《力学》课程教学资源（数学工具）转动系求导——速度和加速度

例：速度和加速度（) 在这一节我将讨论在两个相对转动的坐标系（即不同参考系）中粒子速度和 加速度之间的关系。考察一个随时间变化的矢量G(t) (大小和方向都可能变 化)，如果我们有两个坐标系xx2x3和 xx,其中一个xxx相对于另一个 G( XX2x3以角速度可转动，我想要知道的是， 在两个坐标系中G随时间的变化率之间有什 X2 么联系？ x 在第一个坐标系中，G随时间的变化率为 dG dG (1) d dt =6+6 在第二个坐标系中，G随时间的变化率为 dG dG (2) 在不同的坐标系系中，变化的只是矢量的分量，而矢量本身是不变的，因此(1) 又可写为 dG dG dt -G+G d =G'+Gō× (3) dt dt 第一项正好是G在转动坐标系中的变化率，即(2)式，所以我们就得到了 dG +@xG (4) dt dt 12 由于这个关系对任意矢量都是成立的，通常又把它写成算子的形式 第1页，共2页

例：速度和加速度（II） 在这一节我将讨论在两个相对转动的坐标系（即不同参考系）中粒子速度和 加速度之间的关系。考察一个随时间变化的矢量G t( ) K （大小和方向都可能变 化 ），如果我们有两个坐标系 123 x x x 和 123 x ′′′ x x ，其中一个 1 2 1 x 2 x 3 x 1 x ′ 2 x ′ 3 x ′ G t( ) K 3 x ′ ′ x x ′ 相对于另一个 123 x x x 以角速度ω K 转动，我想要知道的是， 在两个坐标系中G K 随时间的变化率之间有什 么联系？ 在第一个坐标系中，G 时间的变化率为 K 随 1 1 ˆ ˆ ˆ i i i ii i dG dG x dx Gx G dt dt dt = =+ K  1 (1) 在第二个坐标系中， 随时间的变化率为 G K 2 2 2 ˆ i i i ii i dG dx Gx G dt dt dt dG x′ˆ ˆ ′ ′ = =+ ′′ ′ K  (2) 在不同的坐标系系中，变化的只是矢量的分量，而矢量本身是不变的，因此(1) 又可写为 1 1 1 ˆ ˆ ˆ ˆ i i i ii i ii i i dG dG x dx Gx G Gx G x dt dt dt ω ′ ′ ′ = = + = +× ′ ′ ′ ′′ ′ ˆ′ K K   (3) 第一项正好是 在转动坐标系中的变化率，即 G (2)式，所以我们就得到了 K 1 2 dG dG G dt dt = + × ω K K K K (4) 由于这个关系对任意矢量都是成立的，通常又把它写成算子的形式 第 1 页，共 2 页

+而X (5) dt 2 你只需把考察的矢量填放到合适的空位上即可。这里而是第二个坐标系相对于 第一个转动的角速度。 比如，现在我把前面定义的角速度⑦放到空位上， do do +而X而 (6) dt dt \2 因此 do do (7 dt dt2 再如，速度 dr d标 = 十而×下=2十可×下 (8) dt 又如，加速度 a1= dr +而×（而×F) (9) dt,dt, =ā2+B×F+2而×币2+而（而×） 这里 B= do do dō (10) dt 称为角加速度。 第2页，共2页

1 2 d d dt dt + × ω K = (5) 你只需把考察的矢量填放到合适的空位上即可。这里ω K 是第二个坐标系相对于 定义的角速度 第一个转动的角速度。 比如，现在我把前面 ω K 放到空位上， 1 2 d d dt dt ω ω = + × ω ω K K K K (6) 因此 1 d d dt dt 2 ω ω = K K (7) 再如，速度 1 2 1 2 dr dr v r dt dt = = + ×= + × ω ω K K K K K K v r K K (8) 又如，加速度 ( ) ( ) ( ) 1 1 1 11 2 2 22 2 2 2 2 2 dvK d d d dr ar r dt dt dt dt dt dd d dr rr r dt dt dt dt ar v r ω ω ω ω ωω β ω ωω ⎛ ⎞⎛ ⎞ = = = +× +× ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠ = + × +× +× × = + ×+ × + × × K K K K K K KK K K K KK K KK K K K KK (9) 这里 K 2 1 d dd dt dt dt ω ω ω β ≡== K K K K (10) 称为角加速度。 第 2 页，共 2 页