中国科学技术大学：《数学分析》课程教学资源（课件讲稿）第三章 单变量函数的微分学 3.3 微分中值定理

3.3微分中值定理 第二章 单变量函数的微分学 极值与极值点 定义：设函数f(x)在x的邻域B(x,6)=(x-6,x。+6)上有定义， 若f(x)≥f(x)(x∈B(x,δ)，则称f(x)为f(x)的 极大值；x是f(x)的极大值点 类似可定义极小值与极小值点， 极大值 极大值点 极值 极值点 极小值 极小值点 注：(1)极大值、极小值可以有很多个： (2)极大值未必大于极小值； (3)极值点必须在区间内部；与函数连续性、可导性无关， 2

2 3.3 微分中值定理 第二章 单变量函数的微分学 定义：设函数 在 的邻域 上有定义， 若 0 x 0    0 0 B x( ,   ) ( , ) x x 则称 为 的 极大值； 是 的极大值点. 0 x 类似可定义极小值与极小值点. 极值 极大值 极小值 极值与极值点 注：(1) 极大值、极小值可以有很多个； (2) 极大值未必大于极小值 ; (3) 极值点必须在区间内部；与函数连续性、可导性无关. 极值点 极大值点 极小值点

3.3微分中值定理 第二章】 单变量函数的微分学 定理(Fermat):若(I)x,为f(x)的极值点(2)f(x)在x,可导， 则'(x)=0. f'(x)=0 定义：称导数为0 的点为驻点. 驻点是可能的极值点. 证明：不妨设x,为极大值点. f(xo)=f (xo)=lim f(x+△)-f(x≤0 △x→0 △x f"(xo)=f(x)=lim f(+△)-f(x ≥0 x-20 △x →f'(xo)=0. 3

3 3.3 微分中值定理 第二章 单变量函数的微分学 0 f x ( ) 0.  定理(Fermat)：若 ( )1 x0 为 的极值点 在 x0 可导， 则 x y O 0 x 0 f x ( )=0 ' 0 0 0 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) lim 0 x f x x f x f x f x x             ' 0 0 0 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) lim 0 x f x x f x f x f x x             证明：不妨设 x0 为极大值点. 0   f x ( ) 0. 定义: 称导数为0 的点为驻点. 驻点是可能的极值点

3.3微分中值定理 第二章 单变量函数的微分学 定理(Rolle):如果函数y=f(x)满足 (1)在闭区间[a,b]上连续； (2)在开区间(a,b)内可导； (3)在区间端点处的函数值相等，即f(a)=f(b). 则35∈(a,b),s.tf'(5)=0. 证明：考虑最大、最小值点，如在 y=f(x) (a,b)上则为极大、极小值点. 0 几何上看，如果f(x)在一点x,取到极大（极小小）值，而且在此点的切线存在，那么切线是 水平的. 4

4 3.3 微分中值定理 第二章 单变量函数的微分学 定理(Rolle) : 如果函数 y f x  ( ) 满足 (1) 在闭区间 [ , ] a b 上连续； (2) 在开区间 ( , ) a b 内可导； 则 (3) 在区间端点处的函数值相等，即 f a f b ( ) ( ).      ( , ), s.t. 0. a b f   O x y C a ξ b 1 ξ2 y f x  ( ) 几何上看, 如果 在一点 取到极大 (极小) 值, 而且在此点的切线存在, 那么切线是 水平的. 证明：考虑最大、最小值点，如在 ( , ) a b 上则为极大、极小值点

3.3微分中值定理 第二章 单变量函数的微分学 定理(Rolle):如果函数y=f(x)满足 (1)在闭区间[a,b]上连续； 3个条件缺一不可. (2)在开区间(a,b)内可导；。。o (3)在区间端点处的函数值相等，即f()=f(b). 则35∈(a,b),s.tf'(5)=0. 三个条件之一不满足时结论不成立的反例： f(x)=x f(x) f(x)=x (1) (2) (3) 5

5 3.3 微分中值定理 第二章 单变量函数的微分学 O 1 1 y f x x ( )  y 1 O 1 f x x ( )  O 1 1 y f x( ) （1） （2） （3） 3个条件缺一不可. 定理(Rolle) : 如果函数 y f x  ( ) 满足 (1) 在闭区间 [ , ] a b 上连续； (2) 在开区间 ( , ) a b 内可导； 则 (3) 在区间端点处的函数值相等，即 f a f b ( ) ( ).      ( , ), s.t. 0. a b f   三个条件之一不满足时结论不成立的反例:

3.3微分中值定理 第二章 单变量函数的微分学 1:证明x3-3x+c=0在(0,1)中不可能有两相异实根. 2:f(x)=x(x-1)…(x-100),则f'(x)=0有 个实根 3:若实系数多项式f(x)的根全为实根，则f'(x)的根也全是实的. 6

6 3.3 微分中值定理 第二章 单变量函数的微分学 3: 若实系数多项式 f x( ) 的根全为实根，则 f x ( ) 的根也全是实的. 2: f x x x ( ) ( 1)   ( 100), x  则 f x ( ) 0  有______个实根. 1: 证明 在 中不可能有两相异实根. 3 x  3 0 x   c (0,1)

3.3微分中值定理 第二章 单变量函数的微分学 定理(Lagrange中值定理) 如果函数y=f(x)满足 (1)在闭区间[a,b1上连续；(2)在开区间(a,b)内可导； 则35∈(a,b),stf'(5)=fb）f(@ b-a b x 几何直观：曲线光滑，则至少存在一点，使得该处的切线与两端点的弦平行 物理直观：物体运动过程中某个时孩刻的瞬时速度等于整个过程的平均速度：

7 3.3 微分中值定理 第二章 单变量函数的微分学 如果函数 y f x  ( ) 满足 （1）在闭区间 [ , ] a b 上连续；(２) 在开区间 ( , ) a b 内可导；        .     f b f a f b a 定理(Lagrange中值定理) 则  ( , ), s.t. a b 几何直观：曲线光滑，则至少存在一点，使得该处的切线与两端点的弦平行. 物理直观：物体运动过程中某个时刻的瞬时速度等于整个过程的平均速度

3.3微分中值定理 第二章 单变量函数的微分学 定理(Lagrange中值定理)如果函数y=f(x)满足 (1)在闭区间[a,b]上连续；（2)在开区间(a,b)内可导； 则5∈(a,b),stf(5)=fb)(@ b-a a b x 证明：令F()=fy) 1-a小a.则na0=-0 由Rolle定理即得 8

8 3.3 微分中值定理 第二章 单变量函数的微分学 如果函数 y f x  ( ) 满足 （1）在闭区间 [ , ] a b 上连续；(２) 在开区间 ( , ) a b 内可导；        .     f b f a f b a 定理(Lagrange中值定理) 则  ( , ), s.t. a b 证明: 令            , f b f a F x f x x a f a b a       则 F a F b ( ) ( ) 0.   由Rolle定理即得

3.3微分中值定理 第二章 单变量函数的微分学 推论1：若f(x)在区间I内满足f'(x)≡0，则f(x)恒为常数. 推论2：若f(x)与g(x)在区间I上满足f'(x)=g'(x),则存在常数 C使得f(x)=8(x)+C. 兀 例：证明恒等式arcsinx+arccosx= (1≤xs) 刚：证明当0<u<B时， 6<arctan B-arctangs 1+a2 的整数部分. 9

9 3.3 微分中值定理 第二章 单变量函数的微分学 推论1: 若 在区间 I 内满足 则 恒为常数. 2 2 arctan arctan . 1 1              例: 证明恒等式 π arcsin arccos ( 1 1) 2 x x x      f x( ) f x ( ) 0,  f x( ) 推论2: 若 f x( ) 与 g x( ) 在区间 I 上满足 f x g x   ( ) ( ),  则存在常数 c 使得 f x g x c ( ) ( ) .   例: 证明当 0     时， 例: 求 的整数部分. 1 1 00 1  k k 

3.3微分中值定理 第二章！ 单变量函数的微分学 刚：证明当x>0时，x0,5≠n∈(0,1)，st. b T"M -=a+b. 10

10 3.3 微分中值定理 第二章 单变量函数的微分学 例: 证明当 时, ln(1 ) . 1 x x x x     例: 设 证明 x  0 0 ,   a b ln . b a b b a b a a     例: f x( ) 在 [0,1] 上连续，在 (0,1) 内可导， f f (0) 0, (1) 1.   , 0, (0,1), s.t. . ( ) ( ) a b a b a b f f               则

3.3微分中值定理 第二章 单变量函数的微分学 (Cauchyr中值)定理：若函数f(x),g(x)满足 (1)在闭区间[a,b]上连续；(2)在(a,b)内可导，且g'(x)≠0 f(b)-f(a)f'(5) 则35∈(a,b),s.t. gb)-8(a) 8'(5) 证明：构造辅助函数F(x)=f(x)-f(a)- st) C(g(E),f(5) B(g(b),f(b)) 参数曲线 ly-f)tela x=g(t) A(g(a),f(a)) 11

11 3.3 微分中值定理 第二章 单变量函数的微分学 ( ) ( ) ( ) . g( ) ( ) ( ) f b f a f b g a g        (Cauchy中值) 定理: 若函数 满足 (1) 在闭区间 [ , ] a b 上连续； (2) 在 内可导，且 f x g x ( ), ( ) ( , ) a b g x ( )  0. 则  ( , ), s.t. a b ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) f b f a F x f x f a g x g a g b g a       证明: 构造辅助函数 ( ) , [ , ] ( ) x g t t a b y f t       参数曲线