桂林电子科技大学：《信号与系统》课程教学课件（PPT讲稿）第六章 离散系统的Z域分析 §6.3 逆Z变换 §6.4 Z变换和拉普拉斯变换的关系

§6.3逆Z变换 若x(n)+>X(z)则 X(z)的反变换记作x(m)=Z[X() 且 15X(x)x”cz n)=2 求逆Z变换的方法通常有三种:部分分 式展开法、幂级数展开法(长除法)和 留数法(围线积分法)

§ 6.3 逆Z变换  − − = = c n X z z dz j x n X z x n Z X z 1 1 ( ) 2 1 ( ) ( ) ( ) [ ( )]  且 的反变换记作 若 x(n)  X(z) 则 求逆Z变换的方法通常有三种：部分分 式展开法、幂级数展开法（长除法）和 留数法（围线积分法）

部分分式展开法 1.z变换式的一般形式 N(z 6+6,+b2 +.+b-z+b, X(x)-D(z)4+4x+a2x2+…+a-1z1+ 拉氏变换的基本形式:eau() S+a z变换的基本形式 a uln Z> Z-a a ul-n 孔右边序列>收敛域z>R,包括x= 为了保证z=∞0处收敛,其分子多项式阶次不能大 于分母多项式的阶次即必须满是≥r

一．部分分式展开法     − − −    − a u n z a a u n z a z a z z n n ( 1) ( ) 变换的基本形式 1．z变换式的一般形式 因果序列→右边序列→收敛域 z  R,包括z =  于分母多项式的阶次即必须满足 。 为了保证 处收敛，其分子多项式的阶次不能大 , k r z  =  k k k k r r r r a a z a z a z a z b b z b z b z b z D z N z X z + + + + + + + + + + = = − − − − 1 1 2 0 1 2 1 1 2 0 1 2 ( ) ( ) ( )   ( ) s α u t t + −  1 e 拉氏变换的基本形式： 

2.求逆z变换的步骤 ●提出一个 X为真分式 再部分分式展开 X() 查反变换表

2．求逆z变换的步骤 ( ) 为真分式 z X z • • 提出一个z ( ) z z X z •  • 查反变换表 • 再部分分式展开

3.极点决定部分分式形式 X(z)极点也可分为一阶极点和高阶极点 对一阶极点X(x)=A+∑ m=12-2 X(z +∑ A 十 十∴十 =1 2 z-Z A0=0极点z=0的系数 (z-zm) X() 极点z=z的系数 所以X(x)=A1+ Az A 十 ∴十 2 Z-Z x(n)=45()+A()"+4(2y+…+4(x),n20分

3．极点决定部分分式形式 = − = + N m m m z z A z X z A 1 0 ( ) x(n) = A0 (n) + A1 (z1 ) + A2 (z2 ) + + A (z ) ,n  0 n N N  n n  对一阶极点 N N N m m m z z A z z A z z A z A z z A z A z X z − + + − + − = + − = + =  2 2 1 0 1 1 0 ( ) 极点 0的系数 0 0 0 = z = a b A 极 点 m 的系数 z z m m z z z X z A z z m = − = = ( ) ( ) N N z z A z z z A z z z A z X z A − + + − + − = +  2 2 1 1 0 所 以 ( ) X(z)的极点也可分为一阶极点和高阶极点

高阶极点(重根) B: Z 设X(x)=∑ F(-)z=z;为阶极点 则B d X(x)1 2-Z (s-n): dz

高阶极点（重根） = − = s j j i j z z B z X z 1 ( ) 设 ( ) z = zi 为s阶极点。 i z z s s j i s j j z X z z z s j z B = − −       − − = ( ) ( ) d d ( )! 1 则

2 例6-15X(x)=152z+0.5 >x(n)?z>1 解 X(z) x-15+05z-1z-0.5 则A1=(x-1) X() 2 z2=1z-0.5=1 A2=(z-0.5) X() z=0.5 z=0.5 2 X( 1x-0.5 x(n)=[2-(0.5)”u(m)

x(n) [2 (0.5) ]u(n) n = − 解： 例6-15 ( )? 1 1.5 0.5 ( ) 2 2   − + = x n z z z z X z 1.5 0.5 1 0.5 ( ) 1 2 2 − + − = − + = z A z A z z z z X z 令 2 0.5 ( ) ( 1) 1 1 1 = − = − = z= z= z z z X z 则 A z 1 1 ( ) ( 0.5) 0.5 0.5 2 = − − = − = z= z= z z z X z A z 1 0.5 2 ( ) − − − = z z z z X z

例6-16.X(z)= z+2x2+1 台x(n)?z>1 z(z-1)(x-0.5) 解:X(z) 3 +2x2+1 x(x-1)(z-0.5 268 13 +- 2 0.5 8x13 X(x)==+6+ 0.5 x(m)=20(n-1)+6(m)+8-13(0.5)a(m

例6-16. ( )? 1 ( 1)( 0.5) 2 1 ( ) 3 2   − − + + = x n z z z z z z X z 解： 0.5 13 1 8 6 2 ( ) − − − = + + z z z z z X z x(n) 2 (n 1) 6 (n) [8 13(0.5) ]u(n) n =  − +  + − ( 1)( 0.5) ( ) 2 1 2 3 2 − − + + = z z z z z z X z 0.5 13 1 2 6 8 2 − − − = + + z z z z

幂级数展开法 1.幂级数展开法 2变换式一般是的有理函数,可表示为: N(z 60+6,+624+.+6-14+6, X() D() 0+a1+a24+.+ak -1 +az 直接用长除法进行逆变换 X()=∑x( (是一个z的幂级数) n=-0 x(-2)z2+x(-1)z+x(0)z0+x(1)z-+x(2)z2+ 级数的系数就是序列x(n

二．幂级数展开法 = x(−2)z 2 + x(−1)z 1 + x(0)z 0 + x(1)z −1 + x(2)z −2 + k k k k r r r r a a z a z a z a z b b z b z b z b z D z N z X z + + + + + + + + + + = = − − − − 1 1 2 0 1 2 1 1 2 0 1 2 ( ) ( ) ( )   z变换式一般是z的有理函数，可表示为： 直接用长除法进行逆变换 ( )  ( )  =−  − = n n X z x n z 级数的系数就是序列 x(n) （是一个z 的幂级数） 1．幂级数展开法

2.右边序列的逆变换 将X(乙)以z的降幂排列 X(z)=∑x(n)z=n=x(0)z0+x(1)z-2+x(2)z2+ =0 3.左边序列的逆z变换 将x(z)以的升幂排列 X(z)=∑x(n)xn=x(-1)z2+x(-2)2x(-3)z2+ n=-0

2．右边序列的逆z变换 将X(z)以z的降幂排列 = − = + − + − +  =  0 1 2 0 X(z) x(n)z x(0)z x(1)z x(2)z n n 3．左边序列的逆z变换 = − = − + − + − + − =−   1 2 3 1 X(z) x(n)z x( 1)z x( 2)z x( 3)z n n 将X(z)以z的升幂排列

例6-13X(z) <>x(n)z>1 解:由ROC知x(m)为因果序列,应将X(2展 开为z的幂级数 此时将X按z的降幂排列:x()=z2-1

例6-13 ( ) 1 1 ( ) 2 2   − = x n z z z X z 解：由ROC知 x(n) 为因果序列，应将 X(z) 展 开为 的 幂级数 −1 z 此时将 X(z)按z的降幂排列： 1 ( ) 2 2 − = z z X z