北京工业大学：《材料力学》课程教学资源（PPT课件）第八章 弯曲变形

第八章弯曲变形 Bending deformation 赠言 大过,栋橈,利有攸往,亨 《周易上经·大过》 注释: 大过,卦名;非常过度的意思 栋,即梁 橈(rao),挠(nao)曲的树木称为橈 攸,即所;利有攸往,意思有利于所往的方向 亨,亨通 理解: 事物发展得非常过度,好象栋梁挠曲,有利于所 往方向的继续发展,达到亨通

1 第八章 弯曲变形 Bending deformation 赠言： 大过，栋橈，利有攸往，亨。 《周易上经 ·大过》 注释： • 大过，卦名；非常过度的意思 • 栋，即梁 • 橈（rao），挠（nao）曲的树木称为橈 • 攸，即所；利有攸往，意思——有利于所往的方向 • 亨，亨通 理解： 事物发展得非常过度，好象栋梁挠曲，有利于所 往方向的继续发展，达到亨通

以上理解有2个关键:1、横看卦象;2、阴爻看成支座。 “小过”卦可以佐证 小过,亨,利贞,可小事,不可大事

2 以上理解有2个关键：1、横看卦象；2、阴爻看成支座。 “小过”卦可以佐证 —— 小过，亨，利贞，可小事，不可大事，…

弯曲问题的分析过程 弯曲内力弯曲应力弯曲变形 解决刚度问题 尽量从理论上分析 般 然后实验上验证个别

3 弯曲问题的分析过程： 弯曲内力 弯曲应力 弯曲变形 解决刚度问题 尽量从理论上分析 —— 一般 然后实验上验证 —— 个别

拉压 伸长量 扭转 转角 弯曲 挠度 deflection 转角 rotation 工程上的粲变形问题不容视 影响使用 减少冲击、振动 引发破坏 利用变形作为开关 产生不安全感 提高性能

4 拉压 伸长量 扭转 转角 弯曲 挠度deflection 转角rotation 工程上的梁变形问题不容忽视 •影响使用 •引发破坏 •产生不安全感 •减少冲击、振动 •利用变形作为开关 提高性能

本章的任务 1.建立小变形挠度、转角曲线微分方程 2.用积分法和加法求梁的挠度和转角 研究范围:等直梁在弯曲时(线、角)位移 的计算 研究目的:①对梁作刚度校核 ②解超静定梁

5 本章的任务 1. 建立小变形挠度、转角曲线 微分方程 2. 用 积分法和 叠加法 求梁的挠度和转角 研究范围：等直梁在弯曲时（线、角）位移 的计算 研究目的：①对梁作刚度校核 ②解超静定梁

81梁变形的基本概念 Basic concepts of beam deformation 变形前梁截面:平面 6 P f 变形后梁轴 线挠曲线 变形后梁截面:仍为平面 挠度:y 梁截面转角:6

6 8.1 梁变形的基本概念 Basic concepts of beam deformation 变形后梁轴 线挠曲线 挠度：y 变形后梁截面：仍为平面 梁截面转角： P x y C  C1 f 变形前梁截面：平面

1.挠度:横截面形心沿垂直于轴线方向的线位移 用y表示,与坐标f同向为正,反之为负 2.转角:横截面绕其中性轴转动的角度,用θ表示 顺时针转动为正,反之为负 3.挠曲线:梁变形后,轴线变成的光滑曲线 其方程为y=f(x)

7 1.挠度：横截面形心沿垂直于轴线方向的线位移 用 y 表示，与坐标 f 同向为正，反之为负 2.转角：横截面绕其中性轴转动的角度，用 表示 顺时针转动为正，反之为负 3.挠曲线：梁变形后，轴线变成的光滑曲线 其方程为 y = f (x)

4.转角与挠曲线的关系 5.刚度校核 D8/ =y|6=y max [y] 小变形 m≤[6] 许用挠度见P220表81

8 5. 刚度校核 [ ] max y  y [ ]  max   许用挠度见[P220]表8.1 4. 转角与挠曲线的关系： d d tg y x f  = =   = y  小变形 x P y C  C1 f

82梁挠曲的近似微分方程 Differential Equation of beam deformation 1_M(x) 已知曲率为 M>0 f"(x)0 弯矩与2阶导数的符号相反 上式取负号

9 EIz 1 M (x) = 已知曲率为  z z EI M x f x ( )  ( ) =  ( ) (1 ) 1 ( ) 2 3 2 f x f f x    +   =   小变形 f x M>0 f (x)  0 f x M<0 f (x)  0 弯矩与2阶导数的符号相反 上式取负号 8.2 梁挠曲的近似微分方程 Differential Equation of beam deformation

f"(x)= M(x) El 挠曲线近似微分方程 对于等截面直梁,可写成如下形式: E"(x)=-M(x)

10 —— 挠曲线近似微分方程 EIf (x) = −M (x) 对于等截面直梁，可写成如下形式： EI M x f x ( ) ( ) = −