中国科学技术大学：《数学分析》课程教学资源（课件讲稿）第三章 单变量函数的微分学 3.6 Taylor展开

3.6 Taylor展开 第三章」 单变量函数的微分学 Taylor.展开：用多项式函数逼近复杂函数. 设f(x)在x处可微.x→x,时， f(x)=f (xo)+f(xo)(x-xo)+o(x-xo) =T(x)Ho(x-x)小人 余项 进而，若f(x)在I上二阶可导，则余项有另一种表示 令90不w1.9!r则g的有三个g点 xo,xo,x.两次运用Rolle定理知35，s.tg"(5)=0=f"(5)- 2R(x) (x-x)2 →R)=")D(-x.今f)=T+"9(x- 2

2 3.6 Taylor展开 第三章 单变量函数的微分学 Taylor展开:用多项式函数逼近复杂函数. 设 在 处可微. 时， 进而，若 在 上二阶可导，则余项有另一种表示. 令 余项 则 有三个零点 两次运用Rolle定理知

3.6 Taylor展开 第三章】 单变量函数的微分学 问题：如何构造n次多项式T,(x)近似f(x),使局部误差 R,(x)=f(x)-T,(x)是(x-x)”的高阶无穷小？误差的表示？ 设Tn(x)=a+a4(x-xo)+…+a(x-x)”, 由lim f(x)-T(x) =0得 x→X0 (x-x)” T,(xo)=f(xo)=ao=T (o)=f(xo), T(xo)=f(xo)=a=T"(xo)=f(xo), T(x)=fx→a,=m6x)=f(x 3

3 3.6 Taylor展开 第三章 单变量函数的微分学 问题：如何构造n次多项式 近似 使局部误差 是 的高阶无穷小？ 0 0 ( ) ( ) T x f x n  0 0 ( ) ( ) T x f x n    ( ) ( ) 0 0 ( ) ( ) n n T x f x n  0 0 0 ( ) ( ), n    a T x f x 1 0 0 ( ) ( ) , n    a T x f x   ( ) ( ) 0 0 1 1 ( ) ( ). ! ! n n n n a T x f x n n    误差的表示？ 设 由 得

3.6 Taylor展开 第三章 单变量函数的微分学 定理：f(x)在x,的邻域内n阶可导，则n次多项式 0=+r00s04x- 满足R,(x)=f(x)-T,(x)=o(x-)”). 或者说， f=飞)+(，)(x-x)++(x-x,+o-x） n 定义：称n次多项式 2f)*天-x）-》 为f(x)在x,处的n阶Taylora多项式. 特别地，若x,=0,则称之为n阶Maclaurin公式. 5

5 3.6 Taylor展开 第三章 单变量函数的微分学 定理: 在 的邻域内n阶可导，则n次多项式 满足 或者说， 定义: 称n次多项式 特别地, 若 则称之为n阶Maclaurin公式. 为 在 处的n阶Taylor多项式

3.6 Taylor展开 第三章 单变量函数的微分学 余项的表示与估计 带Peano余项的Taylor公式只反映了函数在x→xo时的性态.用 函数的n阶Taylor多项式近似函数的全局误差，有Lagrange余项 表示 定理：f(x)在I内n+1阶导数，x,x,∈I.T,（x)是f(x)在xo处的 n次Taylora多项式.则35（在x与x之间），s.t.f(x)=Tn(x)+R,(x), 其中RW=(x-x.或者说 (n+1)川 0=f(,）+f(0x-x)+…+（(x-5+a n! (n+1)月 (x-x)2 称之为函数f(x)在点x,处带Lagrange:余项的n阶Taylor公式 6

6 3.6 Taylor展开 第三章 单变量函数的微分学 余项的表示与估计 带Peano余项的Taylor公式只反映了函数在 时的性态. 用 函数的n阶Taylor多项式近似函数的全局误差，有Lagrange余项 定理: 在 内n+1阶导数， 是 在 处的 n 次Taylor多项式. 则 (在 与 之间)，s.t. 其中 或者说， 称之为函数 在点 处带Lagrange余项的 n 阶Taylor公式. 表示

3.6 Taylor展开 第三章 单变量函数的微分学 700g:+2x- 注：1.由于5介于x0,x之间，可记5=x+0(x-x),0<0<1. 例如，带Lagrangez余项的n阶Maclaurin:公式常写为 f0=2f0+m(8r0<0<n k=0 k! (n+1)！ 2.n=0时即为中值定理 3.如果fm+(x)在(a,b)内有界，即存在正数M,使得 f(x)≤M(x∈(a,b),则 风时-r-a”→0n→ M n+l

7 3.6 Taylor展开 第三章 单变量函数的微分学 注：1. 由于 介于 之间，可记 例如，带Lagrange余项的n 阶Maclaurin公式常写为 2. n=0 时即为中值定理. 3. 如果 在 内有界，即存在正数 使得 则

3.6 Taylor展开 第三章」 单变量函数的微分学 常见初等函数的Taylor公式 .e=1+x++ … x” 0<0<1,-0<x<+0. 2！ n!(n+1)！ x 1-1 ++(-1)” + cos Ox 2.sinx=x- ,2m+1 31 (2m-1)1 (2m+1)！ 21m 3.c0sx=1- cos Ox 2m+2 (2m+2)！ 8

8 3.6 Taylor展开 第三章 单变量函数的微分学 常见初等函数的Taylor公式

3.6 Taylor展开 第三章 单变量函数的微分学 4.ln(1+x)=x- +++1+(- x+1 234 n (n+l)(1+0x) 0-1. 5.1+x-1+r+a(C-x2++ (a-1)…(a-n+1) 21 n! a(a-1)…(a-n） x+1 0-1. (n+1)！ (1+0x n+l-a 翔地++…+（少+上 1+x 9

9 3.6 Taylor展开 第三章 单变量函数的微分学 特别地

3.6 Taylor展开 第三章】 单变量函数的微分学 相应地，带Peano余项的Maclaurin公式为 e"=1+x+ +++ox, 2！ n! sinx=x- 3! (2m-10g cosx=1- ln(1+x)=x- 2 3 ++(-y5+o n 1+对r-1+x+agr+…+ala--a-m+x+olr） 2! n! 10

10 3.6 Taylor展开 第三章 单变量函数的微分学 相应地, 带Peano余项的Maclaurin公式为

3.6 Taylor展开 第三章！ 单变量函数的微分学 当函数高阶导数不易计算时，可采用其他“间接方法”；反之， 一旦f(x)在某点的Taylor展开得到，也得到了f(x)在此点的各 阶导数值. 1.求f(x)=ex的4n阶Maclaurin公式 2.求f(x)=cosx的Maclaurin展开. e 3.求f(x)= 一带Peano余项的3阶Maclaurin公式 1-x 4.求arcsin x的3阶Maclaurin公式 11

11 3.6 Taylor展开 第三章 单变量函数的微分学 当函数高阶导数不易计算时，可采用其他“间接方法”; 反之， 2. 求 的Maclaurin展开. 3. 求 带Peano余项的3阶Maclaurin公式. 4. 求 的3阶Maclaurin公式. 一旦 在某点的Taylor展开得到，也得到了 在此点的各 1. 求 的4n阶Maclaurin公式. 阶导数值

3.6 Taylor)展开 第三章】 单变量函数的微分学 Taylor公式的应用 1.计算函数的近似值 (n+1)！ 误践风a以--ran0-ar当ma 例.用x-一近似计算sinx,误差R,(x)= sin(( 5！ 只需 6 5！ x<0.2605,就能保证计算的绝对误差不超过105.而且， 只要取的项足够多，就能保证其近似值达到任意要求的精度 12

12 3.6 Taylor展开 第三章 单变量函数的微分学 Taylor公式的应用 1. 计算函数的近似值 误差 ，当 例. 用 近似计算 误差 只需 就能保证计算的绝对误差不超过 而且， 只要取的项足够多，就能保证其近似值达到任意要求的精度