复旦大学：《材料物理——材料力学 Mechanics of materials》教学课件_第三章 扭转（概念和实例、外力偶矩的计算、圆轴扭转时的应变力、非圆截面杆扭转的概念）

第三章扭转 材料物理 王珺 2019.3

第三章 扭转 材料物理 王珺 2019.3

主要内容 扭转的概念和实例 外力偶矩的计算 扭矩和扭矩图 纯剪切 圆轴扭转时的应力 圆轴扭转时的变形 非圆截面杆扭转的概念

主要内容 • 扭转的概念和实例 • 外力偶矩的计算 – 扭矩和扭矩图 • 纯剪切 • 圆轴扭转时的应力 • 圆轴扭转时的变形 • 非圆截面杆扭转的概念

扭转的概念和实例 扭转变形 杆的任意两个横截面都发生绕轴线的相对转动 构件实例(主要针对圆形截面的杆件扭转) 车床的光杆、搅拌机轴、汽车传动轴 杄件两端作用两个大小相等、方向相反、且作用平面垂直于杆件轴线的力偶 方向盘 丝锥 力偶瞪解 阻力偶

扭转的概念和实例 • 扭转变形 – 杆的任意两个横截面都发生绕轴线的相对转动 • 构件实例（主要针对圆形截面的杆件扭转） – 车床的光杆、搅拌机轴、汽车传动轴 方向盘 丝锥 杆件两端作用两个大小相等、方向相反、且作用平面垂直于杆件轴线的力偶。 力偶 阻力偶

外力偶矩的计算 研究扭转应力和变形之前,先讨论作用于轴上的外力偶矩及横截面上的内力。 外力偶矩往往不直接给出,常给出轴传送的功率和转速 例:如右图所示的传动轴。电机通过带 轮输入AB轴的功率为P(单位为kW), 若轴的转速为n(r/min),求轴的外力 偶矩。 传动轴 注意:1kW=1000Nm/s 电动机 因此输入功率为P,就相当于每秒内, 输入P*1000的功,其正好等于AB轴在外 力偶矩M作用下1一秒钟所完成的功 2丌× 60×e=P 1000 由此可以得到计算外力偶矩的公式:MlNm=9549k r/min

外力偶矩的计算 研究扭转应力和变形之前，先讨论作用于轴上的外力偶矩及横截面上的内力。 外力偶矩往往不直接给出，常给出轴传送的功率和转速。 例：如右图所示的传动轴。电机通过带 轮输入AB轴的功率为P（单位为kW）， 若轴的转速为n（r/min），求轴的外力 偶矩。 注意： 1 kW= 1000 Nm/s 因此输入功率为P，就相当于每秒内， 输入P*1000的功，其正好等于AB轴在外 力偶矩Me作用下1一秒钟所完成的功。 由此可以得到计算外力偶矩的公式：

扭转内力 作用于轴上的所有外力偶矩都求出后,即可以用截面法研究扭转时横截面 上的内力。 假想将圆轴沿n-n截面分成两部分,任取一部 分作研究对象,内力将与外力偶矩平衡。由 (a) 此推知n-n截面上的内力系必归结为一个内力 偶矩T,由平衡方程可求出T。 ∑Mn=0=T-Me=0=T=Ma 7称为n-n截面上的扭矩,是分开的两部分在 n-n截面上相互作用的内力系的合力偶矩。 取第二部分作为研究对象,所得 扭矩r的符号规定:右手螺旋法 结果也相同 则表示矢量的方向,则其方向 与截面外法线方向相同时为正 鲁6 T=Me反之为负 由此,上例中T为正,无论用哪 个部分计算,得出的7均相同

扭转内力 作用于轴上的所有外力偶矩都求出后，即可以用截面法研究扭转时横截面 上的内力。 扭矩T的符号规定：右手螺旋法 则表示矢量T的方向，则其方向 与截面外法线方向相同时为正， 反之为负。 由此，上例中T为正，无论用哪 一个部分计算，得出的T均相同。 假想将圆轴沿n-n截面分成两部分，任取一部 分作研究对象，内力将与外力偶矩平衡。由 此推知n-n截面上的内力系必归结为一个内力 偶矩T，由平衡方程可求出T。 T称为n-n截面上的扭矩，是分开的两部分在 n-n截面上相互作用的内力系的合力偶矩。 取第二部分作为研究对象，所得 结果也相同

扭矩和扭矩图(I) 与拉伸/压缩问题类似,若作用于轴上的外力偶多于两个,也可以用图线来表示各 截面上的扭矩沿轴线的变化情况。 扭矩图:横坐标表示横截面的位置,纵坐标表示相应截面上的扭矩 例:传动轴如右图所示,主动轮A输入功 率P=36kW,从动轮B,C,D输出功率 分别为PB=PC=11kW,PD=14kW,轴(a) 的转速为n=300/min。试画出轴的扭矩 B C D 图 kw 按之前的公式求作用于各轮上的外力偶矩 9549 r/m 36 9549× N.m=1146N.m 300 Mn=9549 300Nm=350N·m 14 9549× N.m=446N.m 300

扭矩和扭矩图（I） 与拉伸／压缩问题类似，若作用于轴上的外力偶多于两个，也可以用图线来表示各 截面上的扭矩沿轴线的变化情况。 扭矩图：横坐标表示横截面的位置，纵坐标表示相应截面上的扭矩。 例：传动轴如右图所示，主动轮A输入功 率PA=36 kW，从动轮B，C，D输出功率 分别为PB ＝PC ＝11 kW，PD ＝14 kW，轴 的转速为n=300 r/min。试画出轴的扭矩 图。 按之前的公式求作用于各轮上的外力偶矩 36 9549 N m 1146 N m 300 MeA            11 9549 N m 350 N m 300 MeB            14 9549 N m 446 N m 300 MeC           

扭矩和扭矩图(I BC段内,设扭矩为1、方向如左图所示, 由平衡得 TI+MeB=0 B C T1 MeB=-350N. m 负号表示扭矩方向与假设方向相反,按 (b) 照右手螺旋法则,T1为负。BC段内,扭 矩大小不变。 同理,CA段内有 12+MeC +MeB=0 TT/Nm 446 T2=-Mec -MeB=-700N.m ITTIITTTTTT AD段内: 350 700 T3-MeD=0 13=MeD=446N·m

扭矩和扭矩图（II） BC段内，设扭矩为T1、方向如左图所示， 由平衡得： 负号表示扭矩方向与假设方向相反，按 照右手螺旋法则，T1为负。BC段内，扭 矩大小不变。 同理，CA段内有： AD段内：

扭矩和扭矩图(II M 2 交换位置 AT/Nm 446 外力偶矩 cR M 700 扭矩图 对同一根轴,若把主动轮安置于轴的一端,「4TN·m 例如放在右端,可求出最大的扭矩为 1146Nm。 350 扭矩与主动轮从动轮安置的位置相关。 700 两者相比,主动轮在中部比较合理。 1146

扭矩和扭矩图（III） 交换位置 外力偶矩 扭矩图 对同一根轴，若把主动轮安置于轴的一端， 例如放在右端，可求出最大的扭矩为 1146Nm。 扭矩与主动轮从动轮安置的位置相关。 两者相比，主动轮在中部比较合理

纯剪切 薄壁圆简扭转肘的切应力 与杆件拉/压受到轴力类似,根据 需要讨论杆件扭转的应力 杆件中的扭矩,不能完全衡量杆件 和变形 的强度 先考察薄壁圆筒扭转 研究直杆扭转时切应力和切应变的规律 扭转变形后,q-q截面和p一p截面发生 圆筒壁和半径相比很小,扭转前, 相对转动,方格左右两边发生相对错动 沿圆周线和纵向线围成方格。 但沿轴线和周线方向的长度都没有变化 横截面上只有切应力,沿轴线相等,构 成与外扭矩平衡的内力系。由于圆筒壁圆筒横截面和包含轴线的纵向截面上 很薄,可认为剪应力沿圆筒厚度不变 都没有正应力

纯剪切——薄壁圆筒扭转时的切应力（I） 与杆件拉／压受到轴力类似，根据 杆件中的扭矩，不能完全衡量杆件 的强度。 需要讨论杆件扭转的应力 和变形 先考察薄壁圆筒扭转 研究直杆扭转时切应力和切应变的规律 圆筒壁和半径相比很小，扭转前， 沿圆周线和纵向线围成方格。 扭转变形后，q－q截面和p－p截面发生 相对转动，方格左右两边发生相对错动， 但沿轴线和周线方向的长度都没有变化。 圆筒横截面和包含轴线的纵向截面上 都没有正应力。 横截面上只有切应力，沿轴线相等，构 成与外扭矩平衡的内力系。由于圆筒壁 很薄，可认为剪应力沿圆筒厚度不变

纯剪切—薄壁圆筒扭转时的切应力( p q 取微元体如左图,左右 横截面上内力系对x轴的力矩为: 国两侧切应力大小相等 2丌r6·T 方向相反。其与上下两 x个面上切应力构成的力 根据力矩平衡方程∑Mn= 偶矩平衡 Me=2丌r6·r.r (rddy )d.c=(r'Sdac)d g M 化简后得:T=7 T 上式表明:相互垂直的两个平面上,切应力必然成对 存在,且数值相等;两者都垂直两个平面的交线,方 微元体的四个侧面只有 向则共同指向或共同背离该交线。即切应力互等定理, 切应力并无正应力,这 也称为切应力双生定理 种情况称为纯剪切

纯剪切——薄壁圆筒扭转时的切应力（II） 横截面上内力系对x轴的力矩为： 根据力矩平衡方程 取微元体如左图，左右 两侧切应力大小相等、 方向相反。其与上下两 个面上切应力构成的力 偶矩平衡 化简后得： 上式表明：相互垂直的两个平面上，切应力必然成对 存在，且数值相等；两者都垂直两个平面的交线，方 向则共同指向或共同背离该交线。即切应力互等定理， 也称为切应力双生定理。 微元体的四个侧面只有 切应力并无正应力，这 种情况称为纯剪切