北京工业大学：《材料力学》课程教学资源（PPT课件）第十二章 求变形的能量法

子曰: 好学近予知, 力行近乎仁 知耻近乎勇。 知斯三者,则知所鸣兮身。 知所以修身,则知所以治人。 知所叭治人,则知所以治天下圖家矣。 《中庸》

子曰： 好学近乎知， 力行近乎仁， 知耻近乎勇。 知斯三者，则知所以修身。 知所以修身，则知所以治人。 知所以治人，则知所以治天下国家矣。 《中庸》

第十二章求变形的能量方法 Energy Method for Calculating Deformation 前面解决了强度问题(简单变形组合变形) 刚度问题怎么办? 1、能否避免组合变形的微分方程? 2、能否只求出若干控制点的变形,避免求整个变形曲线 用示本质亭根—能量法

第十二章 求变形的能量方法 Energy Method for Calculating Deformation 前面解决了强度问题（简单变形——组合变形） 刚度问题怎么办？ 1、能否避免组合变形的微分方程？ 2、能否只求出若干控制点的变形，避免求整个变形曲线 用揭示本质法寻根—— 能量法

F=如 mV 质点力学挠曲线 sndh 2 F Fdt=mv-mvo M() y 能量方法? El 本章就寻找能量方法,用于求位移 优点: 1.不管中间过程,只算最终状态 2.能量是标量,容易计算

3 本章就寻找能量方法，用于求位移 优点： 1. 不管中间过程，只算最终状态 2. 能量是标量，容易计算 质 点 力 学 挠 曲 线 能量方法？

内容 §12-1杆件变形位能的计算 §12-2卡氏定理 §12-3莫尔定理 s124计算莫尔积分的图乘法 §125互等定理 §126虚功原理

内 容 §12–1 杆件变形位能的计算 §12–2 卡氏定理 §12–3 莫尔定理 §12–4 计算莫尔积分的图乘法 §12–5 互等定理 §12–6 虚功原理

§12-1杆件变形位能的计算 Calculating Potential Energy of Component Deformation 条件 大前提:1、小变形;2、服从郑玄一胡克定律 线弹性体的响应(内力、应力和变形)为外载的线 性函数 小前提:缓慢加敢 变力做功,功只转成变形位能(不转成动能、热能)

§12–1 杆件变形位能的计算 Calculating Potential Energy of Component Deformation 一、条件 大前提：1、小变形； 2、服从郑玄—胡克定律 线弹性体的响应（内力、应力和变形）为外载的线 性函数 小前提：缓慢加载 变力做功，功只转成变形位能（不转成动能、热能）

二、变力做功—贮能 外力缓慢做功W,无损失地转化为变形位能U, 贮存于弹性体内部:U=W =-P△ P广义力(力,力偶) Δ广义位移(线,角位移 P AeW=|P=k△△ k2=-P△ 进而计算可变形固体的位移、变形和内力,称 为能量方法

二、变力做功—贮能 外力缓慢做功W ，无损失地转化为变形位能U， 贮存于弹性体内部： U = W 进而计算可变形固体的位移、变形和内力，称 为能量方法 P 广义力（力，力偶） 广义位移（线，角位移 P ）   d

三、杆件变形能的计算 1.轴向拉压杆的变形能计算 微元dx上轴力M(x)做功 dw=N(r)dA dA- Ndr E EA eA U=w N( d L 2EA

三、杆件变形能的计算 1.轴向拉压杆的变形能计算 微元 dx 上轴力N(x)做功

2.扭转杆的变形能计算 微元dx上扭矩T(x)做功 dw =T(xdo pdo=yx rdx pr(r)dx d T(r)dx G Gl G U=w[T( dx L gLp

2.扭转杆的变形能计算 微元 dx 上扭矩T(x)做功

3.弯曲杆的变形能计算 微元dx上弯矩M(x)做功 M dw=-Mde M P+yd8-pdB VM a a a0 E El (b) I M p EI dx Mdx d M2(x) U=w= dx P EI L 2EI

3.弯曲杆的变形能计算 微元 dx 上弯矩M(x)做功

四、变形能的普遍表达式 1、轴力、扭矩和弯矩各自的变形垂直,相互不做功 变形能与加载次序无关,位能相互叠加(略掉剪力 的影响) U N(x) Pdx t 7(x) dx t M2(x) 丿L2EA L 2GIp 2EI a2(x) dv+ dy t dv 2E 2G 2E

四、变形能的普遍表达式 1、轴力、扭矩和弯矩各自的变形垂直,相互不做功 2、变形能与加载次序无关，位能相互叠加（略掉剪力 的影响） v E x v G x E x x EI M x x G I T x x EA N x U L w L L n L L P L d ( ) d ( ) dv ( ) d ( ) d ( ) d ( )       = + + = + + 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2   