西安电子科技大学：《概率论与数理统计》课程教学资源（PPT课件讲稿）第三章 多维随机变量及其分布

第三章多维随机变量及其分布 9§3.1二维随机变量 。§3.2边缘分布 §3.3条件分布 。§3.4相互独立的随机变量 §3.5两个随机变量的函数的分布 2/102

2/102 第三章 多维随机变量及其分布  §3.1 二维随机变量  §3.2 边缘分布  §3.3 条件分布  §3.4 相互独立的随机变量  §3.5 两个随机变量的函数的分布

§3.1二维随机变量 定义2.3：设E是一个随机试验，它的样本空间是 S={e},设X=X(e)和Y=Y(e)是定义在S上的随机 变量，由它们构成的一个向量X,Y),叫做二维随 机向量，或二维随机变量 X(e) 2 Y(e) 3/102

3/102 §3.1 二维随机变量  定义2.3： 设E是一个随机试验，它的样本空间是 S＝{e}，设X＝X(e)和Y=Y(e)是定义在S上的随机 变量，由它们构成的一个向量(X,Y)，叫做二维随 机向量，或二维随机变量 • e  •Y(e) • X(e)

§3.1二维随机变量 实例1炮弹的弹着点的位置(X,) 就是一个二维随机变量 实例2考查某一地区学前儿童的 发育情况，则儿童的身高H和 体重W就构成二维随机变量 (H,W) ⊙两个分量是有内在联系的，因 此要将X,Y作为整体来研究 。其性质与X、Y及X,Y之间的关系 均有关，逐个研究X,Y的性质是不 够的。 4/102

4/102 §3.1 二维随机变量 实例1 炮弹的弹着点的位置 (X,Y) 就是一个二维随机变量 实例2 考查某一地 区学前儿童的 发育情况 , 则儿童的身高 H 和 体重 W 就构成二维随机变量 (H,W)  两个分量是有内在联系的，因 此要将X,Y作为整体来研究 ⚫ 其性质与X、Y及X,Y之间的关系 均有关，逐个研究X,Y的性质是不 够的

§3.1二维随机变量 AN 二维随机变量分布函数的定义 定义设（仪，Y)是二维随机变量，对于任意实数x,y, 二元函数： Fxy)=P{X≤x)∩(Y≤y)},记做P{X≤，Y≤y} 称为二维随机变量(X,Y)的分布函数，或称为随机 变量X和Y的联合分布函数。 5/102

5/102 §3.1 二维随机变量 二维随机变量分布函数的定义  定义 设(X,Y)是二维随机变量，对于任意实数x，y， 二元函数： F(x,y)=P{(X≤x)∩(Y≤y)}，记做P{X≤x，Y≤y} 称为二维随机变量(X,Y)的分布函数，或称为随机 变量X和Y的联合分布函数

§3.1二维随机变量 ·二维随机变量分布函数的意义 将(X,Y)看成是平面上随机点的坐标，则分布函数F化，y) 在点（化，y)处的函数值是随机点X,Y)落在以(x,)为顶点的 左下方的无穷矩形区域内的概率 随机点落在矩形区域的概率： Pix1<XSx2,y1<YSV2=F(x2V2)-F(x2V)-F(X1)+F(x1V) ↑y (x,y) (1,y2) y2 c2,y2) X≤x,Yy V1 2,y1) c1,1) x X1 X2 6/102

6/102 §3.1 二维随机变量  二维随机变量分布函数的意义 ⚫ 将(X,Y)看成是平面上随机点的坐标，则分布函数F(x,y) 在点(x,y)处的函数值是随机点(X,Y)落在以(x,y)为顶点的 左下方的无穷矩形区域内的概率 ⚫ 随机点落在矩形区域的概率： ⚫ P{x1<X≤x2，y1<Y≤y2 }=F(x2 ,y2 )－F(x2 ,y1 )－F(x1 ,y2 )＋F(x1 ,y1 ) o x y (x, y) • X  x,Y  y y x o x1 x2 y1 y2 (X, Y ) (x2 , y2 ) (x2 , y1 ) (x1 , y2 ) (x1 , y1 )

§3.1二维随机变量 分布函数的性质： 对任意的y,当x2>x1时Fx2y)≥Fc1y) 1°Fc,y)是变量，y的不减函数 对任意的，当y2y1时FKy2)≥F(cy1) 2°0sFKy1且 9对任意固定的y,F(一0，y)=0 (边界无限向左，趋于不可能事件) 对任意固定的x,F化，一oo)=0 (边界无限向下，趋于不可能事件) +00 9F(-00,-0)=0, y (边界无限向左下，趋于不可能事件) 9F(0,0)=1, (边界无限向右上，趋于必然事件) 7/102

7/102 §3.1 二维随机变量 分布函数的性质： 1°F(x,y)是变量x，y的不减函数 2°0≤F(x,y)≤1且  对任意固定的y，F(－∞，y)＝0 ⚫ (边界无限向左，趋于不可能事件)  对任意固定的x，F(x, －∞)＝0 ⚫ (边界无限向下，趋于不可能事件)  F(－∞, －∞)＝0， ⚫ (边界无限向左下，趋于不可能事件)  F(∞, ∞)＝1， ⚫ (边界无限向右上，趋于必然事件) o x y → + → + y x 对任意的y，当x2>x1时F(x2 ,y)≥F(x1 ,y) 对任意的x，当y2>y1时F(x,y2 )≥F(x,y1 )

§3.1二维随机变量 3 F(xy)=F(x+0,y),F(xy)=F(x3y+0) ● Fxy)关于x右连续，关于y也右连续 4°对于任意点K1y1),(心2y2),x1x2,y'2, 下述不等式成立： ●Fx2y'2)-Fx2y1)-Fx1y'2)+FK1y1)≥0 。矩形区内的概率，及概率非负性 8/102

8/102 §3.1 二维随机变量  3°F(x,y)＝F(x+0,y)，F(x,y)＝F(x,y+0) ⚫ F(x,y)关于x右连续，关于y也右连续  4°对于任意点(x1 ,y1 )，(x2 ,y2 )，x1<x2，y1<y2， 下述不等式成立： ⚫ F(x2 ,y2 )－F(x2 ,y1 )－F(x1 ,y2 )＋F(x1 ,y1 )≥0 ⚫ 矩形区内的概率，及概率非负性

§3.1二维随机变量 o推广到n维： 定义：一般，设E是一个随机试验，它的样本空间是S= {e},设X1=X(e),X2=X2(e),…,Xm=Xn(e)是定义在S 上的随机变量，由它们构成的一个n维向量(X1,X2,…,Xm) 叫做n维随机向量，或n维随机变量 分布函数 定义设(X1,X2,,Xm)是n维随机变量，对于n个任意实数 K1,2,,Xn,n元函数： FK1,X2,,Xn=P{X1≤x1,X2≤x2,…,Xm≤xn} 称为n维随机变量(X1,X2,,X)的分布函数，或称为随机 变量X1,X2)…,Xm的联合分布函数。 。具有同二维类似的性质。 9/102

9/102 §3.1 二维随机变量  推广到n维： ⚫ 定义：一般，设E是一个随机试验，它的样本空间是S＝ {e}，设X1＝X1 (e)，X2＝X2 (e)，…，Xn ＝Xn (e)是定义在S 上的随机变量，由它们构成的一个n维向量(X1 ,X2 , …,Xn ) 叫做n维随机向量，或n维随机变量  分布函数 ⚫ 定义 设(X1 ,X2 , …,Xn )是n维随机变量，对于n个任意实数 x1，x2，…，xn，n元函数： ⚫ F(x1，x2，…，xn )=P{ X1x1 ,X2x2 , …,Xnxn } ⚫ 称为n维随机变量(X1 ,X2 , …,Xn )的分布函数，或称为随机 变量X1 ,X2 , …,Xn的联合分布函数。  具有同二维类似的性质

§3.1二维随机变量 。二维离散型的随机变量： 01 定义：若二维随机变量(X,Y)全部可能取到的不相同的值 是有限对或可列无限多对，则称(X,Y)是离散型随机变量 9二维离散型随机变量的分布律： 设二维离散型随机变量(X,Y)所有可能取的值为化y),i, j=1,2,…, ·记P{X=xY=y}=P,i,=1,2,,则由概率的定义有： PP0,∑∑p,1 i=1 i= 则称P{X=xY=y=P,i,广=1,2，…为二维离散型随机变 量(X,Y)的分布律，或随机变量X和Y的联合分布律 10/102

10/102 §3.1 二维随机变量  二维离散型的随机变量： ⚫ 定义：若二维随机变量(X,Y)全部可能取到的不相同的值 是有限对或可列无限多对，则称(X,Y)是离散型随机变量  二维离散型随机变量的分布律： ⚫ 设二维离散型随机变量(X,Y)所有可能取的值为(xi ,yj )，i， j＝1,2,…, ⚫ 记P{X=xi ,Y=yj }=pij，i，j＝1,2,…,则由概率的定义有： ⚫ pij≥0， ＝1 ⚫ 则称P{X=xi ,Y=yj }=pij，i，j＝1,2,…为二维离散型随机变 量(X,Y)的分布律，或随机变量X和Y的联合分布律。   =  i 1 j=1 pij

§3.1二维随机变量 9也可以用表格的形式给出： X X2 乃 P11 P21 Pa P12 P22 : .:: yj Pu 2 P 11/102

11/102 §3.1 二维随机变量  也可以用表格的形式给出： X Y 1 x 2 x … i x … 1 y 11 p p21 … i1 p … 2 y p12 p22 i2 p …     j y j p1 j p2 … ij p …    