上海交通大学：《流体力学》课程PPT教学课件（讲稿）微分形式的基本方程

B3微分形式的基本方程 B31微分形式的质量守恒方程 B311流体运动的连续性原理 根据质量守恒定律,不可压缩流体流进 控制体的质量应等于流出控制体的质量, 称其为流体运动的连续性原理。 由哈维发现的人体血液循环理论是流体 连续性原理的例证: 动脉系统 心脏 毛细管系统 静脉系统

B3 微分形式的基本方程 B3.1 微分形式的质量守恒方程 B3.1.1 流体运动的连续性原理 • 根据质量守恒定律，不可压缩流体流进 控制体的质量应等于流出控制体的质量， 称其为流体运动的连续性原理。 • 由哈维发现的人体血液循环理论是流体 连续性原理的例证： 动脉系统 毛细管系统 静脉系统 心脏

B3.1微分形式的连续性方程 B3.12微分形式的连续性方程 对长方形控制体元,在单位体积内三个坐标方向净流出的质 流量应等于密度的减少率 ul+ o(pv+ owl a a(pu) at 微分形式的流体连续性方程化为 D Dt 上式表明:一点邻内流体体积的相对膨胀率等于流体密 度的相对减少率 方程的限制条件:同种流体。 对不可压缩流体,相对膨胀率处处为零 V·=0

B3.1 微分形式的连续性方程 B3.1.2 微分形式的连续性方程 • 微分形式的流体连续性方程化为 ( ) ( ) ( ) t ρ z ρw y ρv x ρu   = −   +   +   对长方形控制体元，在单位体积内三个坐标方向净流出的质 流量应等于密度的减少率 Dt Dρ ρ 1  v = − 上式表明：一点邻域内流体体积的相对膨胀率等于流体密 度的相对减少率。 方程的限制条件：同种流体。 • 对不可压缩流体，相对膨胀率处处为零： v =0

B3微分形式的基本方程 B32作用在流体微元上的力 表面力 法向应力p 64 dF/dA 切向应力 流场中的分布力 P)”体积力7[单位质量体重力、惯性力 dE/dT 单位体积流体pf电磁力 重力场:f=-gk=-V(g2) O 重力势 兀=82

B3 微分形式的基本方程 B3.2 作用在流体微元上的力 流场中的分布力 表面力 dFs / dA 切向应力  • 重力场： f = −gk = −(gz) • 重力势： π=gz 法向应力p 单位质量流体 f 体积力 d / d Fb 重力、惯性力 单位体积流体 ρf 电磁力

B32作用在流微无上的力 B323流体应力场 1.一点的表面应力矩阵 W2 P P T yy 22 该矩阵是对称矩阵,只有6个分量是独立的。2 2应力矩阵的常用表达式 p00 x xy txz P=0-p0 yxy 00-p」τ 压强项 偏应力项 在运动粘性流体中压强P=-2x+y+p=)

B3.2 作用在流体微元上的力 B3.2.3 流体应力场 1.一点的表面应力矩阵                       zz τ zy τ zx τ yz τ yy p yx τ xz τ xy τ xx p P= 该矩阵是对称矩阵，只有6个分量是独立的。 2.应力矩阵的常用表达式           +           − − − = z σ zy τ zx τ yz τ y σ yx τ xz τ xy τ x σ 0 0 p 0 p 0 p 0 0 P 在运动粘性流体中压强 ( ) pxx pyy pzz 3 1 p = − + + 压强项 偏应力项

B3微分形式的基本方程 B33微分形式的动量方程 ay 牛顿第二定律用于 p Pr 单位体积流体元, 并运用质点导数公式,可得 Ot I +-adz pfx+ opex+ or+o xz=p Ox ay l-+ yyy P( +l--+1 at a pf=+ nat -+1 +1 az at az 体积力表面力梯度质量密度加速度

B3.3 微分形式的动量方程 B3 微分形式的基本方程 牛顿第二定律用于 单位体积流体元， 并运用质点导数公式，可得 ) z u w y u v x u u t u ρ( z xz τ y τxy x pxx ρ f x   +   +   +   =   +   +   + ) z v w y v v x v u t v ρ( z yz τ y pyy x τ yx ρ f y   +   +   +   =   +   +   + ) z w w y w v x w u t w ρ( z pzz y τzy x τzx z ρ f   +   +   +   =   +   +   + 体积力 表面力梯度 质量密度 加速度

B3微分形式的基本方程 B34纳维-斯托克斯方程 对均质不可压缩(p常数)牛顿流体(常数),N-S方程为 at Ox y"a/s、2 au auau a 02u.04u.02u + 2 Ox 0v az ++vx,+12=0f1 0p+=2 04p.04y.a2v ax- 0v az 02.02.02v 十1+1+1 ax 2 矢量式 o+(v.Vv=pf-Vp+uV2v at 质量密度加速度=体积力+压差力+粘性力

B3.4 纳维－斯托克斯方程 B3 微分形式的基本方程 对均质不可压缩（ ρ 常数）牛顿流体  ( 常数），  = N－S方程为                     +   +   +   = −   +   +   +   2z u 2 2y u 2 2x u 2 μ x p ρ f x z u w y u v x u u t u ρ                     +   +   +   = −   +   +   +   2z v 2 2y v 2 2x v 2 μ y p ρ f y z v w y v v x v u t v ρ                     +   +   +   = −   +   +   +   2z w 2 2y w 2 2x w 2 μ z p z ρ f z w w y w v x w u t w ρ 矢量式 v v f v v  = − + 2 +    [ ( ) ]  p  t 质量密度  加速度＝体积力＋压差力＋粘性力

B3微分形式的基本方程 B35边界条件与初始条件 1常见边界条件 (1)固体壁面 粘性流体不滑移条件1=1 流体法向速度连续 固 (2)外流无穷远条件 1=1 p-poo (3)内流出入口条件: =1 in (out)> p=pin (out) (4)自由面条件 p=p T。=0 (5)两种粘性流体交界面:速度、压强、切应力连续 初始条件:t时刻的条件(例3.5.1)

B3 微分形式的基本方程 B3.5 边界条件与初始条件 1.常见边界条件 (1)固体壁面 粘性流体不滑移条件 v = v固 流体法向速度连续 vn = v n固 (2)外流无穷远条件: v = v∞， p = p∞ (3)内流出入口条件: v = vin (out)， p = p in (out) (4)自由面条件: , p p = a τs = 0 (5)两种粘性流体交界面：速度、压强、切应力连续 • 初始条件： 时刻的条件 0 t = t （例3.5.1）

B3.6压强场 B3.6.1静止重力流体中的压强分布 在重力场中fx=fy=0,f2=-8 由N-S方程可得 az 说明:在静止重力流体中,铅垂方向的压强梯度是由单位体积 流体的重力决定的, 积分上式可得 p=-/82+c 积分常数c由边界条件决定

B3.6 压强场 B3.6.1 静止重力流体中的压强分布 = =0, y f x f g z 在重力场中 f = − g z p = −   由N－S方程可得 p = −gz +c 说明：在静止重力流体中，铅垂方向的压强梯度是由单位体积 流体的重力决定的， 积分上式可得 积分常数c由边界条件决定

B361静止重力流体中的压强分布 对具有自由液面的液体,压强分布为 p=po+pgh 上式称为均质静止流体液体压强公式1p P为自由面上的压强,h为淹深。 均质静止液体中压强分布特征 (1)在垂直方向,压强与淹深成线性关系 (2)水平方向压强保持常数 静压强分布图 等压面概念 (b)

B3.6.1 静止重力流体中的压强分布 对具有自由液面的液体，压强分布为 p p ρgh 0 = + 0 p 为自由面上的压强，h为淹深。 上式称为均质静止流体液体压强公式。 (1) 在垂直方向，压强与淹深成线性关系 (2) 水平方向压强保持常数 均质静止液体中压强分布特征： • 静压强分布图 • 等压面概念

B3.6压强场 B3.62压强计算方法与单位 P 表压 1.压强计算方法 P=p+pgh 表压()真空度绝对压 P 绝对压 完全真空绝对压强Pab 压强基准 表压强P 大气压强pa 真空度p 习惯上 p=p

B3.6 压强场 B3.6.2 压强计算方法与单位 1. 压强计算方法 p p ρgh 0 = + 习惯上 p = pg 压强基准 真空度 v p 完全真空 绝对压强 pab 表压强 g p 大气压强 a p