运城学院：《电动力学 Electrodynamics》课程教学资源（电子教案，打印版）第四章 电磁波的传播

第4章电磁波的传播 1.波的偏振 波的振动方向对于传播方向的不对称性叫做波的偏振。只有横波才有偏振现象。一般情 况，电磁波的电场矢量可分解为两个正交的分量 E(2,t)=(Fe:Eze"e,)eic-0) 考察z=0面的偏振态，其电场分量为 E.芒B1 cosal E,=E2cos(axt-0) 消去t可得 经 2coso sin20 ”E1B2 这是一个非标准形式的椭圆方程，表明合成波电矢量的端点轨迹为一椭圆。 当0=0，π时，合成波为一线偏振波，偏振角，即E与x轴夹角为 a=g(土营 当0=士受，且B=:=时，合成波为因偏拔波，其振幅为，偏振角为 a=土t 日=时为右旋圆偏振波，0=一时，为左旋圆偏振波。 除上述两种特殊情况外，为椭圆偏振波，>0为右旋椭圆偏振波，0<0为左旋椭圆偏 振波。偏振角为 a=g-[a0] Eicosat 2.反射系数与透射系数 为方便可把电场矢量分解为E1和E,:两种情况，电场矢量垂直和平行于入射面(k 与界面法线构成的平面)的反射系数、透（折）射系数分别为 1

=- (cos-nacost sin(0-0) "1cos0十2Cos0 sin(0+0) 4=(含)1=。 2nCos0 2cososin) n w1cos0十w2cos0 = sin(0+) 且有1=1十1。 cos0-n2coso t8(0一) E。 ,cos0+a1cos0=一 培(0+6) =( 爱= 2R1cos0 2cososin) acos0+cos= sin(0+0)cos(0-) 且有 h= cosn cos(1-) 对于垂直入射(0=0)的特殊情况，上面两式简化为 1=( )1-4一 Eo 1十2 2: :十82 =(爱= 2二程 2十花1 t= 2N1 E 2十81 定义功率反射系数和功率透射系数为 R= s·nl s·nl T= lS·nl 3·n 且有 R+T=1 对于入射波电场矢量垂直、平行于入射面情况分别有 R,=: sin2(0-) |B0L2 sin2(0+) T1=02cos7132 wicosn EoL2 风-原部 Ti= nacoso Fon3 1Cos0IEa∥日 2

3.布儒斯特角与临界角 对于平行于入射面的偏报波存在一一个特殊的入射角。一一布儒斯 特角，可使r=0,无反射。0。为 0,=tg()=sin√a十 且有 0=2-0, 一个混合偏振波以。入射到界面时，反射波仅为垂直于入射面的偏振波。 在1>，波由光密媒质入射到光硫煤质时，入射角等于或大于临界角，发生全反 射。临界角为 0.=sin-1 粘1 发生全反射时，透射波电场为 E=Eoe-xe(-) 上式表示沿：方向传播的电磁波，其相速以=花=0·场量沿方向按指数衰减。透入 第二媒质中的薄层厚度x为 1 K-1= 21 k√siu20-u2 2m√sin20-w2 式中为媒质1中的波长。沿z方向透入第二媒质的平均能流密度为零。 4.矩形波导 矩形波导的一些结论 在管内沿z轴方向传播的定态电磁波的一般形式是 E(x,1)=iE,(x,y)+jE,(z,y)+kE(x,y)Jeich,m) H(x,t)=〔iH,(x,y)十jH,(x,y)+kH,(x,y)e- E(x,t)的三个分量是 E,(x,t)=AcosK.rsinKye"k,-, E(xt)=A2sinK.xcosKyek.. E:(x,t)=AssinKaxsinkyeK, 3

由方程7·E=0,得到KA1十K,A2一iKA3=0, 其中 K,=,m=0,123… K,=5,n=012,3… K2-K2+K:=02E 截止频率仙mm= 2)+() 截止波长入.mm=一 2元 ω.m√E 波导波长=行，相速=mK H=-iVXE. 0以 凿E=H=0·望为牌甲瞬(LEN)年驿告中业生年 如果E=0,H.≠0称为横电波(TE), 如果H.=0,E≠0称为横磁波(TM). 对于每一组m、n有两种独立的波型，TEmm波和TMmm波.但 是TMn波和TMm波不存在 例1矩形真空波导的尺寸为1cmX5cm,试问它在频率f= 10GHz下能否工作，如能工作，求出波的可能模式、波导波长和 相速， 解仅当∫大于截止频率时，才有 K,=√K2-K:-K?>0方可传播 计算截止频率 令a=5cm,b=1cm f.o=X103 =3X10Hz10GHz,不可. 又知，TMo波不存在，所以只有TE波， 波导波长A=2π/K· TEo的K=√K-K:=1√(2xf/C)2-(x) 4

=10π√/4/9-1/25. =20√91π 3 λ=3.1cm. 相速 =u/K.=3X0-1.05c. /91 例2 论证矩形波导内不存在TMmo或TMm波， 证 H=了×E,对TM波应该有H.=0,也就是 E_=0, (1) ax ay 由(4.2.3) E:=AicosK,xsinK,yek, E,=AzsinK rcosKyek. (2) E.兰A3sinK rsinKyek,w 、对m、0,K,=0,由(2)看出E,=E,=0,为满足(1， =A2K,cosKre,u'=0,只可能是A2=0,于是E,=0,E=H= 0,TMm波不存在 对0、n,K=0,由(2)看出E,=E,=0,为满足(1) dy =A1K,cosKyeK.'=0,只能是A1=0,导致E=H=0,TMn波 不存在， 本题用矩形波导电磁波解的分量形式求解也很方便。 例3 平面单色波垂直向下传播，由空气射到海面，空气中的%=600m,海水的σ= 4.5S/m,4=80,4=1,试求波透入海水后的波长，相速和穿透深度。· 解电磁波频率为 f=会=3X0=5×10Hz 0=600 海水 4.5 0=2元X6X10×80×36X10=2025>1

故海水为良导体，由 a=B≈ 2 有 λ=2g=2m√0 2 B 2 =2m√2mX5×10×4r×10-'X4.5=2.11m 2×2m×5×105 v= 2w =V4mX107×4.5 =1.05×10m/s 穿透深度 2 6=专三V0o =0.34m 例4 有一对无限大的平行理想导体板，相距b,电磁波沿平行于板面的z轴方向 传播。设波在×方向是均匀的，求可能传输的波型和每种波型的截止频率。 解如图所示，两板间电场分量满足亥姆霍兹方 程 VE.+B=0 (i=x,y,2) (1) 式中k=o√o,且满足边界条件 Bl-0.8=0,E,l-0s=0 0 l-w=0 同时还应满足条件V·E=0。并考虑到波沿z方向传播，应有传播顺子e-,与x无关， 所以设电场分量为 E(y,2,)=B,(y)e4, (2) 代入(1)式有 4B.2+(2-好)R(g)=0 (3) dy' 其解为 E.(y)=Acosk+Bsinky (4) 式中 好=2一好 (5)、 6

式中系数A、B由边界条件确定.由边界条件有 E.=Aisink,ye'C E,=Azcoskrye(,) (6) E.=A3sinkrye) 式中 专二 6n=0,1,2,3, (7) 由又·E=0可得 A=i2k,A,A独立 (8) 礼7T 由(5)、(7)式有 片=片-片=g-阳 a2 n2 与k=0时对应的角机率，称为截止须率，记为心，即有 4= (9) 磁场各分量可由麦克斯韦方程 X E=iouoH 求出，为 H,-生Aeoe apoks ,=点Asink,HeY (10) w H.=ikAcosk ye 对于TM波，H.=0,只有A=0,所以 E.Assink,ye. B,=i卢Acos贴，yeY (11) E.=0, H,=0 H.-i Ascosk,ye 截止频率为 4= 同理，可以证明平板波导还可以传插横电波(TB)和横电磁波(TM)。 7