《高等流体力学》第二章 流体力学基本方程

第二章流体力学基本方程 2.1质量守恒

第二章 流体力学基本方程 2. 1 质量守恒

2.1欧拉质量守恒 质量守恒定理 质量守恒定理在流动过程中流体团体积V的大小和形状可能会 发生变化,但质量保持不变 odv=o 由雷诺输运定理, p d onl k )ah=0 k 上述积分的积分区域V是任选的,要使积分恒等于零,只有被积函 数等于零, at ax De+q oxk D

2.1 欧拉质量守恒 质量守恒定理 上述积分的积分区域V是任选的，要使积分恒等于零，只有被积函 数等于零，  = V dv Dt D  0 ( )   =        +   V k k u dv t x  0  ( ) = 0   +   k k u t x   = 0   + k k x u Dt D   质量守恒定理 在流动过程中流体团体积V的大小和形状可能会 发生变化，但质量保持不变。 由雷诺输运定理

2.1欧拉质量守恒 定常流动和不可压缩流体的连续方程 对于定常流动, O,连续方程可简化为, Ot 0 nnl O at ax Oxk 对于不可压缩流体,D D=0,连续方程可简化为, DP *p oxk ouk = o k

2.1 欧拉质量守恒 定常流动和不可压缩流体的连续方程 对于定常流动， = 0 ，连续方程可简化为，   t  ( ) = 0   k k u x  = 0 Dt D = 0   k k x u 对于不可压缩流体， ，连续方程可简化为， = 0   + k k x u Dt D   ( ) = 0   +   k k u t x  

2.1欧拉质量守恒 密度分层流动 不可压缩流体 Dp=o Dt 上述定义并不要求这个流体质点与 另一个流体质点的密度相等,即不 p=p 要求密度场为均匀场。 密度分层流动 流体质点可沿p=n线或p=P2线流动,此时其密度保持为常数P 或P2,因此 0,但 Dt ≠O ax 密度分层流动可能发生在大气中(由空气温度变化引起),也可 能发生在大洋中(由于水的含盐量变化引起)

流体质点可沿 线或 线流动，此时其密度保持为常数 或 ， 因此 ，但 ， 。 2.1 欧拉质量守恒 密度分层流动 = 0 Dt D  = 1  = 2 1  2 = 0 Dt D  0   x   0   y   = 2  = 1 不可压缩流体 上述定义并不要求这个流体质点与 另一个流体质点的密度相等，即不 要求密度场为均匀场。 密度分层流动可能发生在大气中（由空气温度变化引起），也可 能发生在大洋中（由于水的含盐量变化引起）。 密度分层流动

2.1欧拉质量守恒 均质不可压缩流体密度处处相等的不可压缩流体 不可压缩流体 Dt 均质流体 Vp=O 密度不是x、y、z的函数 物质导数定义式DP+VP op=0 Dt at 密度也不是t的函数 均质不可压缩流体P=cOnS 在绝大多数情况下,不可压缩流体也是均质的

0 D u Dt t t       = +   =    = 0  = const 均质不可压缩流体 密度处处相等的不可压缩流体 不可压缩流体 均质流体 = 0 Dt D 密度不是 x、y、z的函数 密度也不是 t 的函数 在绝大多数情况下，不可压缩流体也是均质的。 物质导数定义式 均质不可压缩流体 2.1 欧拉质量守恒

2.1欧拉质量守恒 第二雷诺输运定理 D Da Dr/pady Dt 证明 dv a(pa) a Dt v at a pouk ap aa a(puk at at dk k ap d(pu,) C a dv +u dv 根据连续方程C+O(k) 0,又 aa da Do +uk 于是, ax Dt D Da a dv dv Dt Jv

2.1 欧拉质量守恒 第二雷诺输运定理   = V V dv Dt D dv Dt D    ( )           +   = V k V k u dv t x dv Dt D ( )             +   +   +   = V k k k k dv x u x u t t ( )                   +   +         +   = V V k k k k dv x u t dv x u t ( )       0 ( ) =   +   k k x u t   Dt Dα x α u t α k k =   +   dv Dt D dv Dt D V V    =  证明： 根据连续方程 ，又 于是

2.2动量守恒定理

2.2 动量守恒定理

2.2动量守恒定理 积分形式的动量方程 系统中流体动量的变化率等于作用在该系统上的质量力和表面力之和 系统的动量, ∫pady 作用在系统上的质量力 pf dv 作用在系统上的表面力 由动量定理得积分形式的动量方程 D pdh=元,2ds+|phv

2.2 动量守恒定理 积分形式的动量方程 系统的动量， 作用在系统上的质量力 作用在系统上的表面力 由动量定理得积分形式的动量方程   V u dv    V f dv  S pn ds     = + V S V u dv pn ds fdv Dt D      系统中流体动量的变化率等于作用在该系统上的质量力和表面力之和

2.2动量守恒定理 微分形式的动量方程 「,pwh=Jnb+」ph Du Dt dv=v c dv+p fav Dt dv=ncds+lp fd Du_ Pf dv=0 Di 0+P +p(a·V)=V。+pf

2.2 动量守恒定理 微分形式的动量方程 n V S V D udv p ds fdv Dt   = +      = V V dv Dt Du udv Dt D     pn = n σ      =  + V S V dv n ds fdv Dt Du     σ     =  + V V V dv dv fdv Dt Du    σ  = 0       −   − V f dv Dt Du    σ  f Dt Du    =  σ +  (u )u f t u      +   =   +    σ S V n ds dv  =    σ σ

2.2动量守恒定理 用张量表示法表示动量方程 用张量表示法表示动量方程, DL=·o+p Du: a Dt a pfi p+plu V)u=Vo+pf p 00+P 方程左边表示单位体积流体的动量变化率:第一项是当地加速度 项;第二项是对流加速度项,由速度分布的不均匀性引起,即使是 定常流动这一项也可能不等于零。对流加速度项是非线性的。 方程右边第一项是应力张量的散度,表示作用在单位体积流体上 的表面力;第二项表示作用在单位体积流体上的质量力

2.2 动量守恒定理 用张量表示法表示动量方程 方程左边表示单位体积流体的动量变化率：第一项是当地加速度 项；第二项是对流加速度项，由速度分布的不均匀性引起，即使是 定常流动这一项也可能不等于零。对流加速度项是非线性的。 方程右边第一项是应力张量的散度，表示作用在单位体积流体上 的表面力；第二项表示作用在单位体积流体上的质量力。 i j ij i f Dt x Du    +   = i j ij j i j i f x x u u t u     +   =   +   f Dt Du    =  σ +  (u )u f t u      +   =   +    σ 用张量表示法表示动量方程