中国科学技术大学：《力学》第六章 刚体力学

力学 杨维纮 中国科学莪术大学 近代粉理系

杨维纮

第六则际力学 第六章刚体力学 国 科 质点是作为抽象模型而引入的,如问题不涉及转动, 学或物体的大小对于研究间题并不重要,可以将实际的物体 技因抽象为质点。 术 质点”,这就根本谈不上在空间中的取向,也根 本谈不上转动。问题如涉及转动,就不能不考虑到物体 大的大小与形状,不能再将物体抽象为质点,不能再采用 学國质点这一模型。当然,我们可以将物体细分成很多部分, Q每二部分都看成是一个质点,利用各部分之间的位置关 杨□系来描述物体的形状和转动,即我们可以利用“质点组” 维 这一模型。但是,一般的质点组力学问题并不能严格解 决,我们只能了解其运动的总趋向及某些特征

第六章 刚体力学 质点是作为抽象模型而引入的，如问题不涉及转动， 或物体的大小对于研究问题并不重要，可以将实际的物体 抽象为质点。 “质点”，这就根本谈不上在空间中的取向，也根 本谈不上转动。问题如涉及转动，就不能不考虑到物体 的大小与形状，不能再将物体抽象为质点，不能再采用 质点这一模型。当然，我们可以将物体细分成很多部分， 每一部分都看成是一个质点，利用各部分之间的位置关 系来描述物体的形状和转动，即我们可以利用“质点组” 这一模型。但是，一般的质点组力学问题并不能严格解 决，我们只能了解其运动的总趋向及某些特征。 中 国 科 学 技 术 大 学 杨 维 纮

第六则际力学 第六章刚体力学 国 科 究其原因,我们引入自由度这一概念。我们把确定 学 个力学体系在空间的几何位形所需的独立变数的个数 技 称为自由度。一个自由的质点显然有三个自由度,n个 术 自由的质点所组成的质点组显然有3n个自由度。每个 大 质点有一个矢量的运动方程,n个质点共有n个矢量的 学运动方程,亦即3n个分量的运动方程,方程的个数与 自由度数符合。在原则上讲,可以从运动方程组解出质 点组的运动情况。但是大数目的微分方程所组成的微分 杨方程组是很难解出的。质点组力学问题之所以一般不能 维□严格解出,就是因为微分方程个数大多,换句话说,质 纮团点组力学的困难正在于白由度数太大

第六章 刚体力学 究其原因，我们引入自由度这一概念。我们把确定 一个力学体系在空间的几何位形所需的独立变数的个数 称为自由度。一个自由的质点显然有三个自由度，n 个 自由的质点所组成的质点组显然有 3n 个自由度。每个 质点有一个矢量的运动方程，n 个质点共有 n 个矢量的 运动方程，亦即 3n 个分量的运动方程，方程的个数与 自由度数符合。在原则上讲，可以从运动方程组解出质 点组的运动情况。但是大数目的微分方程所组成的微分 方程组是很难解出的。质点组力学问题之所以一般不能 严格解出，就是因为微分方程个数大多，换句话说，质 点组力学的困难正在于自由度数太大。 中 国 科 学 技 术 大 学 杨 维 纮

第六则际力学 第六章刚体力学 国 科 学 如果需要研究物体的转动,就不能忽略它的形 技状和大小而把它简化为质点来处理但如果物体的 术 形状和转动不能忽略,而形变可以忽略。我们就得 到实际物体的另外一个抽象模型 刚体( (rigid body), 大 即形状和大小完全不变的物体。刚体的这一特点使 学 刚体力学大大不同于一般的质点组力学,刚体力学 问题虽不是每个都能解决,但有不少是能够解决的 杨 于是我们定义:刚体是这样一种质点组,组内任意 两质点间的距离保持不变。 维 纮

第六章 刚体力学 如果需要研究物体的转动，就不能忽略它的形 状和大小而把它简化为质点来处理。但如果物体的 形状和转动不能忽略，而形变可以忽略。我们就得 到实际物体的另外一个抽象模型——刚体(rigid body)， 即形状和大小完全不变的物体。刚体的这一特点使 刚体力学大大不同于一般的质点组力学，刚体力学 问题虽不是每个都能解决，但有不少是能够解决的。 于是我们定义：刚体是这样一种质点组，组内任意 两质点间的距离保持不变。 中 国 科 学 技 术 大 学 杨 维 纮

第六则际力学 第六章刚体力学 中国科学技术大学杨维 §6.1体运动学 §6.2施于刚体的力系的简化 §6.3刚体的定轴转动 §6.4刚体运动的基本方程与刚体的平衡 §6.5刚体的平行平面运动 §6.6刚体的定点运动

第六章 刚体力学 §6.1 刚体运动学 §6.2 施于刚体的力系的简化 §6.3 刚体的定轴转动 §6.4 刚体运动的基本方程与刚体的平衡 §6.5 刚体的平行平面运动 §6.6 刚体的定点运动 中 国 科 学 技 术 大 学 杨 维 纮

第六则际力学 86.1刚体运动学 中国科学技术大学杨维 6.1.1刚体的性质 6.1.2刚体的几种特殊运动 6.1.3刚体的一般运动

6.1.1 刚体的性质 6.1.2 刚体的几种特殊运动 6.1.3 刚体的一般运动 中 §6.1 刚体运动学 国科学技术大学杨维纮

第六则际力学 611刚体的性质 国1.自由刚体的自由度数是6,非自由刚体的自由度数<6 科 这6个变数当然也可理解为确定刚体上某一点(例如 学國质心)的位置,这需要3个变数;其次,应指出整个刚体 技相对于这一质点的取向,即指明通过该点的某一直线的 术方向(三个方向余弦,但三个方向余弦平方和等于一), 大这需要两个独立变数,并且需要指明刚体相对于这一直 学数。仍然得到同结论:自宙刚体只有六个自由度 简单他说,自由刚体有三个移动自由度(为指出刚 杨体中某一质点的位置需要三个独立变数),三个转动自 维由度(为指出刚体相对于该质点的取向又需要三个独立 然变数)但是,非自由刚体的自由度没有这么多,例如 绕固定轴线转动的刚体就只有一个自由度

6.1.1 刚体的性质 1. 自由刚体的自由度数是6，非自由刚体的自由度数 < 6 这6个变数当然也可理解为确定刚体上某一点（例如 质心）的位置，这需要3个变数；其次，应指出整个刚体 相对于这一质点的取向，即指明通过该点的某一直线的 方向（三个方向余弦，但三个方向余弦平方和等于一）， 这需要两个独立变数，并且需要指明刚体相对于这一直 线的方位（绕该直线所转过的角度），这要一个独立变 数。仍然得到同一结论：自由刚体只有六个自由度。 简单他说，自由刚体有三个移动自由度（为指出刚 体中某一质点的位置需要三个独立变数），三个转动自 由度（为指出刚体相对于该质点的取向又需要三个独立 变数）。但是，非自由刚体的自由度没有这么多，例如 绕固定轴线转动的刚体就只有一个自由度。 中 国 科 学 技 术 大 学 杨 维 纮

第六则际力学 中 611刚体的性质 国1.自由刚体的自由度数是6,非自由刚体的自由度数<6 科 学 刚体既然只有六个自由度。它的运动定律也 技 就可以归结为六个独立方程。我们前面学过的质 心运动定理确定刚体质心的运动,而动量矩定理 米》确定刚体在空间中的取向与方位随时间变化的情 大 学颜况这样,这两个定理(两个矢量方程式,即 个分量方程式)就完全确定了刚体的运动。作为 杨对照,我们知道,在质点组动力学中,质心运动 维定理与角动量定理只给出质点组运动的总趋向与 征,并 运 纮

6.1.1 刚体的性质 1. 自由刚体的自由度数是6，非自由刚体的自由度数 < 6 刚体既然只有六个自由度。它的运动定律也 就可以归结为六个独立方程。我们前面学过的质 心运动定理确定刚体质心的运动，而动量矩定理 确定刚体在空间中的取向与方位随时间变化的情 况；这样，这两个定理（两个矢量方程式，即六 个分量方程式）就完全确定了刚体的运动。作为 对照，我们知道，在质点组动力学中，质心运动 定理与角动量定理只给出质点组运动的总趋向与 特征，并不足以完全确定质点组的运动情况。 中 国 科 学 技 术 大 学 杨 维 纮

第六则际力学 611刚体的性质 2.刚体的质心 中国科学技术大学杨维 刚体是由连续分布的质点所组成的质点组,由第三 学章(32.5)式知,刚体的质心为 Imc= dm=pdv dm prd = 「om∫od 这里的积分应遍及刚体的全部体积。在实际计算时, 我们常用质心位矢的分量形式,为 xdm cdm EC元 am dm

6.1.1 刚体的性质 2. 刚体的质心 刚体是由连续分布的质点所组成的质点组，由第三 章(3.2.5)式知，刚体的质心为：        = = = =       dV dV dm dm m dm dV C C    r r r 这里的积分应遍及刚体的全部体积。在实际计算时， 我们常用质心位矢的分量形式，为：       = = = dm zdm z dm ydm y dm xdm xC C C , , 中 国 科 学 技 术 大 学 杨 维 纮

第六则际力学 611刚体的性质 国2.刚体的质心 科 学 对于特殊情况,如果刚体具有对称 技中心,质心就在对称中心。如果刚体无 术对称中心,但可划分为几个部分,而每 大一部分都有对称中心,各部分的质心就 学在其对称中心,这些质心形成为分立质 杨点的质点组,刚体的质心就归结为这一 维质点组的质心 纮

6.1.1 刚体的性质 2. 刚体的质心 对于特殊情况，如果刚体具有对称 中心，质心就在对称中心。如果刚体无 对称中心，但可划分为几个部分，而每 一部分都有对称中心，各部分的质心就 在其对称中心，这些质心形成为分立质 点的质点组，刚体的质心就归结为这一 质点组的质心。 中 国 科 学 技 术 大 学 杨 维 纮