西安邮电学院：《数字信号处理》第3章 离散傅立叶变换的定义

数字信号处理 第三章

数字信号处理 第三章

3.1高敢傅立叶变换的定义 DFT的定义 设x(n)是一个长度为M的有限长序列,则定义的N点离散傅立 叶变换为 N-1 X(k)=DFTx(n)=∑x(m)W k=0,1N-1 其逆变换为 x(n)=DFX()=1∑X(k)W n=0,1,,N-1 式中 2xN为DT变换区间长度

3.1 离散傅立叶变换的定义 DFT的定义 设x（n) 是一个长度为M的有限长序列，则定义的N点离散傅立 叶变换为 其逆变换为： 式中 N为DFT变换区间长度。 0,1,..., 1 ( ) [ ( )] ( ) 1 0 = − = =  − = k N X k DFT x n x n W N n kn N 0,1,..., 1 ( ) 1 ( ) [ ( )] 1 0 = − = =  − = − n N X k W N x n IDFT X k N k k n N N j N W e 2 − =

证明IDFT的唯一性 1-y- DFT[X(k)=∑ [∑x(m)W mk -nk N ∑x(m)[∑Wm"] k=0 由于 1,m=n+MN,M为整数 ∑W (m-n)k 0,m≠n+MN,M为整数 所以在变换区间上满足: DFT(k)F=XO),0≤n≤N

证明IDFT的唯一性 由于 所以在变换区间上满足：     − = − = − − − = − = = = 1 0 1 0 ( ) 1 0 1 0 [ ] 1 ( ) [ ( ) ] 1 [ ( )] N m N k m n k N n k N N k N m m k N W N x m x m W W N IDFT X k      + = +  = − = − 0 , 1 1 , 1 0 ) ， 为整数 （ ， 为整数 m n MN M m n MN M W N N k m n k N IDFT[X (k)]＝x(n), 0  n  N −1

例3.1.1见教材pp-69 DFT和Z变换的关系:设序列x(n)的长度为N, Z变换为 X(-)=Zx()2=∑x(m)zn DFT为: X(k)=DFT[x(n)=∑x(m)W,0≤k≤N-1 两者比较可知 X(k)=X(-)k,0≤k≤N-1 x(n)的N点DFT是x(n)的Z变换在单位圆上的N点等间隔采样 A(k)=X(e") 2丌,5 0≤k≤N-1 X(k)为x(n)的傅立叶变换在区间【O,2π】上的N点等间隔采样

• 例3.1.1 见教材pp-69 DFT和Z变换的关系：设序列x(n)的长度为N， Z变换为： DFT为： 两者比较可知： x(n)的N点DFT是x(n)的Z变换在单位圆上的N点等间隔采样。 X(k) 为x(n)的傅立叶变换在区间【0，2π】上的N点等间隔采样。  − = − = = 1 0 ( ) [ ( )] ( ) N n n X z ZT x n x n z ( ) [ ( )] ( ) ,0 1 1 0 = =    − − = X k DFT x n x n W k N N n k n N ( ) ( ) , 0 1 2 =   − = X k X z j N k k N z e  ( ) = ( ) 2 , 0   −1 = X k X e k N k N j   

DFT的隐含周期性 X()和xk)均为有限长序列,但由的周期性 使得X(k)隐含周期性,且周期为N。对住意整数m,总有: WN=X(m,k,m,N均为整数 所以有 X(k+mN)=∑xmy (k+mNn n=0 ∑x(mW=Y(k) 同理可以得到 x(n+mN=x(n)

DFT的隐含周期性 x (n) 和X(k)均为有限长序列，但由于 的周期性， 使得X(k)隐含周期性，且周期为N。对任意整数m，总有： 所以有： 同理可以得到： kn WN WN k =WN (k+m N) ,k,m,N均为整数 ( ) ( ) ( ) ( ) 1 0 ( ) 1 0 x n W X k X k mN x n W k n N N n k m N n N N n = = + =   − = + − = x(n + mN) = x(n)

主值区间和主值序列 任何周期为N的周期序列(m)可以看作长度为N的有 限长序列x(m)的周期延拓序列,而x(n)叫E(n)的主值序 列;,n0到N-1的第一个周期为x(m)的主值区间。 x(n)=x(n).R(n) 为了方便,常常用如下形式表示 x(n=x((n)N

主值区间和主值序列 任何周期为N的周期序列 可以看作长度为N的有 限长序列x(n)的周期延拓序列，而x(n)叫 的主值序 列；，n=0到N－1的第一个周期为 的主值区间。 为了方便，常常用如下形式表示： ( ) ~ x n ( ) ~ x n ( ) ~ x n ( ) ( ) ~ x(n) = x n RN n n N x(n) x(( )) ~ =

周期序列的离散傅立叶级数 X(k)=∑x(n)W=∑x(m)W=2x(m)WM n=0 F(m)=∑(k)W如=1 ∑X(kW N k=0 上式中的 X(h=X(kR(h 结论:有限长序列的离散傅立叶变换Ⅹ(k)正好是x(m)的周 期延拓序列x(m)的离散傅立叶级数系数R(k)的 主值序列

周期序列的离散傅立叶级数 上式中的 结论：有限长序列的离散傅立叶变换X(k)正好是x(n)的周 期延拓序列x((n))N的离散傅立叶级数系数 的 主值序列。      − = − − = − − = − = − = = = = = = 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 ( ) 1 ( ) 1 ~ ( ) ~ ( ) (( )) ( ) ~ ( ) ~ N k k n N N k k n N k n N N n k n N N n N k n N N n X k W N X k W N x n X k x n W x n W x n W ( ) ( ) ~ X (k) X k R k = N ( ) ~ X k

3.2高散傅立叶变换的基本性质 线性性质 若y(m)=ax1(m)+bx2(m) 则y(n)的N点(N=max(N1,N2),N,N2 为两序列的长度)DFT为: Y(k)=DFTLy(n)]=aX,(k)+bX2(k) 循环位移性质 循环卷积定理

• 线性性质 若 则y(n)的N点（N ＝max(N1，N2 )， N1，N2 为两序列的长度）DFT为： • 循环位移性质 • 循环卷积定理 3.2 离散傅立叶变换的基本性质 ( ) [ ( )] ( ) ( ) 1 2 Y k = DFT y n = aX k +bX k ( ) ( ) ( ) y n = ax1 n +bx2 n

循环位移性质 、序列的循环移位 将x(n)以N为周期进行周期延拓,将得到的序列左移m位,而 移出主值区间的序列值又依次从右侧进入主值区间。见教材p-71 2、时域循环移位定理(证明) 若p(m)=x(1+1m)R、(m 则有 Y(k)=WNmX(k) 3、频域循环移位定理(证明留作业

循环位移性质 1、序列的循环移位 将x(n)以N为周期进行周期延拓，将得到的序列左移m位，而 移出主值区间的序列值又依次从右侧进入主值区间。见教材pp-71 . 2、时域循环移位定理（证明） 若 则有 3、频域循环移位定理（证明留作业） y(n) x((n m)) R (n) = + N N Y(k) W X(k) km N − =

证明时域循环移位定理 Y(k)=DFTIy(n) ∑x(n+m)R、(m)W如=∑ k x((n+m1))N 0 0 令n+m=n,则有 N-1+m N-1+m P(k)=∑x(n)WA0m=W∑x(m)W n= n= 在任一周期上求和,可以求其主值区间的和 P(k)=∑x(m)Wx(m)=Wmx(n)W加 n =m 0 WxX(k)

证明 时域循环移位定理   = = = + = + = 1 0 1 0 ( ( ) ) ( ) ( ( ) ) ( ) [ ( ) ] N- n k n N N N- n k n x n m N RN n WN x n m W Y k DFT y n 在任一周期上求和，可以求其主值区间的和   + = − + = − = N- m n m k n N N k m N N- m n m k n m Y k x n N WN W x n W 1 ' ' ) ' 1 ' ) ' ' ( ( )＝ (( )) (( )) , 令n + m = n ' 则有 ( ) ( ) ( ( ) ) ( ( ) ) 1 0 ' ' ) ' 1 ' ) ' ' ( W X k Y k x n W W x n W k m N N- n k n N N k m N N- m n m k n m N N − = − + = − = ＝  = 