复旦大学：《固体物理导论》教学课件_第一章 晶体的结构及其对称性 1.4 晶体的宏观对称性

14晶体的宏观对称性

1.4 晶体的宏观对称性

基本概念 对称性:一个物体(图形)具有对称性,是指该物 体(或图形)是由两个或两个以上的部分组成,经 过一定的空间操作(线性变换),各部分调换位置 之后,整个物体(或图形)保持不变的性质 对称操作:维持整个物体不变而进行的操作;或者 操作前后物体仼意两点间的距离保持不变的操作 对称素:对称操作中保持不变的几何要素,如点线 面 阶次:对称图形中所包括的等同部分的数目,代表 对称程度的高低

基本概念 • 对称性：一个物体（图形）具有对称性，是指该物 体（或图形）是由两个或两个以上的部分组成，经 过一定的空间操作（线性变换），各部分调换位置 之后，整个物体（或图形）保持不变的性质 • 对称操作：维持整个物体不变而进行的操作；或者 操作前后物体任意两点间的距离保持不变的操作 • 对称素： 对称操作中保持不变的几何要素，如点线 面 • 阶次：对称图形中所包括的等同部分的数目，代表 对称程度的高低

等同图形:几何学上,将具有对称形象的物体的各部 分称为等同图形,分为相等图形和不相等图形 ·相等图形:完全迭合的等同图形。(或为全等图形) 不相等图形:互成镜像的等同而不相等的图形(例如 左右手) ·对称图形:由两个或两个以上的等同图形构成,并且 很有规律地重复。对称图形中既包括相等图形又包括 不相等图形

• 等同图形：几何学上，将具有对称形象的物体的各部 分称为等同图形，分为相等图形和不相等图形 • 相等图形：完全迭合的等同图形。（或为全等图形） • 不相等图形：互成镜像的等同而不相等的图形（例如 左右手） • 对称图形：由两个或两个以上的等同图形构成，并且 很有规律地重复。对称图形中既包括相等图形又包括 不相等图形

雪花图案:六个角 对称图形:雪花;等同图形:一个角,相等图形 阶次:6; 对称要素:垂直于面的直线 对称操作:旋转 自然界八种雪花的图案

雪花图案：六个角 • 对称图形：雪花； 等同图形：一个角，相等图形； 阶次：6； 对称要素：垂直于面的直线， 对称操作：旋转

宏观对称性的描述 ·对称操作和线性变换 从数学上,点对称操作时对晶体作一定的几何变换,经过某 对称操作,把晶体中任一点r(x1x2x3)变为r(x12x2x3), 可以用线性变换A来表示:r(x12x2x3)=Ar(x1x2x) 4 21 22 23 操作前后,两点对o点的距离保持不变 rix x 7+x=x12+x)2+ 2 2 2 2 (r)·(r")=(r)r(r) r(xI, x3) (r)r.(r)=(Ar)7.(Ar)=(r)AAr=(r)·(r) ATA=I

一、宏观对称性的描述 • 对称操作和线性变换 从数学上，点对称操作时对晶体作一定的几何变换，经过某 一对称操作，把晶体中任一点 r(x1 ,x2 ,x3 ) 变为 r’ (x1 ’,x2 ’ ,x3 ’)， 可以用线性变换A来表示： r’ (x1 ’,x2 ’,x3 ’) =Ar(x1 ,x2 ,x3 )            31 32 33 21 22 23 11 12 13 a a a a a a a a A O x1 x3 x2 r(x1 ,x2 ,x3 ) r’ (x1 ’,x2 ’,x3 ’) 操作前后，两点对o点的距离保持不变， 2 3 2 2 2 1 2 3 2 2 2 x1  x  x  x  x  x (𝒓′) 𝑻 ∙ 𝒓 ′ = 𝒓 𝑻 ∙ (𝒓) (𝒓′) 𝑻 ∙ 𝒓 ′ = (𝑨𝒓) 𝑻 ∙ 𝑨𝒓 = 𝒓 𝑻𝑨 𝑻𝑨𝒓 = 𝒓 𝑻 ∙ (𝒓) 𝑨 𝑻𝑨 = 𝑰

几个结论1 A矩阵的线性变换是正交变换 如果一个晶体在某正交变换下不变,就称 这个变换是晶体的一个对称操作 要描述一个晶体的对称性就是要列举它所 具有的全部对称操作,一晶体所具有的对 称操作越多,表明它的对称性越高

几个结论1 • A矩阵的线性变换是正交变换 • 如果一个晶体在某正交变换下不变，就称 这个变换是晶体的一个对称操作 • 要 描述一个晶体的对称性就是要列举它所 具有的全部对称操作，一晶体所具有的对 称操作越多，表明它的对称性越高

几个结论2 三维晶体的正交变换总可以表示为绕某 个轴的旋转,对某中心的反演和它们的组 ,基本的变换矩阵可表示为: 绕轴的旋转,设转轴为轴,旋转角为, cos -sine o A= sing COs0 0 JA=1 0 中心反演,r→>-r 100 A A 00

几个结论2 • 三维晶体的正交变换总可以表示为绕某一 个轴的旋转，对某中心的反演和它们的组 合，基本的变换矩阵可表示为： • 绕轴的旋转，设转轴为z轴，旋转角为， • 中心反演， r  -r 𝑨 = cos 𝜃 −𝑠𝑖𝑛𝜃 0 𝑠𝑖𝑛𝜃 𝑐𝑜𝑠𝜃 0 0 0 1 , 𝑨 =1 𝑨 = −1 0 0 0 −1 0 0 0 −1 , 𝑨 =-1

对称素 如果一个物体绕某轴转动2T/m及其倍数不变, 称该轴为n次旋转轴,记为n。 ·如果一个物体对某点反演不变,称这个点 位对称心,记为i。 如果一个物体绕某轴旋转2m/m后再反演不变, 称该轴为n次旋转反演轴,记为兀

对称素 • 如果一个物体绕某轴转动2/n及其倍数不变， 称该轴为n次旋转轴，记为n。 • 如果一个物体对某点反演不变，称这个点 位对称心，记为i。 • 如果一个物体绕某轴旋转2/n后再反演不变， 称该轴为n次旋转反演轴，记为𝑛

二、平移对称性对宏观对称性的限制 晶体(周期性)可能具有的对称素 设B1ABA1,是晶体中某一晶面上的一个晶列,AB为这 晶列上相邻的两个格点。 B 06 B 1

二、平移对称性对宏观对称性的限制 • 晶体（周期性）可能具有的对称素 设B1ABA1是晶体中某一晶面上的一个晶列，AB为这 一晶列上相邻的两个格点。 A1 B A B 1   B A 

若晶体绕通过格点A并垂直于纸面的 B′ m L轴顺时针转确角后能自身重合,则 由于晶体的周期性,通过格点有 一转轴u’。 B B A'B是AB的整数倍, B'A=AB(1-2 CoS 0)=nAB =(1-2cos) n可以为-1,0,1,2,3,对应0角为0(2/1),2π/6,2π/4,2π/3,2π/2。 晶体中允许的旋转对称轴只能是1,2,3,4,6次旋转轴;反演轴同理

若晶体绕通过格点A并垂直于纸面的 u轴顺时针转角后能自身重合，则 由于晶体的周期性，通过格点B也有 一转轴u’。 AB 是 AB 的整数倍， A1 B A B 1   B A  𝑛 = 1 − 2cos𝜃 𝐵′𝐴′ = 𝐴𝐵 1 − 2 cos 𝜃 = 𝑛𝐴𝐵 n可以为-1，0，1，2，3，对应角为0（2/1）， 2/6， 2 /4， 2 /3， 2 /2。 晶体中允许的旋转对称轴只能是1，2，3，4，6次旋转轴；反演轴同理