《工程力学》课程讲义：第六章 截面图形的几何性质

第六章截面图形的几何性质 ■§6-1平面图形的静矩和形心 ■§6-2平面图形的惯性矩、惯性积和惯 性半径 ■§6-3惯性矩和惯性积的平行移轴公式 §6-4惯性矩和惯性积的转轴公式

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第六章截面图形的几何性质 杆件力(舳力、扭矩、剪力、弯矩)一取 决于外力的大小。 杆件应力、变形一取决于内力与杆件截面的几 何形状及尺寸等几何量。 截面图形的儿何性质一与材料的力学性质无关 的截面几何量:面积、形心、静矩、惯性矩、惯性 积、惯性半径、形心主轴和形心主惯性矩等

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§6-1平面图形的静矩和形心 6-1-1平面图形的静矩 如图所示为一具有任意形状的截面图形,设其面积为A, 选图示O坐标系。 定义 (6-1) 分别为图形对于z轴和y轴的静矩。 (1)静矩与坐标轴的设置有关; (2)静矩可正、可负、可为零; (3)静矩的单位为m或mm3

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6-1-2平面图形的形心(续) 面形的形心一平面图形几何形状的中心。若 将平面图形表示为匀质等厚薄片,则它的重心与截面图 形的形心重合。设该图形的形心坐标为(,y),则由重 心坐标公式有 Ayc=lydA=s 2) (6-2) Az= zdA=S 因此,已知截面的面积和其形心的坐标,可求得该截面 对于坐标轴的静矩

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6-1-2平面图形的形心(续) 形心 通过平面图形形心的坐标轴。 由式(62),有 (6-3) da 截面对其形心轴的静矩必为零;反之,若截面对某轴的 静矩等于零,则该轴必为截面的形心轴

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6-1-3组合图形的静矩和形心位置 组合图形—由几个简单图形(如矩形、圆形或三 角形等规则图形)组成的图形。 组合图形的静矩—整个图形对某一轴的静矩等于 各组成部分对该轴静矩的代数和。 若己知各个简单图形的面积为A,又已知各个简单图 形的形心坐标为(vc,=c), S:=∑Ay1S,=∑4=c(64) 将式(6-4)代入式(6-3),得组合图形形心位置计 算公式 ∑Aa;∑A ∑4 (-5)

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例6-1一矩形截面如图示,已知b,h,y,试求有阴影 线部分的面积对于对称轴的静矩

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解:阴影线部分面积 A=b(=-y) 其形心坐标 Vc=y1 t 由式(6-3),得 少=b(m-y(m+y)=(h2-4y2)

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§6-2平面图形的惯性矩、惯性积和惯性半径 6-2-1平面图形的惯性矩和极惯性矩 具有任意形状的截面图形的面积为A。十 选定Oy坐标系。 C4) 定义 (6-6a = zdA (6-6b) 分别为图形对于轴和y轴的性矩

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6-2-1平面图形的惯性矩和极惯性矩(续) 定义 p=rda=l(y+2da (-7) 为图形对点O的极惯性矩。 p=/:+1 (-8) (1)惯性矩及极惯性矩与坐标设置有关; (2)惯性矩及极惯性矩恒为正; (3)惯性矩及极惯性矩的单位为m或mm4

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