《高等流体力学》第三章 特殊方程

第三章特殊方程

第 三 章 特殊方程

31开尔文定理 欧拉方程 理想流体,ρ +plu. V)u=-Vp+pf 设质量力有势且为单值函数,∫=-VG 代入欧拉方程得 +(t·V) NP_Vo G I ap aG at

3.1 开尓文定理 u u p f t u      +   = − +    ( ) f = −G  G p u u t u −   +  = −       ( ) k j j j k j x G x p x u u t u   −   = −   +    1 欧拉方程 理想流体, 设质量力有势且为单值函数, 代入欧拉方程得

沿物质周线的速度环量的随体导数 §3.1开尔文定理 设由确定的流体质点组成的封闭物质线C(其位置和形状随流动而变化 u C(1) DI D D Ddr Du dr+ ·c+tl.adt Dt Dt Dr 上式推导中用到,D()=d(m)=d 因为=l(2)为单值函数, D C() Dt 沿一条确定的流体质点组成的物质周线的速度环量的随体导数等于该周线上 的加速度的环量 以上结论是纯运动学性质的,因此对任何流体都成立

§3.1 开尓文定理 C t( )  =  u dr  ( ) ( ) ( ) ( ) C t C t C t D D Du Ddr Du u dr dr u dr u du Dt Dt Dt Dt Dt      =  =  +  =  +             du Dt Dr d Dt dr D    ( ) = ( ) = u u(r,t)    = 2 ( ) ( ) ( ) 0 2 C t C t u u du d  = =   ( ) ( ) i i C t C t D Du Du dr dx Dt Dt Dt  =  =    沿物质周线的速度环量的随体导数 设由确定的流体质点组成的封闭物质线C(t),其位置和形状随流动而变化. 上式推导中用到, 因为 为单值函数， 沿一条确定的流体质点组成的物质周线的速度环量的随体导数等于该周线上 的加速度的环量． 以上结论是纯运动学性质的,因此对任何流体都成立

正压流体 831开尔文定理 设流体的密度仅是压强的函数p=p(p) p 场论公式V=(di+d+dk),() +(x)j+ dO ao ao Dax+(dy+(dz=do drVo=do 式中表示对空间的全微分 Vp dp Sr P( p(p) V 因为δ是任选的,所以对正压流体流场中任一点有

§3.1 开尓文定理  = ( p) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) dr dxi dyj dzk i j k x y z dx dy dz d x y z               = + +  + +           = + + =    dr  = d  ( ) ( ) p dp dp dp dr d r p p        = = =    p dp dr r      =  p dp    =  正压流体 设流体的密度仅是压强的函数 场论公式 式中dф表示对空间的全微分 因为δr是任选的，所以对正压流体流场中任一点有

开尔文定理 §31开尔文定理 D=∮ D C() D 设理想流体,质量力有势且为单值函数 D VoLVO D VG|·c Dt 设正压流体YPyp DT +G dr +G|=0 Dt C( 设在封闭的物质线C)上张一曲面A(),则由 STOKES定理, 2·nidA Q·nidA=0 A(n) 对于正压,体积力单值有势的理想流体流动,沿任意封闭的物质周线上的速度 环量和通过任一物质面的涡通量在运动过程中守恒

§3.1 开尓文定理 C t( ) D Du dr Dt Dt  =   Du p G Dt   = − −  C t( ) D p G dr Dt     = − +        p dp    =  ( ) ( ) 0 C t C t D dp dp G dr d G Dt        = −  +  = − + =             A t( )  =  ndA  ( ) 0 A t D ndA Dt  =  开尓文定理 设理想流体,质量力有势且为单值函数, 设正压流体 设在封闭的物质线C(t) 上张一曲面A(t),则由STOKES 定理, 对于正压,体积力单值有势的理想流体流动,沿任意封闭的物质周线上的速度 环量和通过任一物质面的涡通量在运动过程中守恒

讨论1 s31开尔文定理 开尔文定理成立的三个条件 正压, 理想, 质量力有势; 放松其中任一条件,开尔文定理不成立 粘性,斜压与外力无势是引起速度环量和涡通量发生变化 的三大因素

§3.1 开尓文定理 开尔文定理成立的三个条件： 正压 , 理想 , 质量力有势； 放松其中任一条件,开尔文定理不成立。 粘性，斜压 与 外力无势是引起速度环量和涡通量发生变化 的三大因素. 讨论1

讨论2 §3.1开尔文定理 取C(t)是涡管横截面上并围绕涡管一周的封闭物质周线,则在某一瞬时 u·dF=g.ndA C( 式中A(t)是涡管截面,根据开尔文定理, ne f dr=Dj 2. ridA=0 C(t A() 涡管在随流体运动过程中通过其任一横截面的涡通量,即涡管强度,不随时 间改变.在运动过程中,涡管会发生变形:当涡管被拉伸时,涡量增大,涡管 被压缩时,涡量减小,以保持通过横截面的总的涡通量不变。 涡量场的散度为0,V·Ω=0,由此得出在每一瞬时通过同一涡管中任意截面 的涡通量处处相等,即涡管强度在空间上守恒,以上结论对任意流体都是正确 的 当满足开尔文定理成立条件时,涡管强度不但具有空间上的守恒性,而且具有 时间上的守恒性

§3.1 开尓文定理 涡量场的散度为0, , 由此得出在每一瞬时通过同一涡管中任意截面 的涡通量处处相等, 即涡管强度在空间上守恒, 以上结论对任意流体都是正确 的。 当满足开尔文定理成立条件时, 涡管强度不但具有空间上的守恒性, 而且具有 时间上的守恒性。 C t A t ( ) ( ) u dr ndA  =     ( ) ( ) 0 C t A t D D u dr ndA Dt Dt  =  =    = 0  讨论2 取C(t)是涡管横截面上并围绕涡管一周的封闭物质周线,则在某一瞬时 ， 式中A(t)是涡管截面,根据开尔文定理， 涡管在随流体运动过程中通过其任一横截面的涡通量, 即涡管强度, 不随时 间改变. 在运动过程中, 涡管会发生变形：当涡管被拉伸时, 涡量增大, 涡管 被压缩时, 涡量减小, 以保持通过横截面的总的涡通量不变

讨论3 1开尔文定理 涡旋不生不灭若流体理想,正压,且外力有势如果初 始时刻在某部分流体内无旋,则以前或以后任一时刻 这部分流体皆无旋;反之,若初始时刻该部分流体有旋, 则以前或以后的任何时刻这部分流体皆为有旋

§3.1 开尓文定理 涡旋不生不灭 若流体理想,正压,且外力有势,如果初 始时刻在某部分流体内无旋,则以前或以后任一时刻 这部分流体皆无旋;反之,若初始时刻该部分流体有旋, 则以前或以后的任何时刻这部分流体皆为有旋。 讨论3

理想不可压缩流体在重力场作用下的流动 (1)均匀来流定常不脱体绕流 (2)物体从静止状态开始运动。 满足理想,正压,质量力有势: 第1种情况下,流体质点来自无穷远处,无穷远处无旋,所以整个流场无旋 第2种情况下,初始时刻,静止状态的流体无旋,所以任何时刻流体无旋

(1) 均匀来流定常不脱体绕流； (2)物体从静止状态开始运动。 满足理想，正压，质量力有势： 第1种情况下, 流体质点来自无穷远处，无穷远处无旋, 所以整个流场无旋； 第2种情况下, 初始时刻, 静止状态的流体无旋, 所以任何时刻流体无旋。 理想不可压缩流体在重力场作用下的流动

32伯努利方程 1.沿流线或涡线成立的伯努利方程 设理想流体, P+p(u V)u=-Vp+pf (·V=V()-l×(V×u) 2 )-i×(V×n) 以上方程称兰姆方程

3.2 伯努利方程 1.沿流线或涡线成立的伯努利方程 设理想流体， ( ) u u u p f t     +  = − +  ) ( ) 2 ( ) ( u u u u u u       −      =  ( ) ( ) 2 u u u p u u f t     +  −   = − +  以上方程称兰姆方程