南开大学：《高等数学》课程教学资源（学习笔记，手稿）

目录 第一讲极限 一 极限定义， 3 极限性质！ 4 三 函数极限基本计算 8 四 综合计算 .11 五 数列极限计算 14 六 函数连续与间断！ .16 第二讲 一元函数微积分 一概念 .17 1.导数… 18 2.微分 20 3.不定积分 21 4.定积分… 23 5.变限积分 .28 6.反常积分 .29 二计算 .29 1.求导… 29 2.求积 33 三应用. .40 1.微分应用 .40 2.积分应用. .43 四逻辑推理 43 1.中值定理 .…49 2.等式证明… 50 3.不等式证明 .51 第三讲 多元函数的微分学（公共部分） 一概念 51 1.极限的存在性. 51 2.极限的连续性。 52 3.偏导数的存在性 52 4.可微性. 53 5.偏导数的连续性， .54 计算 54 三 应用 56 第四讲二重积分（公共部分）

目 录 第一讲 极限 一 极限定义…………………………………………………………………………….……………………………3 二 极限性质………………………………………………………………………………….………………………4 三 函数极限基本计算……………………………………………………………………..……………………8 四 综合计算…………………………………………………………………………………….…………………11 五 数列极限计算…………………………………………………………………………………………………14 六 函数连续与间断……………………………………………………………………….……………………16 第二讲 一元函数微积分 一 概念……………………………………………………..…………………………………………………………17 1. 导数………………………………………………………………………….…………………………………………18 2. 微分……………………………………………………………………………….……………………………………20 3. 不定积分………………………………………………………………..……………………………………………21 4. 定积分…………………………………………………………………………………………………………………23 5. 变限积分………………………………………………………………..……………………………………………28 6. 反常积分………………………………………………………………..……………………………………………29 二 计算………………………………………………………………….……………………………………………29 1. 求导………………………………………………………………….…………………………………………………29 2. 求积……………………………………………………………….……………………………………………………33 三 应用…………………………………………………………..……………………………………………………40 1. 微分应用………………………………………………………………………………………………………………40 2. 积分应用………………………………………………………………………………………………………………43 四 逻辑推理………………………………………………………………..………………………………………43 1. 中值定理……………………………………………………………..………………………………………………49 2. 等式证明…………………………………………………………..…………………………………………………50 3. 不等式证明……………………………………………………..……………………………………………………51 第三讲 多元函数的微分学（公共部分） 一 概念……………………………………………………………………………………..…………………………51 1. 极限的存在性…………………………………………………………………….…………………………………51 2. 极限的连续性………………………………………………………………….……………………………………52 3. 偏导数的存在性…………………………………………………………….………………………………………52 4. 可微性…………………………………………………………………………….….….……………………………53 5. 偏导数的连续性……………………………………………………………………………………………………54 二 计算……………………………………………………………………………..…………………………………54 三 应用…………………………………………………………………………..……………………………………56 第四讲 二重积分（公共部分）

概念与性质. .59 二计算 .60 1.基础题. .60 2.技术题 61 三综合计算！ 62 第五讲 徽分方程 一 概念及其应用. 63 二 一阶方程的求解， 64 三 高阶方程的求解. .66 第六讲无穷级数 数项级数的判敛.… 67 二 幂级数求收敛域」 69 三 展开与求和… 69 四 傅里叶级数. 71 第七讲 多元函数微分学 基础知识。 73 应用… .75 第八讲 多元函数积分学 三重积分 .76 二 第一型曲线、曲面积分 .78 1.一线… 78 2.一面… 79 三第二型曲线、曲面积分 80 1.二线 81 2.二面… 83

一 概念与性质……………………………………………………….……………………………………………59 二 计算……………………………………………………………..…………………………………………………60 1. 基础题……………………………………………………………………………….…………………………………60 2. 技术题………………………………………………………………………………….………………………………61 三 综合计算…………………………………………………………………..……………………………………62 第五讲 微分方程 一 概念及其应用…………………………………………………………………………………………………63 二 一阶方程的求解…………………………………………………………….………………………………64 三 高阶方程的求解……………………………………………………………….……………………………66 第六讲 无穷级数 一 数项级数的判敛…………………………………………………….………………………………………67 二 幂级数求收敛域…………………………………………………….………………………………………69 三 展开与求和……………………………………………………………….……………………………………69 四 傅里叶级数…………………………………………………………….………………………………………71 第七讲 多元函数微分学 一 基础知识……………………………………………………………….………………….……………………73 二 应用…………………………………………………………………………….…………….……………………75 第八讲 多元函数积分学 一 三重积分…………………………………………………………………..……………………………………76 二 第一型曲线、曲面积分……………………………………………………………………………………78 1. 一线…………………………………………………………………………………………….………………………78 2. 一面…………………………………………………………………………………………….………………………79 三 第二型曲线、曲面积分……………………………………………………………………………………80 1. 二线…………………………………………………………………………………………………….………………81 2. 二面………………………………………………………………………………………………….…………………83

第讲极限 Date. Page. 大纲：一，极限兔义，（气-6 I2-N 二、 极限性质 三. 函数极限基本什等 四.综合计算 五、 数列极限计军 方. 曲款连续与间断 一放限定义 1.函数：H>0,子6>0，当00，日N>0,当n>N时)恤有， lxn-A 。 名→ 4 X-)0 IX1>X >0 60 X>一0 包 X)中的°即几)的的博况 但表升高椒点， NNH N+2 N3 几>W

例：以下三神流法： X)"H兄>0，自6>0，当0”6oXn=a” 正确个数为：A)0()1,(C2D)3 [舒]关凝有一： L￡>0中"”形试司住意 但必级海及"可以仕意小、 灰中lfa)-A1e品，1>0 不满及住意小、，不正确 2.'0<2X-Xl<S”→“0<2-xol≤S 可佩开区间内套闭包间，再内套升区涧孵特 (→ 一.极限角性侦 1,唯-性·老名6f)=A在在，则A喱-， )分e*=(+o →不存在， 0 )知背什之德和 3》号s arctanx·了 →不存在

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2)会使用 例：m)0号在下列哪阶润有升 lx Sin (X-2) A·(-1,0)B.(1)C.(112) D,(2,2) 分斯]有界（无枷荆制 D理泡型别到法：若x)在LAb]上连续 →m)瘠界，（在[A,b]内） 客®计啡型判别法：若f)在(Q,b)上连锲 且tfx),bw)存在→0有号，（在(a,b)内） ® 有界士存异二肉界 有界×存界二界 ④ 和界：若3和，使x。)0,则称无界， 鲜1务+加)产店在 多0f):科→在 之)在10)有界东 3.保号性：若名6m)之0，则在X之5时， 必有)之0 )会证明：1W-A10 A-0 即2<A,承2=含，则 的7A会=2≥0# 倒1足切在0处缘，且6，品2 (螺时)=0)）讨泡0)在x=D处的夜值性

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三、 西数极限的基本计畔 1、化简先约 )是。5rsmC5nx-0=万60 Sinx-x tanx tan'x 提出枚限丰0的因式 ）x二。gm以-二-) (1+X)8-1 X(X>0) (1+5)A-1X5(5→0) 5+」-6工=主多-名 包创造杀什，使印等竹无小桥换 动 ex 足A ex X90 器 知同 e 不舱人为选X之百”的先后顺香，赐 在同。极限市辰，cX之6”必效月即 [匠鲜)尻：。e克=e%0):e季 lix))=evl 2.基本计臂.7种 啼-组，号，器，0·0 境=级：0-0 第三组：∞°，0°)10 [) 比处”0”卡0 ””卡

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