哈密顿通路且无 哈密顿回路的图称作半哈密顿图. 规定: 平凡图是哈密顿图. 哈密顿图 哈密顿图 半哈密顿图 例 不是