北京工业大学：《材料力学》课程教学资源（PPT课件）第九章 应力状态的概念 Theory of Stress State（9.3-9.7）

§9.3应力圆( Stresses circle) 为什么叫莫尔圆( Mohr's circle)? 首先由 Otto mohr(1835-1918)提出 (又是一位工程师) 《来由》 能否在一张图上表示?的应力 点无穷多个微元上的 或者说, 把看成参数,能否找到σ。与τ的函数关系?

§9.3 应力圆 （ Stresses Circle ） 为什么叫莫尔圆( Mohr’s Circle ) ？ 首先由Otto Mohr（1835-1918）提出 ( 又是一位工程师) 《来由》 一点无穷多个微元上的应力 能否在一张图上表示？ 或者说， s a a 把a看成参数，能否找到 与  的函数关系？

、斜截面应力 6xyvxcoS2a-try sin 2a 2 sin zati cosla 往下是关键的一步-平方和相加,得 o.+ yt a/n在σa坐标系中,与 落在一个圆上 0 (疝力圆或莫尔圆)

       + − = − − + + = a  a s s  a  a s s s s s a a sin2 cos2 2 cos2 sin2 2 2 xy x y xy x y x y 2 2 2 2 2 2 xy x y x y  s s  s s s a a +         − + =         + − 往下是关键的一步---平方和相加，得 一、斜截面应力 y 0 sy xy sx sa a a x  n sx xy sy x y O 在 - 坐标系中， 与 落在一个圆上 （应力圆 或 莫尔圆） s a a  s a a 

圆心?(0x+o 0)半径 R 应力圆的画法 第一种画法 (1)在σn轴上作出 A0(o3,0),B0(oy) A B (2)A0,B0的中点为圆心C (3)过A0垂直向上取v得 B A,CA为半径 (4)以C为圆心、CA为半径 画圆

圆心？— ,0) 半径？— 2 ( s x +s y 2 2 2 xy x y R  s s +         − = 二、应力圆的画法 •第一种画法 （1）在sa轴上作出 A0 (sx ,0), B0 (sy ,0) （2） A0 , B0的中点为圆心C （3）过A0垂直向上取xy得 A， CA为半径 0 sa a C A0 B0 A B s y s x （4）以C 为圆心、CA为半径 画圆

第二种画法 (1)坐标系内画出点 BO (2)AB与an轴的 交点C是圆心 D( Oa, ta (3)以C为圆心 a 以AC为半径 画圆 y2 yr 应力圆或奠尔圆

第二种画法 （1）坐标系内画出点 A(s x，xy) B (sy，yx) （2） AB与sa轴的 交点C是圆心 （3） 以 C 为圆心 以AC为半径 画 圆 —— 应力圆 或 莫尔圆 sx xy sy x y O n sa a a A(sx , xy) O sa a C B(sy , yx) x 2a n D( sa , a )

以上由单元体公式 应力圆(原变换) 下面寻求: 由应力圆 单元体公式(逆变换) 只有这样,应力圆才能与公式等价 换句话,单元体与应力圆是否有一一对应关系?

以上由单元体公式 应力圆（原变换） 下面寻求： 由应力圆 单元体公式（逆变换） 只有这样，应力圆才能与公式等价 换句话，单元体与应力圆是否有一一对应关系？

为什么说有这种对应关系? DE=Rsin/180-(2a+2oo/=Rsin(2a+20o (RcoS 2ao)sin 2a+(Rcos 2do)cos 2a o.+ sin 2a+t cos 2a 2 an、D(oa,a) OE=OC-EC 2a 0x+0-Rcos/180°-(2a+2a0 2c→oa 0 a.÷6+Rcos(2a+2a0 Q(y,) Oxt y+ r(cos 2a cos 2ao-sin 2a sin 2ao) o+0.O.-0 cos 20-t sin 2a=o

为什么说有这种对应关系？ a a  a  s s a a a a a a a a + = + = = + = − + = + 2 2 2 2 2 2 2 180 2 2 2 2 0 0 0 0 sin cos ( Rcos )sin ( Rcos )cos D E Rsin[ ( )] Rsin( ) x y x y o a s a a  s s s s a a a a s s a a s s a a s s − = − + + = + − + = + + + = − − + + = = − 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 180 2 2 2 0 0 0 0 cos sin R(cos cos sin sin ) Rcos( ) Rcos[ ( )] O E O C E C x y x y x y x y x y x y o 0 sa a C A(sx , xy) B(sy , yx) x 2a n D( sa , a ) E 2a0

单元体与应力圆的对应关系 (1)单元体的右侧立面 应力圆的A点(2a0) (2)斜截面和应力(aa,τa) ry 应力圆上一点D点 和坐标(aa,za (3)单元体上夹角a D(Oa, ta 应力圆上CA与CD夹角 2a/(ox x,xy, 2a且转向一致 a(4)主单元体上σ所在面法向 2 是由x轴逆时针转a0 Q(σ,) ,轴上应力圆最右端

单元体与应力圆的对应关系 （1）单元体的右侧立面 —— 应力圆的 A 点（2a 0 ） （2）斜截面和应力(s a ， a ) —— 应力圆上一点 D 点 和坐标(s a ， a ) （3）单元体上夹角a —— 应力圆上 CA 与 CD 夹角 2a 且转向一致 sx xy sy x y O n sa a a O sa a C A(sx , xy) B(sy , yx) x 2a n D( sa , a ) 2a0 （4）主单元体上s 1所在面法向 是由x 轴逆时针转a 0 —— s a轴上应力圆最右端

四、应力极值 OC±R 半径 maX R+O a y)2 2 B(可,xx maX =±R 半径 mIn min )2+

2 2 3 1 2 2 x y x y x y O C R  s s s s s s + −  + =  =    （ ） 半 径 四、应力极值 2 2 min max 2 xy x y R  s s   + − =  =     （ ） 半径 A(sx , xy) max  O C sa a B(sy , yx) x 2a1 min  2a0 s3 s2 s1

五、平面应力状态的分析方法 1、解析法 精确、公式不好记—7个 一般公式2个(正、切应力),极值应力5个 (极大与极小正应力,极大与极小切应力, 主单元体方位角) 2、图解法 不必记公式、数值不崭确 有没有集二者优点、避二者缺点的方法? 我提出了这种方法 3、图算法 前半部—画莫尔圆 后半部—看图精确计算

五、平面应力状态的分析方法 1、解析法 精确、公式不好记 —— 7个 一般公式2个（正、切应力），极值应力5个 （极大与极小正应力，极大与极小切应力， 主单元体方位角） 2、图解法 不必记公式、数值不精确 有没有 集二者优点、避二者缺点 的方法 ？ 我提出了这种方法 —— 3、图算法 • 前半部 —— 画莫尔圆 • 后半部 —— 看图精确计算

例单元体上应力如图,求出主应力,画出主单元体 30 ,=-80,on=0,z=30 80 80 1、取O,的中点C为圆心 以AC为半径画莫尔圆 30 单位:MPa 算出心标0C=-40,半径 R=AC=AD +DC=50 A(-80,30) 3、算出主应力、切应力极值 1=0C±R lOMPa 90MPa D R=50MPa nn B 4、算出方位角

s x = −80, s y = 0,  = 30 例 单元体上应力如图，求出主应力，画出主单元体 30 80 单位：MPa 80 30 s  s 1 s 3 O A (−80, 30) B C s x s y D 1、取 s x ,s y 的中点C为圆心 以 AC 为半径画莫尔圆 2、算出心标 0C = -40，半径 3、算出主应力、切应力极值 50 2 2 R = AC = AD + DC = 4、算出方位角    − =  =    MPa MPa C R 90 10 0 3 1 s s  max = - min = R = 50MPa