贵州师范学院：《理论力学》课程教学资源（PPT课件讲稿）Lagrange 方程

Lagrange方程

Lagrange 方程

Lagrange方程 基本形式的L方程 1.D'Alembert--Lagrenge方程 体系由个质点组成，每个质点有 m,方=E+R或者-m,+,+=0 ∑(-m,月·亦+F·+·）=0

大学 物理 Lagrange 方程 一、基本形式的L方程 1. D’Alembert-Lagrenge方程 体系由n个质点组成，每个质点有 mi ri = Fi + Ri − mi ri + Fi + Ri = 0         或者 ( ) 0 1  −  +  +  = = i n i i i i i i i m r r F r R r          

Lagrange方程 对理想约束∑五，·亦=0，则 i=l 2(-m元+F)-成=0 称为D'Alembert--Lagrenge方程

大学 物理 Lagrange 方程 对理想约束 0,则 1   = = i n i i R r    称为D’Alembert-Lagrenge方程 ( 0 1  − +  = = n i i i i i m r F r     ）

Lagrange方程 2.把D-L方程以广义坐标表示 先证明： 0游 qe or 0 ada Oqa

大学 物理 Lagrange 方程 2. 把D-L方程以广义坐标表示 先证明：          =     =       q r q r q r q r dt d i i i i        ( )

Lagrange方程 证：体系受k个几何约束s=3n-k个qa 万=f(91,92,93…,9,t) ++at or, dt aq a证：60a aqa 不是的数， or 8q'at oqa Oqa

大学 物理 Lagrange 方程 证：体系受k个几何约束s=3n-k个qα   = =   =   +   =   + +   = = = s i i i s i i i i i i i s q q r r t r q q r t r q q r dt dr r r r q q q q t 1 1 1 1 1 2 3 ( , , , , )                        不是  的函数，   q t r q r i s i         = , 1  q r q ri i   =       

Lagrange方程 证是q的函数 oqa 会号哥48全感4+停- 诚 a

大学 物理 Lagrange 方程 是  的函数  q q ri                     q r t r q q r q t q r q q r q q r t q q r q q r dt d i s i i i i s i i s i   =   +     =    +     =     +     =       = = =             ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 1 1

Lagrange方程 立(m+印成-立(m+P之。 &qa q=I m听+空5} = or)8q x=1 i=1 X=1 i=l 令=2m Q.-2元 i=1 i=1 d w品空 d o所 = aqa 空a是i qa

大学 物理 Lagrange 方程        = = = = = = =   +    = −    − +  = − +  s i n i i s i n i i i n i s i i i i n i i i i i q q r q F q r m r q q r m r F r m r F 1 1 1 1 1 1 1 ( ) ( ) ( (                           ） ）    q r dt d m r q r m r dt d P i n i i i i n i i i   −    =    = =       1 1   q r Q F i n i i   =  =    1  q r P m r i n i i i   =  =    1 令  q r m r q r m r dt d i n i i i i n i i i   −    =    = =          1 1

Lagrange方程 n 2 m da 1-立m0。 i=1 .Pa d OT aT t Oqa dt qa ∑ d or 。 )+20d。=0 Oqa O= d OT (=1,2,3,4…S) dtaa。 qa 基本形式的L方程

大学 物理 Lagrange 方程    q r m r q T q r m r q T T m r i n i i i i n i i i i n i i   =      =    =    = = =             1 1 2 1 , 2 1    q T q T dt d P   −    =  ( ) 0 1 1 + =   −   −  = =       Q q q T q T dt d s s  ——基本形式的L方程 Q ( 1,2,3,4 s) q T q T dt d   = =   −       

Lagrange方程 d aT aT (C=1,2,3,4…S) di oqa qa 各项的物理意义： 1°9为广义速度 2 为广义动量，如 T= mx, OT 2 mx Oqa 3° u-空惑r义力 1

大学 物理 Lagrange 方程 Q ( 1,2,3,4 s) q T q T dt d   = =   −        各项的物理意义： 1  q   为广义速度 mx x T T mx q T      =   =   , 2 1 2 为广义动量，如  为广义力   q r Q F i n i i   =  =    1 3

Lagrange方程 d OT OT -Oa (=1,2,3,4…S) 4° 仿取F+部 a+0., at qe 称为Lagrange力 oqa 可见：L方程是以q为变量的s个二阶线性微分方程 组，方程个数=自由度数，约束越多，自由度越少， 方程越少，只要写出T,Qa,代入方程即可得到运 动方程。 适用条件：理想的完整体系

大学 物理 Lagrange 方程 Q ( 1,2,3,4 s) q T q T dt d   = =   −        可见:L方程是以qα为变量的s个二阶线性微分方程 组, 方程个数=自由度数，约束越多，自由度越少， 方程越少，只要写出T，Qα，代入方程即可得到运 动方程. 适用条件：理想的完整体系 4 仿照 , ( ) , 称为Lagrange力. q T Q q T q T dt d F R dt dP       +   =   = +   