中国科学技术大学：《数学分析》课程教学资源（课件讲稿）第三章 单变量函数的微分学 3.5 函数的单调性和凸性

3.5函数的单调性和凸性 第二章 单变量函数的微分学 逐数的单调性 定理：设f(x)在区间I上连续，在I的内部可微， 若对Vx∈I: (1).f'(x)≥0(f'(x)>0),则f(x)在I上（严格）单调递增， (2).f'(x)≤0(f'(x)0之严格单调递增 2

2 3.5 函数的单调性和凸性 第二章 单变量函数的微分学 定理: 设 在区间 上连续，在 的内部可微，若对 函数的单调性 则 在 上(严格)单调递增. 则 在 上(严格)单调递减. O y x B D A C 注: 单调递增; 严格单调递增

3.5函数的单调性和凸性 第二章 单变量函数的微分学 极值点 定理：设函数f(x)在xo的一个去心邻域内可导，且在x,连续 ① 如果f(x)在x,左边的某个区间(x,-6,xo)内有f'(x)>0, 而在右边的某个区间(x,x+δ)内有f'(x)0,则x, 为一个极小值点 ③如果f(x)在x,左、右的某个区间内，f'(x)的符号相同，则 Xo不是极值点. 3

3 3.5 函数的单调性和凸性 第二章 单变量函数的微分学 定理: 设函数 在 的一个去心邻域内可导，且在 连续. ③ 如果 在 左、右的某个区间内， 的符号相同, 则 ① 如果 在 左边的某个区间 内有 而在 右边的某个区间 内有 则 为一个极大值点. ② 如果 在 左边的某个区间 内有 而在 右边的某个区间 内有 则 为一个极小值点. 不是极值点. 极值点

3.5函数的单调性和凸性 第二章 单变量函数的微分学 f(x)>0 f'(x)父0 Xo X 0 Xo X (a)左正右负为极大 (b)左负右正为极小 f'(x)0 f0 → Xo X 0 Xo X 左右同号非极值 4

4 3.5 函数的单调性和凸性 第二章 单变量函数的微分学 (a) 左正右负为极大 o y x x 0 o y x x 0 (b) 左负右正为极小 o y x x 0 o y x x 0 左右同号非极值

3.5函数的单调性和凸性 第二章！ 单变量函数的微分学 定理：设函数f(x)在x二阶可导，x是f(x)的一个驻点(f'(x)=0) ①如果f"(x,)0,则x是函数的极小值点. 例.求函数f(x)=x3-3x2-9x+5在区间[-4,4]上的最大值 与最小值. 如何求单变量 函数的最值？ 如何证明 例.证明：当0<x≤ 2 函数不等式留 时，有二x≤sinx.o0 2 π 5

5 3.5 函数的单调性和凸性 第二章 单变量函数的微分学 定理: 设函数 在 二阶可导， 是 的一个驻点 ② 如果 则 是函数的极小值点. ① 如果 则 是函数的极大值点； 例. 求函数 在区间 上的最大值 与最小值. 如何求单变量 函数的最值? 例. 证明: 当 时，有 如何证明 函数不等式?

3.5函数的单调性和凸性 第二章 单变量函数的微分学 2 x 例：求证：e*>1+x+ ,x>0. 2! 例：设函数f(x)在[a,+oo)上可导，f(a=0,且当x≥a时有 |f'(x)≤f(x)川.求证：f(x)≡0. 例(Young不等式)：设0，B是正数，且0x+B=1.对任意正数 x,y有x“y≤x+By. 6

6 3.5 函数的单调性和凸性 第二章 单变量函数的微分学 例: 求证: 有 例: 设函数 在 上可导， 且当 时有 求证: 例(Young不等式): 设 是正数，且 对任意正数

3.5函数的单调性和凸性 第二章 单变量函数的微分学 诬数的凸性与拐点 定义：若曲线y=f(x)满足：连接曲线上任意两点的弦总位于这 两点间弧段的上方，则称曲线是（向下）凸的，也称f为其定义域 上的凸函数. B A X1 X2 X 10

10 3.5 函数的单调性和凸性 第二章 单变量函数的微分学 函数的凸性与拐点 定义: 若曲线 满足: 连接曲线上任意两点的弦总位于这 两点间弧段的上方，则称曲线是(向下)凸的，也称 为其定义域 上的凸函数. O x y A B x1 x2

3.5函数的单调性和凸性 第二章 单变量函数的微分学 X2 定义：设f(x)在区间I上有定义，且对任意[x,x,]CI有 ))+)f(). X2-X 则称f(x)是I上的凸函数；若<严格成立，则称f(x)是严格凸的 11

11 3.5 函数的单调性和凸性 第二章 单变量函数的微分学 O x y A B x1 x x2 定义: 设 在区间 上有定义，且对任意 有 则称 是 上的凸函数；若 严格成立，则称 是严格凸的

3.5函数的单调性和凸性 第二章 单变量函数的微分学 定义：设f(x)在区间I上有定义，且对任意[x,x2]CI有 ≤f)+西)-f(x-x,xsx≤ X2-X1 则称f(x)是I上的凸函数，或f(x)在I上凸. 令x=ax1+(1-)x,（a∈(0,1)，可得： 定理：f(x)在区间I上凸台[x,x2]cL,∈(0,1) f(ax+(1-a)x2)≤af(x)+(1-)f(x2). 定理：f(x)在区间I上连续.则f(x)凸台[x,x2]CI, f(x)+f(x2) 2 2 12

12 3.5 函数的单调性和凸性 第二章 单变量函数的微分学 令 可得： 定理: 在区间 上凸 定理: 在区间 上连续. 则 凸 定义: 设 在区间 上有定义，且对任意 有 则称 是 上的凸函数，或 在 上凸

3.5函数的单调性和凸性 第二章 单变量函数的微分学 定理：f(x)在区间I上凸台[x,x2]CL,a∈(0,1)， f(ax+(I-a)x2)≤xf(x)+(1-)f(x2). 定理：f(x)在区间I上凸台[x,x2]CI,x∈[x,x2]有： (x)-()(2)-()(x2)-f(x) 弦的斜率单调增 x-x x2-X x,-x 1 推论：f(x)在区间I上凸，则f(x)在 I的每个内点处都有左右导数（且左导数≤ 右导数)，从而在I内部连续. X2 13

13 3.5 函数的单调性和凸性 第二章 单变量函数的微分学 定理: 在区间 上凸 O x y A B x1 x x2 推论: 在区间 上凸，则 在 的每个内点处都有左右导数(且左导数 右导数)，从而在 内部连续. 有: 弦的斜率单调增 定理: 在区间 上凸

3.5函数的单调性和凸性 第二章！ 单变量函数的微分学 定理：若f(x)在I上凸且非严格凸，则归IcL,s.t.f(x)在I上 为线性函数. 即：凸函数的图像可以看成是严格凸的部分并上线段的部分. 定理：若f(x)在I连续.则 (1)若f(x)在I内部可导，则f(x)在I上（严格）凸→f'(x) 在I上（严格）单调递增： (2)若f(x)在I内二阶可导，则f(x)在I上凸→f"(x)≥0 在I上成立；f(x)在I严格凸台f"(x)≥0(x∈且 "(x)在I的任意子区间上不恒为0. 14

14 3.5 函数的单调性和凸性 第二章 单变量函数的微分学 定理: 若 在 上凸且非严格凸，则 在 上 为线性函数. 定理: 若 在 连续. 则 (1) 若 在 内部可导，则 在 上(严格)凸 在 上(严格)单调递增. (2) 若 在 内二阶可导，则 在 上凸 在 上成立; 在 严格凸 且 在 的任意子区间上不恒为0. 即: 凸函数的图像可以看成是严格凸的部分并上线段的部分