《高等流体力学》第五章 轴对称运动（5.10-5.15）

5.10点源流场中的圆球 设在x=l处有一强度为Q的 点源,今在原点放置一半径为a 的圆球,求球外流场分布 在x=点放置点源Q B 在。≤x放置均匀连续分 布的线汇,线汇单位长度强度 为q AOPQ*三AO∠OPg=∠OgP 为保证无流体穿过球面(即v=0球面),球内区域的总源汇之和必 需为零, 0* q=Q

为保证无流体穿过球面 (即 球面)，球内区域的总源汇之和必 需为零， 5.10 点源流场中的圆球 2 a x l = l a x 2 0   设在 x = l 处有一强度为 Q 的 点源，今在原点放置一半径为 a 的圆球，求球外流场分布。 在 点放置点源 ， 在 放置均匀连续分 布的线汇，线汇单位长度强度 为 q。 *      =  OPQ OQP OPQ OQP * * 2 Q l a q = 2 * a l q = Q  = 0 Q  P Q Q  • • a      2 a l l o x

5.10点源流场中的圆球 流函数 球外任一点P的流函数 y(r,0)=-4兀 +cOs Q (1+cos a) 4丌 B 4丌(l Q 对于球面上的P点, v(a)=- 1+coS B 4 O*k 1+cos a 4丌 +a-1 4丌

流函数 球外任一点P 的流函数 ( ) ( ) 2 ( , ) 1 cos 4 * 1 cos 4 4 Q r Q q a r l         = − + − +   + + −     对于球面上的P点， ( ) ( ) 2 ( , ) 1 cos 4 * 1 cos 4 4 Q a Q q a a l         = − + − +   + + −     5.10 点源流场中的圆球 P Q Q  • • a      2 a l l o x

5.10点源流场中的圆球 及 考虑到几何关系 n=a coS(T-B)+- coS(T-a) B cosa-acos B Q 及 线汇流函数 +a- a+—cOSc+acOs 4丌(l 4丌a2(l O (1+cosa)+-(1+ cos B) 4

2 2 cos( ) cos( ) cos cos a a l a a l        = − + − = − − 2 * a l q = Q 考虑到几何关系 及 5.10 点源流场中的圆球 P Q Q  • • a      2 a l l o x 2 2 2 2 * cos cos 4 4 * (1 cos ) (1 cos ) 4 q a Q l a a a a a l a l l Q l a                 + − = + + +       = + + +     及 线汇流函数

v(a,6) (1+cos)-2-(1+cosa)+ +a-7 4丌 4丌 4丌(1 4丌 +c)2(+a2+(+++ (1+ cos B)l 4x4丌a

( ) ( ) ( ) ( ) 2 * ( , ) 1 cos 1 cos 4 4 4 * * 1 cos 1 cos (1 cos ) (1 cos ) 4 4 4 Q Q q a a a l Q Q Q l a                  = − + − + + + −       = − + − + + + + +           = + − + a Q Q l    4 * 4 (1 cos )

令球面上流函数为零 g+9*=0 v(a,0)=0→4x4a Q*=,Q 于是q=Q* 球外一点P的流函数表达式 oa r v(r,6)=-4汇 + coS β)4兀 (+cos a)+

* ( , ) 0 0 * 4 4 Q Q l a a Q Q a l     =  − + =  = a Q a l q = Q = 2 *       = − + − + + + − a a r l Q a l Q Q a r         4 (1 cos ) 4 (1 cos ) 4 ( , ) 令球面上流函数为零， 于是 球外一点P的流函数表达式

5.10点源流场中的圆球 势函数 p(r,) 2 0* q tan(a/2 4Is 4In 4I( tan(0/2 tan(a /2 4Is 4n 1 4Ta tan(0 /2))

势函数 * tan( / 2) ( , ) ln 4 4 4 tan( / 2) Q Q q r          = − − +     tan( / 2) ln 4 4 4 tan( / 2) Q Q a Q l a        = − − +     5.10 点源流场中的圆球

5.11兰金卵球体 均匀流和一对等强度的点源和点汇叠加可得到绕流兰金卵球体的解。 流函数V=12sm20-9(os9-s2 R=rsin e U Q L

均匀流和一对等强度的点源和点汇叠加可得到绕流兰金卵球体的解。 5.11 兰金卵球体 流函数 ( ) 1 2 2 2 cos cos 4 sin 2 1     =  − − Q Ur • l • 2 r l 1 r r Q  − Q 1  2  R r = sin U • • Q −Q h L U

5.11兰金卵球体 设v=0面上r=10,R=lsmO,则 0=20-4x (cos e, -cos02) Ro (cos e-cos 02) Resin e 2丌U U o D8 6=2=0及的1=日2=x时 R0=0 z3z时 22 Ro取最大值。 L

设  = 0 面上 r = r0 ， sin  ，则 0 0 R = r ( ) 1 2 2 0 cos cos 2 4 1 0    = − − Q UR ( ) 2 0 1 2 cos cos 2 Q R U    = − 1 = 2 = 0 1 = 2 =  R0 = 0 3 , 2 2    = R0 取最大值。 时 及 时 5.11 兰金卵球体 • • Q −Q h L U • l • 2 r l 1 r r Q  − Q 1  2  R r = sin U

5.11兰金卵球体 求对称卵球体的L和h 卵球体后驻点速度为零,后驻点速度可由均匀流 电源和点汇在该点的速度叠加得到。 R 0 U 4z(L+1)24(L-1)2 B L=0 ZU 求解上式即可得到L L

求对称卵球体的 L 和 h 卵球体后驻点速度为零，后驻点速度可由均匀流、 电源和点汇在该点的速度叠加得到。 0 4 ( ) 4 ( ) 2 2 = − − + + L l Q L l Q U   ( ) 0 2 2 2 − − L = U Ql L l  求解上式即可得到 L 5.11 兰金卵球体 • • Q −Q h L U • l • 2 r l 1 r r Q  − Q 1  2  R r = sin U

求对称卵球体的L和h 在卵球体表面 时 tanb、h tan 0 R e2 Ro=h h cos e-cos e 2TU COSt= 1+tg26 /4+h h 2zU(√h2+1 求解上式可得到h

( ) 2 1 2 cos cos 2 Q h U    = − 2 2 2 2 2 1 1 1 1 cos l h l l t g h + = + = + =           + + + = 2 2 2 2 2 2 h l l h l l U Q h  0 2 2 2 + − = U Ql h h l  求解上式可得到 h 。 在卵球体表面 2   = l h tan 1 = l h tan 2 = − R0 = h 时 • • Q −Q h L U 求对称卵球体的 L 和 h • l • 2 r l 1 r r Q  − Q 1  2  R r = sin U