《材料力学》第七章 截面的几何性质

截面八法质

截面的几何性质 1面积矩与形心位置 □2惯性矩、惯性积、极惯性矩 I3惯性矩和惯性积的平行移轴定理 国4惯性矩和惯性积的转轴定理* 截面的主惯性轴和主惯性矩

1 面积矩与形心位置 2 惯性矩、惯性积、极惯性矩 3 惯性矩和惯性积的平行移轴定理 截面的几何性质 4 惯性矩和惯性积的转轴定理* 截面的主惯性轴和主惯性矩

1面积矩与形心位置 、面积(对轴)矩:(与力矩类似) 是面积与它到轴的距离之积。 ↑y M n Imax max A Gl max x -tr da ds =dAy dS =dA.x S x A IS=xdA A

1 面积矩与形心位置 一、面积（对轴）矩：(与力矩类似) 是面积与它到轴的距离之积。 P n P n W M G I M A N max max max max  = ; = ;  = S A y x d =d  S Ax y d =d      = = = = A A y y A A x x S S x A S S y A d d d d dA x y y x

、形心:(等厚均质板的质心与形心重合。) xdm ∫ toda jxta S x 质心: m等厚tAAA ydm均质 等于形心坐标 J ypda yoda s, nm PA A ∑x,A da 累加式 A (正负面积法公式) ∑4 X A y x=∑4 =行=∑A万

二、形心：(等厚均质板的质心与形心重合。) 累加式: (正负面积法公式)        = =   A y A y A x A x i i i i   = = = = x i i y i i S Ay A y S Ax A x dA x y y x 等厚 均质 m y m y m x m x m m   = = d d 质心： A S A yt A t A yt A A S A x t A t A x t A A A x A A y = = = =     d d d d     等于形心坐标 x y

例1试确定下图的形心 解:组合图形,用正负面积法解之。 C(030)1.用正面积法求解,图形分割及坐标 C2(-3560) 如图(a) ∑x4x4+xA2 x A1+A2 -35×10×110 20.3 10×10+80×10 图(a) 60×10X110 10×10+80×10 =34.7

1 2 1 1 2 2 A A x A x A A x A x i i + + =  = 20.3 10 110 80 10 35 10 110 =−  +  −   = 34.7 10 110 80 10 60 10 110 =  +    y= 例1 试确定下图的形心。 解 ： 组合图形，用正负面积法解之。 1.用正面积法求解，图形分割及坐标 如图(a) 80 120 10 10 x y C2 图(a) C1 C1 (0,0) C2 (-35,60)

2用负面积法求解,图形分割及坐标如图(b) 负面积C1(0,0) A. x A+x A C2(5,5)x A A1+A2 5×(-70×110 20.3 120×80-70×110 图(b)

2.用负面积法求解，图形分割及坐标如图(b) 20.3 120 80 70 110 5 ( 70 110) =−  −   −  = 图(b) C1（0,0） C2（5,5） 1 2 1 2 1 2 A A x A x A A x A x i i + + =  = C2 负面积 C1 x y

2惯性矩、惯性积、极惯性矩 一、惯性矩:(与转动惯量类似) 是面积与它到轴的距离的平方之积 1.y da A 1,=x2d4 r da 二、极惯性矩: A 是面积对极点的二次矩。 x 4=x+

2 惯性矩、惯性积、极惯性矩 一、惯性矩：(与转动惯量类似） 是面积与它到轴的距离的平方之积。   = = A y A x I x A I y A d d 2 2 dA x y y x  二、极惯性矩： 是面积对极点的二次矩。 x y A I = A=I +I  d 2  

三、惯性积:面积与其到两轴距离之积 Ⅰ=xud4 A 如果x或y是对称轴,则Jy=0 r da x

dA x y y x  三、惯性积：面积与其到两轴距离之积。  = A I xy xydA 如果 x 或 y 是对称轴，则Ixy =0

31 惯性矩和惯性积的平行移轴定理 一、平行移轴定理:(与转动惯量的平行移轴定理类似) 以形心为原点,建立与原坐标轴平行 的坐标轴如图 x=a-+xc dA (y=b+yc Xe Dda (c+b)'da +2byc+b- ) dA =c+b24 S==0J(1+ I+26S +6A

3 惯性矩和惯性积的平行移轴定理 一、平行移轴定理：（与转动惯量的平行移轴定理类似）    = + = + C C y b y x a x 以形心为原点，建立与原坐标轴平行 的坐标轴如图 SxC =AyC =0 I bS b A y by b A y b A I y A xC xC C A C A C A x 2 2 2 2 2 2 ( 2 )d ( ) d d = + + = + + = + =    I x I xC b A 2 = + dA x y y x  a b C xC yC

12=1c+b2A 1=1+a2A 注意:C点必须为形心 roc tae 1b4 Lo=lc+a+b).A

注意: C点必须为形心 I x I xC b A 2 = + I y I yC a A 2 = + I xy =I xCyC +abA I I C a b A 2 = +( + )  