《高等流体力学》第一章 流体力学基本概念（1.6-1.11）

1.6速度分解定理 速度梯度张量 M为流体中一流体质点,M为M点邻域内另一任意流体质点, 如果速度场已知,则同一瞬时上述M点对于M点的相对运动速度 可计算如下 Sx+-Sy+-Sz=Suitovi+Sw k 式中=- 写成分量形式 M C=-o+-y+-C M OX 6+-v+-Cz Sx+dy+d

为流体中一流体质点， 为 点邻域内另一任意流体质点， 如果速度场已知，则同一瞬时上述 点对于 点的相对运动速度 可计算如下： M  M  M u u u u x y z u i v j w k x y z           = + + = + +    u u u     =  −            +   +   =   +   +   =   +   +   = z z w y y w x x w w z z v y y v x x v v z z u y y u x x u u             1.6 速度分解定理 速度梯度张量 M M 式中 写成分量形式

Su=ax+dy+ 上式用矩阵表示为, dv==dx+=dy+-dc az au au au x+dy+O ax ay az ay ay av 或 Ox ay az by」 Owow ow La Ox ay az ar ay a或/ 是一个二阶张量,称为速度梯度张量 Sw o ou z 速度梯度张量也可表示成V 个标量的梯度是一个矢量,而一个矢量的梯度则是一个二阶 张量

                                              =           z y x z w y w x w z v y v x v z u y u x u w v u       j j i i x x u u    =           j i x u                                     z w y w x w z v y v x v z u y u x u u   上式用矩阵表示为， 一个标量的梯度是一个矢量，而一个矢量的梯度则是一个二阶 张量。 或 是一个二阶张量，称为速度梯度张量。 速度梯度张量也可表示成 或            +   +   =   +   +   =   +   +   = z z w y y w x x w w z z v y y v x x v v z z u y y u x x u u            

速度梯度张量分解为两个张量 ou au. ou s, +a Ox. 2 ax. a 2 ax a 2 av ax 1 av a 1(0 av aa ay az az 只有6个独立分量,除对角线元素外,非对角线元素两两对 应相等,可表示为 是一个对称张量。该张量描 述流体微团的变形运动,称应变率张量

速度梯度张量分解为两个张量 1 1 2 2 j j i i i ij ij j j i j i u u u u u s a x x x x x          = + + − = +                                                  +           +             +               +           +             +     = z w z v y w z u x w y w z v y v y u x v x w z u x v y u x u si j 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 ij s ij ji s = s 只有6个独立分量，除对角线元素外，非对角线元素两两对 应相等，可表示为 ，是一个对称张量。该张量描 述流体微团的变形运动，称应变率张量

2(z 1/ av au oV OX A A a1只有3个独立分量,对角线元素为零,非对角线元素两 两互为负数,可表示为a 是一个反对称张量 该张量描述流体微团的旋转运动,称旋转张量

                              −           −             −             −           −             −   = 0 2 1 2 1 2 1 0 2 1 2 1 2 1 0 z v y w z u x w y w z v y u x v x w z u x v y u ai j 只有3个独立分量，对角线元素为零，非对角线元素两 两互为负数，可表示为 ，是一个反对称张量。 该张量描述流体微团的旋转运动，称旋转张量。 ij a aij = −a ji 1 2 j i ij j i u u a x x     = −        

旋转张量 反对称张量只有三个独立量,可看作一个矢量的三个分量, Ow a ay au 2 ayaz ax a 这三个分量正好构成速度旋度的 G=V×ti

旋转张量 反对称张量只有三个独立量，可看作一个矢量的三个分量，           − − = 0 0 0 2 1 3 1 3 2       aij －           −   = z v y w 2 1 1         −   = x w z u 2 1  2           −   = y u x v 2 1 3 2 1 u   =   2 1  这三个分量正好构成速度旋度的

0 n12==03a23=-01a31==O kk 以MM间的位移D和旋转张量a相乘, a·=a.dx,=-E.,xO,=-6r×=- rot u×or 在刚体的定点转动中,如果角速度为o,则距定点距离S处 的旋转速度为×,比较知, G=-V×t 速度的旋度是流体微团绕其内部一瞬时轴的旋转角速度的2倍

a12 3 = − a23 = −1 a31 = −2 aij ijk k = −           − − = 0 0 0 2 1 3 1 3 2       aij － 以 M M  间的位移 r 和旋转张量 相乘，   a 1 rot 2 r a x x r u r ij j ijk j k a = = − = −  =          在刚体的定点转动中，如果角速度为 ，则距定点距离 处 的旋转速度为 ， 比较知，   r   r    u   =   2 1  速度的旋度是流体微团绕其内部一瞬时轴的旋转角速度的2倍

速度分解定理 Sui ox j δ =S,Sx +a,dx s·δr+-rott×6r 上式以矢量形式可写为,O=blD+Ol in=s·表示由于流体微团变形而产生的M′点相对于M点的 速度变化 δli=rotv×δF表示由于流体微团绕瞬时轴旋转而产生的M点相 对于M点的速度变化

表示由于流体微团绕瞬时轴旋转而产生的 点相 对于M 点的速度变化。 1 1 2 2 1 rot 2 j j i i i i j j j j i j i ij j ij j u u u u u u x x x x x x x s x a x r u r                   = = + + −                    = + =  +  s u uD uR     =  + u r D    = s M  1 rot 2 R   u u r =  速度分解定理 上式以矢量形式可写为， 表示由于流体微团变形而产生的 点相对于M点的 速度变化。 M 

17应变率张量 F 正应变率分量 一M 取一由流体质点组成的线段元,C Sr=r (67)=二(r-)=l'-= at at 6x+-6y+-6z

取一由流体质点组成的线段元， r   1.7 应变率张量 正应变率分量 r r r     =  − ( ) ( ) d d r r r u u u at at u u u x y z x y z      = − = − =      = + +   

设某瞬时与x轴重合,则 X l (r)==x xi+--Sxi+-Sx k D·,(o)=x,(aix) ax Sx di 同理 (δ ay ddt old (d=) 应变率张量对角线分量分别是x,y,轴线上的线段元x9g-的相对 伸长率,称正应变率分量

r   ( ) r x i d u u v w r x x i x j x k dt x x x x        =     = = + +     2 ( ) ( ) x x u x dt d r x dt d r        = =   ( ) 1 x dt d x x u   =   1 ( ) 1 ( ) v d y y y dt w d z z z dt      =   =  设某瞬时 与x轴重合，则 应变率张量对角线分量分别是x，y，z轴线上的线段元 的相对 伸长率，称正应变率分量。 同理    x y z ,

剪切应变率分量 取流体质点组成的线元、D2,设在某一瞬时粝1与x轴重合,而衍2 与y轴重合,于是, =6x,D12=δyj,(8=Q 6x,,(O2)=-oy OX 万()=85861:b分, xo y ay a x36y=2(5)=(yn) cOS dxo δx6 yin y xy at 6x6 at 式中是x轴与y轴之间的夹角,yx=90,c0sxy=0, Sinyi=1,于是, u ay

2 r  r1    1 2 1 2 1 2 2 1 , , ( ) , ( ) ( ) , ( ) d u d u r x i r y j r x r y dt x dt y d u d v r r x y r r x y dt y dt x                   = = = =      =  =   剪切应变率分量 取流体质点组成的线元 、 ，设在某一瞬时 与x轴重合，而 与y轴重合，于是， 1 r   2 r   ( ) ( ) ( ) 1 2 cos cos sin xy xy xy xy xy v u d d x y r r x y x y dt dt d d d x y x y x y dt at at                        + =  =     = − = − xy  90 , cos 0, sin 1 xy xy xy    = = = dt d y u x v xy  2 1 2 1 = −           +   式中 是 x 轴与 y 轴之间的夹角， ， 于是