贵州师范学院：《理论力学》课程教学资源（PPT课件讲稿）刚体的平动与定轴转动

刚体的平动 与定轴转动

刚体的平动 与定轴转动

刚体的平动与定轴转动 、平动： 1运动学特征： 刚体上各点的速度，加速度均相同， 通常以质心的运动来代表刚体的整体运动。 2.运动为微分方程 1)自由刚体：取质心为代表（力系向质心简化) 由三个独立变数可以描述 m成c=∑F xc xc(t) mi心=∑E→ne=∑Fn 已知E,可以解出yc=yc(t) m2e=∑F2 2c=2c(t) -㎡不需用可见自由刚体的平动和质心运动无区与 了0，d

大学 物理刚体的平动与定轴转动 一、平动： 1.运动学特征： 刚体上各点的速度，加速度均相同， 通常以质心的运动来代表刚体的整体运动。 2.运动为微分方程 1)自由刚体：取质心为代表（力系向质心简化）      = = =       = = = =      ( ) ( ) ( ) , z z t y y t x x t F mz F my F mx F mr F C C C C C C i C i z C i y C i x C i 已知 可以解出       由三个独立变数可以描述 M 不需用.可见自由刚体的平动和质心运动无区别。 dt dJ J    =    = 0

刚体的平动与定轴转动 2)实际刚体作平动都受约束 则有刚体运动微分方程： m航=∑同 -0-0,六M-0 其次还需要考虑约束方程，才能解出约束反力及 运动规律

大学 物理刚体的平动与定轴转动 2）实际刚体作平动都受约束 则有刚体运动微分方程： 其次还需要考虑约束方程，才能解出约束反力及 运动规律 C 0, 0, 0  =       = =  =  mr F  i dJ J M dt

刚体的平动与定轴转动 二、定轴转动 1.运动学特征： 1)刚体上各点均在垂直于转轴的平面内作圆周运动， 平行于Z轴的直线上的各点的运动情况 相同，故可用垂直于轴的任一截 面代表刚体，仅有一变量0. 2) 可，=万×，y,=ωsin0,=R,0 a,=,=R,0=R0 2 =R02 R

大学 物理刚体的平动与定轴转动 二、定轴转动 1. 运动学特征： 1)刚体上各点均在垂直于转轴的平面内作圆周运动， 平行于 轴的直线上的各点的运动情况 相同，故可用垂直于轴的任一截 面代表刚体，仅有一变量 . Z  vi =ri ,vi = ri sin i = Ri     2 2     i i i i n i i i i R R v a a v R R = = =  =  = 2)

刚体的平动与定轴转动 2.定轴转动微分方程，可=ok 、一1x -Iv 或J=-I0i-I+Iok 由 =M对固定点0的动量定理 dt 取z分量：M I..0=M. 或I0=M.(①) 若已知M.,I,可解得B=0(t) 注：对固定点o的j,在静坐标系中投影，I,Ix均变化

大学 物理刚体的平动与定轴转动 2. 定轴转动微分方程 k    =           − − − =                     − − − − − − =               z z yz xz z x yz z z yx yy yz xx xy xz z y x I I I I I I I I I I I I J J J 0 0 J I i I j I k xz yz zz     或 = −  −  +  M dt dJ   由 = z z M dt dJ 对固定点 O 的动量定理 取Z分量： = (1) zz z zz z I M I M =  =     或 M ,I (t) 若已知 z zz ，可解得 = 注：对固定点 的 ，在静坐标系中投影， , 均变化. yz zx o J I I 

刚体的平动与定轴转动 3.转动动能 T=U8+1n+1_02-210,a.-21,0.0,-2In0m,） 若外力是保守力F=-VV,则 (2) 方程(2)可代替方程(1)

大学 物理刚体的平动与定轴转动 3. 转动动能 2 2 2 2 2 2 1 2 1 ( 2 2 2 ) 2 1            z z z z z xx x yy y z z z yz y z z x z x xy x y I I T I I I I I I = = = + + − − − 方程（2）可代替方程（1）。 (2) 2 1 , 2 若外力是保守力 F = −V 则 I z z +V = E 

刚体的平动与定轴转动 下面简化该公式，设A-Xy,z为静系，由欧拉公式，得： ie=而×e e=而×元+而×元=而×元+而×（面×元） (3) 可，=而× 元，=而×万+而x(@×) 其中而=ok,F=xi+yj+zk,元=xci+ycj+2k

大学 物理刚体的平动与定轴转动 下面简化该公式，设A-xy,z为静系，由欧拉公式，得: k r x i y j z k r x i y j z k v r r v r v r r r r v r i i i i C C C C i i i i i C C C C C                                       = = + + = + +        =  +   =  =  +  =  +   =  , , (3) ( ) ( ) C C             其中

刚体的平动与定轴转动 (3)代入(1)，(2)投影得： -mx o2-my Nis+Nas+Fis -my.@+mx=Nay Nay+Foy 0=N4+∑F I@2-I:@=-AB.Ngy+M (4) -I@2-I=AB.Ngs+My I..0=M

大学 物理刚体的平动与定轴转动 （3）代入（1），（2）投影得：            = − − =  + − = −  + = + − + = + + − − = + +    z z z z x yz B x y yz z x B y x A z i z c c A y B y i y c c A x B x i x I M I I AB N M I I AB N M N F m y m x N N F m x m y N N F               2 2 2 2 (4) 0

刚体的平动与定轴转动 4.讨论： 1)(4)中最后一式可解得运动规律，其余五式 可解得N4x,N,N4E,NBx,NBx; 2).0=0=0 化为通常的平衡方程：求得的约束 反力为静力反力

大学 物理刚体的平动与定轴转动 4. 讨论： 1) （4）中最后一式可解得运动规律，其余五式 可解得 2) 化为通常的平衡方程;求得的约束 反力为静力反力， , , , , ; NAx NAy NA z NBx NBx = = 0 •  

刚体的平动与定轴转动 4.讨论： ● 3) :0≠0,0≠0时，求得的4，Ng 为动力反力 ,与静力反力相差很大，即出现附加压力，起因与 刚体转动时产生的惯性力； 0≠0,0≠0不产生附加压力的充要条件 此时动力反力与静力反力相等。静力反力满足： N4+N+∑Fx=0,N4y+Ny+∑F=0 -AB.NB +M =0,AB.NBs +M=0

大学 物理刚体的平动与定轴转动 4. 讨论： 4） 不产生附加压力的充要条件 此时动力反力与静力反力相等。静力反力满足 ： NA NB   0 ,  0,  • 3）   时，求得的 为动力反力 ，与静力反力相差很大，即出现附加压力，起因与 刚体转动时产生的惯性力；  0,  0 •   0, 0 0, 0 −  + =  + = + + = + + = B y x B x y A x B x i x A y i y i y AB N M AB N M N N F N N F