桂林电子科技大学：《信号与系统》课程教学课件（PPT讲稿）第四章 连续时间系统的复频域分析（4.5-4.8）

《信号与系统》CAI课件 第四章(2) 通信与信息工程系 2004.0328

《信号与系统》CAI课件 通信与信息工程系 2004.03.28 第四章(2)

§4.5复频域分析 复频域分析就是,在复频域中,已知输入信号和系统,如何 求解系统的输出响应问题 微分方程的变换解 LTI系统均可由微分方程来描述这,拉普拉斯变换可以将微分 方程变换成S域(复频域)中的代数方程,便于运算求解。 利用拉普拉斯变换的时域微分定理 f()F(s)-f(0)f(0)<sF(s)-f0.)-f(0.) S2F(s)-s(0)-f(0) 我们采用0系统求解,简便起见,只要知道起始状 态,就可以求解出响应

§4.5 复频域分析 一、微分方程的变换解 复频域分析就是，在复频域中，已知输入信号和系统，如何 求解系统的输出响应问题。 LTI系统均可由微分方程来描述这，拉普拉斯变换可以将微分 方程变换成S域(复频域)中的代数方程，便于运算求解。 ( ) ( ) (0 ) '  − − f t sF s f  ( ) ( ) ( ) (0 ) (0 ) ( ) 0 (0 ) 2 '' − − − − = − −   − −  s F s sf f f t s sF s f f 我们采用0-系统求解，简便起见，只要知道起始状 态，就可以求解出响应。 利用拉普拉斯变换的时域微分定理

例描述LT/系统的微分方程为y"+5y+6y=2已知 y(0)=1,y(0)=-1,激励f(t)=5CosU(1)求全响应y(t 解:对方程进行拉普拉斯变换 [s2Y(s)-sv(0)-y(0)+5[sY(s)-y(0)+6(s)=2F(s) 整理得 Y(s)s2+5s+6-v(0)+y(0)+5y(0)=2F(s) Y(s)=O)+y(0)+5y0 2 f(S +5s+6 s2+5s+6 零输入响应 零状态响应

(0 ) 1 (0 ) 1, ( ) 5 ( ) ( ). 5 6 2 y y f t Cost U t y t LTI y y y f ， 激励 求全响应 例描述 系统的微分方程为 已知 =  = − = + + = − − 解：对方程进行拉普拉斯变换 [ ( ) (0 ) (0 )] 5[sY(s) - y(0 )] 6 ( ) 2 ( ) - 2 ' s Y s − sy − y + + Y s = F s − − F(s) s 5s 6 2 s 5s 6 sy(0 ) y (0 ) 5y(0 ) Y(s) ( )[ 5 6] [ (0 ) (0 ) 5 (0 )] 2 ( ) 2 2 - - ' - 2 ' + + + + + + + = Y s s + s + − sy − + y − + y − = F s 整理得： 零输入响应 零状态响应

将F(s)= costU(t)5s +/12(0)=1y(0)=1代入方程 s+4 2 5s Y(S) s2+5s+6s2+5s+6s2+1 s+4 10 Y(S) (S+2)(s+3)(s+2)S+3)s+j)(S-j) Y(s)=(+ s+2s+3s+2s+2s+ y()={[(2e2-e3)+[-4e cos(t-10(t)

将 , y(0 ) 1, y (0 ) - 1代入方程 s 1 5s F(s) L[5costU(t)] - ' 2 - = = + = = (s 2)(s 3)(s )( ) 10s (s 2)( 3) s 4 Y(s) s + + + j s − j + + + + = s 1 5s s 5s 6 2 s 5s 6 s 4 Y(s) 2 2 2 + • + + + + + + = )]} ( ) 4 ( ) {[(2 ) [ 4 3 2 cos( 2 1 2 1 2 3 2 4 ) 3 1 2 2 ( ) ( 2 3 2 3 4 4 y t e e e e t U t s j e s j e s s s s Y s t t t t j j    = − + − + + −             − + + + + + + − + + − + + = − − − − −

二、S域模型分析法 若系统以电路的形式给出,那么复频域分析就等效于复频域 电路分析的问题。可分为三个步骤: v列方程(可以从两方面入手) 列时微分方程,用微积分性质求拉氏变换; 直接按电路的模型建立代数方程。 v求解城方程。 F(s)→f(1),得到时解答

列s域方程（可以从两方面入手） • 列时域微分方程，用微积分性质求拉氏变换； • 直接按电路的s域模型建立代数方程。 求解s域方程。 F(s) → f (t) ，得到时域解答。 二、S域模型分析法 若系统以电路的形式给出，那么复频域分析就等效于复频域 电路分析的问题。可分为三个步骤：

1.电路元件的s域模型 ①电阻元件的s域模型 R i R VR(S=RIR(S) 或Ⅰn(sR() R R IR(S) LS

①电阻元件的s域模型 V (s) RI (s) R = R R V s I s R R ( ) 或 ( ) = R + VR (s) − I (s) R v (t) Ri (t) R = R 1.电路元件的s域模型

②电感元件的s域模型 "()=Lai( dt Li,(0 S VL(S=ILSLS-Li,(0_) 丿, 利用电源转换可以得到电流源形式的s城模型 L1(s)="(s),1 1() +-i1(0) LS S ① +v()

②电感元件的s域模型 ( ) ( ) (0 ) L = L Ls − LiL − V s I s 利用电源转换可以得到电流源形式的s域模型： (0 ) ( ) 1 ( ) = + L − L L i Ls s V s I s − + V (s) L I (s) L Ls ( ) LiL 0− + − I (s) L Ls ( ) 0− 1 L i s + VL (s) − ( ) ( ) t i t v t L L L d d =

③电容元件的s域模 型 ()=aJ。t()ar Vc(s=I(s) C 电流源形式: Ic(s)=sCVc(s)-Cvc(0_) +V(s)

③电容元件的s域模 型 (0 ) 1 1 ( ) ( ) C = C + C − v sC s V s I s 电流源形式： sC 1 ( ) 0− 1 C v s I (s) C + V (s) − C I (s) C sC 1 ( ) CvC 0− + V (s) C − ( ) ( ) − = t C C i t C v t d 1  ( ) ( ) (0 ) C = C −CvC − I s sCV s

例下图所示电路起始状态为0,t=0式开关S闭合,接入直流 电源E,求电流波形 解 (1)起始状态为0→i(0)=0A,nC(0)=0V (2)t>0的s域等效模型 )程(0+8()+(=

( ) 电源 求电流 波形 例下图所示电路起始状态为 ， 式开关 闭合，接入直流 E i t t , 0 = 0 S S L C E i(t) R Ls sC 1 R s E I(s) (1) 起始状态为０ i L (0− ) = 0A, vC (0− ) = 0V (2) t  0的s域等效模型 (3) 列方程 ( ) ( ) ( ) s E I s Cs LsI s + RI s + = 1 解：

极点 Ls/(s)+R()+(s E S E E L R SI LS+R+ s-+ SC L LC 极点1P2 2 L P1 2R LC 2R 2R LC 故(5) L尔ELE=L pPI p2 1 D S-D

极点 ( ) ( ) ( ) s E I s Cs LsI s + RI s + = 1 ( )       + + =       + + = LC s L R s L E sC s Ls R E I s 1 1 1 2 极点p1, p2 ： R LC L R L p 1 2 2 2 1  −      = − + R LC L R L p 1 2 2 2 2  −      = − − 故 ( ) ( )( ) 1 2 1 L s p s p E I s − − = ( ) ( ) ( )       − − − − = 1 2 1 2 1 1 1 L p p s p s p E